复变函数泛函分析

1、泛函分析 大家以前多学过一些数学方面的课程，比如分析方面的数学分析、实（复）变函数等等，都是归并于经典分析，其思想是：如果某个量难以被直接了解，那就将它放到某个变化过程中去考虑，产生了变量、函数、极限、连续、微分和积分等基本概念。 类似的，如果对某个变量（如函数）本身难以被直接了解，那能否转而研究一族变动的变量（如函数空间），然后通过施以变量一定的运算和极限，获得有关原变量的知识?国内泛函分析方向的数学大师 南京大学 曾远荣（19031994) 是我国泛函分析的鼻祖 ,后转入计算数学.在西南联大期间,关,田,江和徐利治,杨振宁都听过课 中科院数学研究所:关肇直(1919.2.13-1982.1

2、1.12)田方增(1915-) 吉林大学 江泽坚（19212005） 复旦大学 夏道行(1930-) 山大毕业, 严绍宗 复旦毕业泛函分析 泛函分析是研究拓扑线性空间到拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的数学分支，用的统一的观点把古典分析的基本概念和方法一般化，运用代数学、几何学等学科的观点和方法研究分析学的课题，可以看作无限维的分析学。 今天，它的观点和方法已经渗入到不少工程技术的学科中，起着重要的作用，已成为近代分析的基础之一。 泛函分析的最基本的内容：三个空间，四个定理选择公理与Zorn引理 泛函分析的研究必须首先承认一些事情 选择公理：设C为一个由非空集合所组成的集合,那么，

3、我们可以从每一个在C中的集合中，都选择一个元素和其所在的集合配成有序对来组成一个新的集合。 Zorn引理：设（P,）是偏序集，若P的每一个全序子集在P中都有上界，则P必有极大元 良序原理：所有集合能被良序化。换句话说，对每一个集合来说，都存在一种排序方法，使得它的所有子集都有极小元素 Zorn引理是集论的一个重要工具，与选择公理，良序原理都是彼此等价的,主要应用于数学上存在性定理的证明，而不具体描述寻求的方法。 基本空间和基本定理 距离空间（度量空间） 线性赋范空间、Banach空间 内积空间、Hilbert空间例子 以出租车距离定义的平面距离空间; 序列空间 函数空间Ca,b; 离散距离空间

4、; R上函数|x-y|2；|x-y|1/2是距离吗？ Hamming距离：X为所有0和1构成的三元序组所构成的集合（总数为8）,元素x，y的距离是x，y中不同的对应分量的个数。 在开关和自动化理论以及编码理论中都有重要的应用。,1pllp,1pHLp注： Cauchy序列一定是有界序列，如果有收敛的子列，那么 Cauchy序列必是收敛的例子 实直线、复平面都是可分的完备的距离空间 离散距离空间X是可分的当且仅当X是可数集 Lpa,b（p1）在上面定义的距离意义下都是完备的、可分的 不可分距离空间，例如有界序列空间 （利用0，1中点是不可数多个） Ca,b按L1距离就不是完备的,它的完备化空间是

5、L1（存在连续函数序列，L1收敛到不连续的可积函数） 有理数点构成的距离空间也不完备l 例：线性代数Ax=b均可写成x=Cx+D，如果矩阵C满足条件|C|1,则该方程有唯一解，且可以由迭代求得 练习：利用压缩映像原理证明方程x=a sinx只有唯一解x=0，其 中0a1。 隐函数定理：设函数 f(x,y)在带状区域D中处处连续，且处处有关于y的偏导数。如果存在常数mM,满足 则方程f(x,y)=0在区间a,b上必有唯一的连续函数y=g(x)作为解。其中0( , ).ymfx yMD( , ):,.x yaxby 动态控制系统状态轨线的存在性和唯一性 控制论中，确定性动态控制系统可以用如下常微分

6、方程来描述 x(t)表示时间段T上系统的状态轨线（函数），是n维的向量函数，u(t)是控制输入函数，都视为距离空间中的点。 上式等价于如下形式的积分方程：00( ), ( )( , ( ), ( ),T ,.fx tx x tF t x t u ttt t0( )( , ( ), ( ),T.ttx txFxudt 定理：对由上式所描述的系统，假设T是有界区间， 是连续的，即 注：只要常微分方程满足定理条件，就可以利用数值积分和迭代算法来求方程的近似解（Picard逐次逼近法）:F TXUX映射121211|( ,( ), ( )( ,( ), ( )|( )|( )( )|( )0,( ),

