2009年浙江省高中数学竞赛试卷 参

1、2009年浙江省高中数学竞赛试卷 参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共计50分）1. 已知集合，则（ A ）。 A B C D空集 解： 由于，所以。 答案为 A。2. 已知椭圆上一点P到点（4, 0）距离等于4，则P点到直线的距离为（ C ）。 A4 B 6 C D 解：因为，则。于是P到另一个焦点的距离等于。由于直线为椭圆的左准线方程，则P到直线的距离为。 答案为 C。3. 等差数列中，则部分和中最大的是（ C ） A B C D 解： 由题意知，。所以是单调递减数列。又。由此可得当时，最大。 答案为 C4. 已知平面上单位向量，则下列关系式正确的是（ B ）A B. C.

2、 D.解： 因为 都是非零单位向量，以为边，为对角线构成一个菱形。所以。 答案为 B。5. 方程有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为（ A ）A. B. C. D. 解：令，则。要使有三个不同的零点，则必须有，即，也即有。 答案为 A。6. 设 ，则使代数式有意义的动点形成的图形（ C ）A. 关于x轴对称， B. 关于y轴对称， C. 关于直线对称 D. 关于直线对称。解： 由题意得，则动点（x，y）形成的图形关于直线y=x对称。 答案为 C。7. 的二项展开式中常数项为（ D ）。A B C D解：由于，则出现常数项，须满足。 答案为 D。8. “函数f(x)在0, 1上单调”是“函数

3、f(x)在0, 1上有最大值”的（ B ）A必要非充分条件 B充分非必要条件 C充分且必要条件 D既非充分也非必要条件 解： 答案为B。 9.已知立体的三视图如下，问该立体的体积为（ C ） 侧视图（等腰直角三角形，直角边长为1）俯视图（正方形，边长为1）正视图（等腰三角形，底边边长为1，高为1） A 1 B C D 解： 答案为 C。10. 问下述计算机程序的打印结果为（ D ） A B C D 开始是输出 否打印 解： 答案为 D。二、填空题（本大题共7小题，每小题7分，共计49分）11. 8 。解： 由于，所以。12直线与函数的图像至少有三个公共点，则实数b的取值范围为 。解：通过作图可

4、知，实数b的取值范围为。 13对任意正整数n，数列满足，则。解： 由题意得，。于是。所以14已知，则 。解：。15实数满足，则的最大值为 。解： 。由此可得，其中等号成立当且仅当 。16在边长为1的正方体中，分别为，上的点，且，则四边形的面积最小值为 。解：由题意，可得 当E，F分别是，的中点时，四边形的面积可取到最小值。17设，则自然数x，y，z的乘积能被10整除的情形有 72 种。解：（1）x，y，z的取法有种；（2）x，y，z不取2，4，6的取法有种；（3）x，y，z不取5的取法有种；（4）x，y，z不取2，4，5，6的取法有种。由容斥原理得，x，y，z的乘积能被10整除的情形有72。三

5、、解答题（本大题共3小题，每小题17分，共计51分）18三棱锥S-ABC中，SA平面ABC，。（1） 求SC与平面ABC所成夹角的正弦值；（2） 求B到平面ASC的距离；（3） 求平面SBC与SAC所成锐二面角的大小。 解：在平面ABC上，过A作。以A为原点，以向量AB，AD，AS的方向分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系。于是有，。（1） 因为SA平面ABC，所以SC与平面ABC所成夹角就是。在直角SAC中，于是。 （5分）（2） 设平面ASC的法向量为，则且，而，所以 ，从而有。 于是B到平面ASC的距离为。 （11分）（3） 设平面SBC的法向量为，则且，而，所以，从而有。设平面SBC

6、与SAC所成锐二面角为，则，即。 （17分）19 已知抛物线（）上两个动点，O为坐标原点，。 （1） 求线段AB中点的轨迹方程C； （2）若在C上的点到直线的距离为d，求d的最小值。解：设，则。又因为，所以。从而有，即有。 （5分）（1）设AB的中点坐标为，则。于是有，即为该中点的轨迹方程。 （11分）（2）。当时，。 （17分）20 设函数，其中，b为任意常数。证明：当时，有。证： 已知，所以为其极小值点，此时，而. （7分）1）；此时有. (i) 当时，； （此不等式显然成立） 于是有。 (ii) 当时，；此时同样有。 于是有。 (iii) 当时，此时考虑 于是有。 （12分）2) ；此时

7、有。由于，所以。于是有。3）；此时有。由于，所以。于是有 。 当时，； 当时，。综合1），2），3），有 当时，有。 （17分）四、附加题（本大题共2小题，每小题25分，共计50分）注：附加题每题的得分只能是：0，5，10，15，20，25，即5分为一个档次。21设（）且。试求，并证明之。解: 由于。 （5分）令，则对任意，有。 即有 ， （10分）从而有。由于，所以。 （15分）上式等号成立的充要条件是，即。因此。 （25分）评分标准：求出最小值得 5分；中间过程 20分。 22用一个数列取遍走遍复平面上所有整点：令，然后按逆时针方向逐格前进。再令，其中i为虚数单位。求的最简洁的统一表达式。k+1个k