多元积分例题PPT课件

1、多元积分例题重积分例1(05，三) 设其中 ,则A. B.C. D.221cosDIxy d222cos()DIxyd2223cos()DIxyd22( , )|1x yxyD321III123III213III312III【解答】选 A，因为当 时而余弦函数在 上是单调减少的，故由二重积分的比较性质，有 2201xy2222222xyxyxy0,1321III例2. (03，三) 设 而表示全平面，则【分析】本题积分区域为全平面，但只有当 时，被积函数才不为0，因此实际上只需在满足此不等式的区域内积分即可。 0a ,( )( )0,af xg x1ox若其他，( ) ()DIf x g yx

2、 dxdy01x01yx解 因故【评注】对于分段函数的二重积分，要利用可加性 分块积分。 ,01()0,ayxg yx若其它201,01( ) ()Dxy xIf x g yx dxdya dxdy 111222001xxadxdyaxx dxa例3. (02，三)交换积分次序: 【分析】此类问题首先根据原累次积分确定积分域,并画出积分域的草图，然后交换次序。【解答】由原累次积分可知140dy( , )yyf x y dx112214( , )ydyf x ydx1yD1,04yxyy2yD1 11,2 42yxy由此积分区域如图所示，因此 解决交换次序题型问题的关键是根据已给出的积分次序，来

3、画出积分区域示意图，然后确定新的积分次序和积分限。 2111142221004( , )( , )( , )yxyyxdyf x y dxdyf x y dxdxf x y dy210 ,:2 xxyxDx2121410 xy例4. (04，一) 设 为连续函数, ,则 等于A. B. C. D.0【解答】选B。先交换积分次序，使被积函数中不含有变量 ，由y型区域 ： 得x型区域于是， ，所以， ( )f x1( )( )ttyF tdyf x dx(2)F2 (2)f(2)f(2)f01xtyxxD1ytyxttyD010( )( )( )(1)txtF tdxf x dyf x xdx(

4、)( )(1)F tf t t(2)(2)Ff例5. (04,) 设函数 连续,区域 则 等于A. B. C. D.( )f u22( , )|2 Dx yxyy()Df xy dxdy221111()xxdxf xy dy222002()y ydyf xy dx2sin200(sincos )df rdr2sin200(sincos )df rrdr【解答】选D。 为圆心在 ，半径为1的圆域，排除A,B. 的边界 化为极坐标方程为于是 原式 =C的面积元素缺少 ，故选D。 D1,0D222xyy2sinr2sin200(sincos )df rrdr002sinrDr(06,一)设 为连续函

5、数，则 等于A. B.C. D.( ,)f x y1400( cos , sin )df rrrdr22120( ,).xxdxf x y dy221200( ,).xdxf x y dy22120( ,).yydyf x y dx221200( ,).ydyf x y dx例6 (05，二) 设区域 为 上的正值连续函数, 为常数,则 等于A. B. C. D. 22( , )|4,0,0Dx yxyxy( )f xD, a b( )( )( )( )Daf xbf ydf xf yab2ab()ab2ab【解答】选D。考虑积分因 关于直线 对称,故由二重积分的对称性：又 即 故于是,原式=

6、121DIId12I122II122abaIbI1( )( )( )Df xIdf xf y2( )( )( )Df yIdf xf yDyx12II例7(03，三) 计算二重积分 其中积分区域【解答】作极坐标变换：有令 ,则记 则 22()22sin()xyDIexydxdy22( , )|Dx yxycosxrsinyr2222()22200sin()sinxyrDIeexydxdyedrer dr2tr0sintIeetdt0sintAetdtAeI 因此故注 本题是基础题目,综合考查了二重积分换元积分与分部积分等多个基础知识点。0000sinsin |coscostttttAetdee

7、tetdttde 00cos |sin1ttetetdteA 112Ae1122eIee (06,一,二)设区域D= ,计算二重积分提示: (06,三) 计算二重积分 D:22,1,0 x y xyx2211DxyIdxdyxy0122 Dyxxy2ln21111022222 drrrdyxID2Dyxydxdy,1,0yx yx例8(04，三) 求 其中 是由圆 和 围成的平面区域.【分析】首先，将积分区域分为大圆减去小圆再利用对称性与极坐标计算即可。解由对称性， 22()Dxyy dD224xy22(1)1xy221,|4Dx yxy 222,|11Dx yxy0Dyd12222222DD

8、Dxy dxy dxy d3222cos2220002dr drdr dr16321632399例9(02，三) 设闭区域 : 为 上的连续函数,且求 【分析】本题利用对等式两边求二重积分的方法，结合二重积分的几何意义求函数。【解答】设 ，在已知等式两边求区域 上的二重积分,有D22,0 xyy x( , )f x y228( , )1( , )Df x yxyf u v dudvD( , )f x y( , )Df u v dudvADsin23220001221(1 cos)323Adrrdrd12623A2242( , )1323f x yxy228( , )1DDDAf x y dxd

9、yxy dxdydxdy221DAxy dxdyA从而故即因此例10(05，二) 计算二重积分其中【解答】将区域用曲线 划分为 和 ， 原式 221Dxyd( , )|01,01Dx yxy221xy1D2D222,|1,0,0Dx yxyxy12DDD143122222(1)(1)DDxydxyd222222(1)(1)D DDxydxyd2222(1)2(1)DDxydxyd11122220000(1)2(1)dxxydydrrdr例11(02，一) 计算二重积分 ,其中 .【分析】本题是考查二重积分计算的典型考题。解 令22max,xyDedxdy( , )|01,01Dx yxy2,|