7、( )XXF t x t u tF t x t u tM ux tx tM ux tx tX其中0(1)( )0( )( ,( ), ( ),( ),T, nN.tnntxtxFxudx txt 定理定理3（Picard）设 是矩形 上的二元连续函数，设 ，又 在D上关于x满足Lipschitz条件，即存在常数K，使对任意的 ，有 ，那么方程 在区间 上有唯一的满足初值条件 的连续函数解，其中 压缩映射原理不仅证明了方程 解的存在性和唯一性，而且也提供了求解的方法逐次逼近法，即只要任取 ，令 ，则解 。如果在（3）中，令 ，则有 （4）（4）式给出了用逼近解x的误差估计式。,f t x00=,

8、Dt xtta xxb,f t xMt xD,f t x , ,t xt vD,f t xf t vK xv,dxf t xdt00=,Jtt 00 x tx1min,baMK Txx0 xX0nnxT xlimnnxxn 01,1mmd xxd x x内积的性质内积的性质：21.Schwaraz:|,|,2.:lim,lim,limnnnnnnnx yx xy yx yxyxy 不等式。等号成立当且仅当是线性相关的。内积的连续性。22222222223.,1,(| )41,(| )44., ,|2(| )x yXx yxyxyixiyixiyXx yxyxyXx yxyxyxy 极化恒等式（

9、内积和范数的相互定义）当 是实内积空间时，极化恒等式为中线公式：对内积空间 中元素成立有界线性算子空间开映射定理 定义：设X,Y是赋范线性空间，T是X到Y的映射，将X中的开集A映为Y中开集T(A)，则称映射T是开的线性算子的连续性 赋范线性空间上的有界线性算子T的逆映射是否连续？与函数情形是不同的 例：同胚映射T是双射时，T是开映射当且仅当其逆映射是连续的 例：求积分、微分是互逆的过程，积分算子的有界性并保证不了微分算子是无界的线性算子。逆算子定理闭图像定理,XA |B X YxXA x|XA |B X Y 本节主要涉及有界线性算子的收敛性和一致有界问题。由我们以前的知识，一般来说，收敛序列都

10、是有界的。： 设 是赋范线性空间,有界线性算子族,如果满足条件:,是 中的有界集.问是否为问题中的有界集?共鸣定理及其应用Banach(, )sup|,.sup|.BanachXYTB X YT xxXTf 1927年,波兰数学家（巴拿赫）和Steinhaus(斯帝豪斯)给出的共鸣定理(一致有界定理)回答了这个问题.这个定理也是Banach空间理论的基石之一.定理1.(Banach-Steinhaus定理)：设 是空间，是赋范线性空间，算子族 ;满足:那么推论1：设 ,nnnXfXxf是Banach空间 上的一列有界线性泛函,如果在 的每点 处有界 那么一致有界.共鸣定理（一致有界原理）共鸣定

11、理的应用 1.机械求积公式的收敛性 2. Lagrange插值公式的发散性定理：差值多项式作为连续函数的近似表达时，插值点的无限增多不能更好的逼近插值函数。 3. Fourier级数的发散性问题：存在连续的周期函数，其Fourier级数在给定点发散。01001.( )( )()0? , ( )( ):( )bkknak nbkkak nxx t dtA x tatttbnxC a bA x tx t dtni 机械求积公式的收敛性在函数 (t)在a,b上积分近似计算中，我们通常考虑形如：（3）需要讨论的是什么条件下，当时，上式的误差趋于现在可证公式(3)对每个连续函数都收敛，即 （）（3）当且

12、仅当以下两个条件成立存在常00|;( )kk nMAMii 数，使得公式（3）对每个多项式函数都是收敛的。Fourier级数的发散性问题法国科学家J.-B.-J.傅里叶由于当时工业上处理金属的需要，从事热流动的研究。他在题为热的解析理论一文中，发展了热流动方程，并指出了任意周期函数都可以用三角基来表示的想法。他的这种思想，虽然缺乏严格的论证，但对近代数学以及物理、工程技术却都产生了深远的影响，成为傅里叶分析的起源。 在积分变换中，F-变换是大家熟悉的，为让 符号与积分的交换，应当对F-级数(1)的收敛性加以必要的限制,如一致收敛性。因为可能存在不一致收敛的三角级数，而它确实表示一个函数 。 大量的事实让人们误以为：“的傅里叶级数一定能收敛于 自身” R2| max| ( )|;,()( )0,()(0)R1sin(1/ 2) |2si.n( / 2)2nnnXxx ttXBanachxXS x ttS xXns