常数项级数；幂级数；傅立叶级数PPT课件

1、1 常数项级数；常数项级数； 幂级数；幂级数； 傅立叶级数傅立叶级数. .2设给定一个数列：设给定一个数列： ,u,u,un21称称nnnuuuu211（1）为（常数项）无穷级数，简称（常数项）级数为（常数项）无穷级数，简称（常数项）级数.nu一般项一般项 ns构成一个新的数列构成一个新的数列:,us11,uus212,uuus3213,uuusnn21,记记.usnn1若若,limssnn则称级数（则称级数（1）收敛收敛,. s且且收敛和收敛和为为若若nnslim不存在不存在,则称级数（则称级数（1）发散发散.niinus1nuuu21 3,usnn1若若称称nnssr21nnuu为级数（为

2、级数（1） 的余项。的余项。例例1. 判别级数判别级数n321的敛散性的敛散性.解解nsn32121nnnnslim21limnnn所以该级数发散。所以该级数发散。例例2. 判别级数判别级数11431321211nn的敛散性的敛散性.解解ns11431321211nn11141313121211nn111nnnslim111limnn1所以原级数收敛，所以原级数收敛，且收敛和为且收敛和为1。4例例3. 证明等比级数（证明等比级数（几何级数几何级数）nnnaqaqaqaaq20q,a0为公比）为公比） 当当1 |q|时时,收敛于收敛于;1qa当当1 |q|时时, 发散。发散。证证:,limnns

3、发散发散;发散发散;qqasnnnn11limlim,qa1收敛收敛;当当1 |q|时时,当当1 |q|时时,qqasnnnn11limlim,发散发散. 结论成立结论成立.例如例如 0132 1nnn0322nn32126 0452nnn发散。发散。ns,naaaa, 0为偶数为奇数nanaaan 11ns12naqaqaqaqqan11ns1）当）当1q时时,2） 当当1q时时,3）1 |q|时时,当当nn0455证证niinku1 niiuk1,ksnnnnnks limlim nnsklimks性质性质2 若若 , sunn1,vnn 1则则 .svunnn 1证证 niiinvu1

4、niiu1niiv1nns nnnnns limlimnnnns limlim s性质性质1 若若 , sunn1则则 kskunn1k为常数）。为常数）。（性质性质3 在级数中，增加、去掉或改变级数的在级数中，增加、去掉或改变级数的有限项有限项，级数敛散性，级数敛散性 不变。不变。 (1)收敛级数的线性组合仍收敛收敛级数的线性组合仍收敛. (2) 若若 1nnu发散，则发散，则 1nnku0k为常数）。为常数）。发散（发散（6证证级数级数nkkkuuuuu121（1）去掉前去掉前k项得级数项得级数nkkuu1（2）ks为常数为常数, 故当故当n时时,n 与与nks的极限同时存在或不存在的极限

5、同时存在或不存在.所以级数（所以级数（1）与（）与（2）具有相同的敛散性。）具有相同的敛散性。其它情况类似可证。其它情况类似可证。例如例如,232nn与与032nn具有相同的敛散性具有相同的敛散性,均收敛。均收敛。但收敛和不同。但收敛和不同。032nn,33211232nn34n knkssnkkuu1级数（级数（2）的前）的前n 项和为项和为32132232321321321发散发散. 7证证加括号后得加括号后得 54321uuuuu（2）（2）的前）的前 m 项和相当于（项和相当于（1）的前）的前 n 项和项和.,s21 ,s52 ,nms mm limnnslims（1）收敛级数去掉括号

6、后所得级数未必收敛）收敛级数去掉括号后所得级数未必收敛.例例: 111111收敛收敛,去掉括号后去掉括号后,111111发散。发散。（2）若加括号后所得级数发散）若加括号后所得级数发散, 则原级数发散。则原级数发散。性质性质4 收敛级数任意加括号后所得新级数仍收敛收敛级数任意加括号后所得新级数仍收敛, 且收敛和不变。且收敛和不变。注意注意（1）设设nuuus218证证,usnn1,ssunnn11limlimnnnnnssu0（1）条件必要而不充分）条件必要而不充分, 即即逆命题不成立逆命题不成立.即由即由, 0limnnu不能断定不能断定1nnu收敛。收敛。例如，例如，调和级数调和级数,nn

7、11nnulimnn1lim0但该级数但该级数发散发散。性质性质51nnu收敛，收敛，（级数收敛的必要条件）若（级数收敛的必要条件）若. 0limnnu则则注意注意证：证：用反证法。用反证法。假如假如调和级数调和级数11nn收敛，收敛， 其部分和为其部分和为,sn且且. nssn对于该级数的部分和对于该级数的部分和,sn2也有也有.2 nssn即即.0lim2ssssnnnnnnnssnn12111221212121项项nnnn但但与与nssnn02矛盾。矛盾。 所以，所以，调和级数调和级数 11nn发散发散。 9例如例如,1321nnn因因nnulim132limnnn,02 发散。发散。

8、;12121751531311 1nn ;981989898 23322nnn ;31916131 3n ;1 41 nnnn .221 51nnn练习练习：判别下列级数的敛散性：判别下列级数的敛散性（2）逆否命题成立逆否命题成立.若若, 0limnnu则则1nnu一定发散。一定发散。因此，级数收敛的必要条件主要用于来判断级数发散。因此，级数收敛的必要条件主要用于来判断级数发散。 10,nnn9819898983322n31916131,nnnn 11解解ns 12121751531311nn1211212171512151312131121nn,n12112121limnns收敛收敛.,|q

9、|198收敛收敛.1131nn发散发散.nnnnnnnnnu 11lim1limlime0发散发散. （1）（2）（3）（4）11若不然若不然,设该级数收敛设该级数收敛,则则. 21221211收敛收敛nnnnnn而而. 12211发散发散nnnn,nnn1221发散发散. （5）12小结：小结：1. 级数：级数：nnnuuuu2112. 前前 项和（部分和）项和（部分和）nniinus1nuuu213. 若若,limssnn则称级数（则称级数（1）收敛）收敛,记记.usnn1. s且收敛和为且收敛和为若若nnslim不存在不存在, 则称级数（则称级数（1）发散）发散.（1）4. 性质（性质（1）（5）思考题思考题:1.若若1nnu收敛收敛?