10、01,1Dx yxxy22222212max,max,max,xyxyxyDDDedxdyedxdyedxdy222212110000 xyxyxyDDe dxdye dxdydxe dydye dx2211001xyxe dxye dye1,|01,0Dx yxyx例12(05，一) 设 , 表示不超过 的最大整数,计算二重积分 【解答】用 将区域划分为 和 ，在 内, 故在 内, 故从而,原式 22( , )|2,0,0Dx yxyxy221xy221xy221Dxyxy dxdy1D2D221xy1D2D2211xy2201xy2212xy2212xy122DDxydxdyxydxdy1

11、233220001sincos2sincosdr drdr dr 78例13计算 ，其中D是由 所围成的区域， 为连续函数.解 利用曲线 将B与O连接起来，将区域分成两个区域 和 。由对称性，有故 原式 221Dxyf xydxdy3,1yxy 与x=-1 f x3yx 1D2D1221()0Dxyf xydxdy222()0Dxyf xydxdy3320125xxDxdxdydxxdy 例14.(90，四) 计算二重积分 ,其中D是由曲线 在第一象限所围成的区域.【解答】 所给积分为二重反常积分，由于被积函数中 ，不能用初等函数表示出来，因此，积分化为先 后 的二次积分，由于因此 2yDxe

12、dxdy2249yxyx和2yedyxy01132yyxy yD2221210035572144yyyyyDxedxdydyxedxyedy例15. (95，一) 设函数 在区间0，1上连续，并设 ，求 解 先交换积分次序，再将积分变元位置互换，得因此故 f x 10f x dxA 110 xdxfx fy dy 111000( ) ( )( ) ( )yxdxf x f y dydyf x f y dx100( ) ( )xdxf x f y dy1111100002( ) ( )( ) ( )( ) ( )xxxdxf x f y dydxf x f y dydxf x f y dy111

13、120000( ) ( )( )( )dxf x f y dyf x dxf y dyA11201( ) ( )2xdxf x f y dyA例16(03，一) 设函数 连续且恒大于零. ，其中（1）讨论 在区间 内的单调性;（2）证明当 时, .( )f x222( )22( )()( )()tD tf xyzdvF tf xyd22( )20()( )()D ttf xydG tf xdx2222( )( , , )|tx y zxyzt222( )( , )|D tx yxyt( )F t(0,)0t 2( )( )F tG t【分析】 先分别在球面坐标下计算分子的三重积分和在极坐标下计

14、算分母的重积分，再根据导函数 的符号确定单调性； 将待证的不等式作适当的恒等变形后，构造辅助函数，再用单调性进行证明。解 （1）因( )F t222220000222000()sin2()( )()()ttttddf rrdrf rr drF tdf rrdrf rrdr所以在 上， ，故 在内单调增加。（2）因为只需证明当 时， 220220( )() ()( )2()tttf tf rr tr drF tf rrdr0,( )0F t( )F t2020()( )()ttf rrdrG tf rdr0t 2( )( )0F tG t即上式的分子令则故 在 内单调增加。 因为 在 处连续，所

15、以当 时,有又 故当 时, ,因此22222000()()()0tttf rr drf rdrf rrdr22222000( )()()()tttg tf rr drf rdrf rrdr2220( )( )()()0tg tf tf rtrdr( )g t0,0t (0)0g( )0g t 0t ( )g t0t ( )(0)g tg2( )( )F tG t例17计算 轴旋转一周而成的曲面与平面 所围成的立体的体积.【分析】根据被积函数与积分区域的形式，本题应采用柱坐标，具体方法是“先二后一”或“先一后二”或是将 分割来求。2222,:0yzIxydvzx其中由绕2,8zz解法一：如图9所

16、示，将 分为两部分进行积分，旋转曲面方程为2212zxy22282482200202248288336rIdrrdrdzdrrdrdz解法二：如图10所示，采用“先二后一”法较简便，取 :或 ( )D z222xyz8222( )D zIdzxyd82282320022336zdzdrrdrz dz82222004336zIdzdrrdr利用三重积分计算体积，应注意： 将所求体积转化为若干个曲顶柱体的代数和。 若体积在坐标面上的投影为圆域，则考虑用柱面坐标来求解。 若体积具有对称性，可求出其中一部分体积，进而求出整个体积。例18. 求由曲面所围成空间立体的体积.【分析】计算曲面围成的立体体积可

17、以使用二重积分或三重积分的几何意义来解决，即可以利用若干个曲顶柱体的体积的代数和或者将体积看成被积函数为1的三重积分的值，然后再根据二重积分或三重积分的具体方法来解决。本题应先求出两曲面的交线在 面上的投影. 22226zxyzxy与xoy由 ，即 ,得 ， （舍去），故投影 : 解法一 利用二重积分,有也可利用对称性,只计算第一卦限的部分:解法二 利用三重积分,有其中22226xyxy26rr2r 3r xyD224xy22226xyDVxyxy dxdy2220032(6)3drr rdr22200324(6)3Vdrr dr dvV22226:yxzyx 练习题: 分别利用定积分，二重积

18、分和三重积分计算旋转抛物面 和平面 所围成的空间区域 的体积.22zxy2zR42RV 例19.求 【分析】这是一个三重积分的累次积分，可看成是用“先一后二”或“先二后一”的公式化成的，只须对二重积分交换积分顺序，达到先积 的目的。 211110001.xx zy zIdxdzy edy x解先交换 与 的顺序，则再交换 与 的顺序，最后交换 与 的顺序xz111000( , , )zx zIdzdxf x y z dy xy221111(1)(1)0000(1)(1)(1)(1)yyy zy zIdyyy z edzy dyy z edz 211111(1)00000( , , )(1)(1)zy zz