金融经济学效用函数与风险厌恶PPT学习教案

1、会计学1金融经济学效用函数与风险厌恶金融经济学效用函数与风险厌恶第1页/共154页第2页/共154页第3页/共154页 （1） 弱偏好于弱偏好于x，x 至少与至少与y 一样好。一样好。 （2） 强偏好于强偏好于x ； 但，但， 不成立。不成立。 （3） 无差异于无差异于x 、y；即：；即： 和和xyxyxyxyyxxyyxxyxy我们可以在消费束的集合上建立下面的偏好我们可以在消费束的集合上建立下面的偏好关系（关系（preference relation）或者偏好顺序）或者偏好顺序（preference ordering）：）：第4页/共154页,x yCxyyxxy（2）自返性（）自返性（r

2、eflexivity） ，则有则有 自返性保证了消费者对同一商品的选好具有明自返性保证了消费者对同一商品的选好具有明显的一贯性。显的一贯性。xC xx 2.2.偏好应满足的基本公理（偏好应满足的基本公理（AxiomAxiom）条件：）条件：第5页/共154页, ,x y zC,ifxy yxxz, ,x y zC,ifxy yzxz第6页/共154页x xyx xyx xyx xy第7页/共154页, x yCifxyxy, x yCifxyxyxy第8页/共154页xC ,yC xyxy第9页/共154页, ,(1)x y z C ifxz yzxyz , ,(1)x y z Cifx z

3、y z xyxyz 第10页/共154页第11页/共154页, x y C( )( )xyu xu y( )( )xyu xu y:u CR第12页/共154页( ) ( )u xf u x(.)f( )( )( )( )u xu yu xu y第13页/共154页第14页/共154页（walrasian budget set）预）预算集。算集。m ax(.)u.st W1( ,)MmMqqqqRmax(.)u.:Mst zC Rqc W第15页/共154页0uqCCZ Z0WqCZ Z,/iii jjjuCqMRSuCq第16页/共154页第17页/共154页第18页/共154页第19页/共

4、154页第20页/共154页12n圣彼德堡悖论圣彼德堡悖论Saint Petersbury ParadoxSaint Petersbury Paradox第21页/共154页第22页/共154页11111(.)12422482nnE 第23页/共154页 Daniel Bernoulli （1700-1782)第24页/共154页11(.)log21.392nnnE 0其中，其中， 为一个确定值。为一个确定值。0第25页/共154页( )u xx11111 ( )( ) ( )2222xxxxE u xp x u x2 ( )2.914xE u x第26页/共154页n因此，期望收益最大化准则

5、在不确定情形因此，期望收益最大化准则在不确定情形下可能导致不可接受的结果。而贝努力提下可能导致不可接受的结果。而贝努力提出的用期望效用取代期望收益的方案，可出的用期望效用取代期望收益的方案，可能为我们的不确定情形下的投资选择问题能为我们的不确定情形下的投资选择问题提供最终的解决方案。提供最终的解决方案。n根据期望效用，根据期望效用，20%的收益不一定和的收益不一定和2倍的倍的10%的收益一样好；的收益一样好；20%的损失也不一定的损失也不一定与与2倍的倍的10%损失一样糟损失一样糟 。n因此，期望收益最大原则并不能解决一切因此，期望收益最大原则并不能解决一切的不确定性问题的不确定性问题 。第2

6、7页/共154页使是在他思考最多的时候使是在他思考最多的时候。第28页/共154页第29页/共154页第30页/共154页第31页/共154页第32页/共154页第33页/共154页第34页/共154页第35页/共154页第36页/共154页第37页/共154页第38页/共154页第39页/共154页第40页/共154页第41页/共154页第42页/共154页第43页/共154页第44页/共154页第45页/共154页Allais Paradox（独立公理失效）（独立公理失效）第46页/共154页第47页/共154页p11001p15000.110000.890.01p15000.100.9p

7、11000.1100.891234,pppp121440.11(100)0.89(100)1100.11(0)(500)0.89(100)11111100.11(100)0.89(100)0.11(0)(500)0.89(100)1111110(0)(500)11111100.11(100)0.89(0)0.11(0)(500)0.89(0)11110.1(500)0ppppp3.9(0)!?p第48页/共154页第49页/共154页12345x23180第50页/共154页:()xZ ZR 为一可测函数， 表示 状态发生时消费品的数量。如：( )x1245( )x 2 3 1 8 03第51

8、页/共154页在不确定性经济中，偏好关系建立在不同的概率分布之间在不确定性经济中，偏好关系建立在不同的概率分布之间。第52页/共154页第53页/共154页( )( )u xu x( )( )E u xE u x( )( )u xu x( )( )E u xE u x第54页/共154页第55页/共154页（上）John von Neumann (1903-1957)（下）Oskar Morgenstern (1902-1977)n1944 年在巨著对策论与经济行为中用数学公理化方法提出期望效用函数。这是经济学中首次严格定义风险.第56页/共154页第57页/共154页第58页/共154页第5

9、9页/共154页第60页/共154页第61页/共154页第62页/共154页第63页/共154页第64页/共154页第65页/共154页 我们希望用一个建立在确定性消费上的效用函数来刻画偏好，即存在一个函数u和一个概率P，u表示确定性消费的效用，而P给出不同状态发生的可能性。从而偏好关系“ ”就可以用一种期望效用的形式给出：消费计划x优于y当且仅当( ) ( )( ) ( )( )( )H xu xdPu ydPH y ( ) ( )E u xE u y也可写成第66页/共154页特例：当x，y时确定的消费计划时，即我们有 在这个意义上，u比较的是确定性的消费计划，称u为Von Neumann

10、-MorgensternVon Neumann-Morgenstern效用函数效用函数( ),( ),xzxz ( )( ), ( )( )E u xu zE u xu z第67页/共154页 设P是 上的概率，则（随机变量）消费计划的分布函数可定义为( ): ( )xF zPxz从而有 ( )( )( )( )xZE u xu x dPu z dF z从而相同的分布对应相同的期望效用。第68页/共154页消费计划与其分布之间的关系：1( ,)( ,)xPZ Px 从而每一个 ，对应Z上的一个概率分布P，记x XZ上的概率分布 下面直接在 上建立偏好关系，并给出偏好关系的一些公理性假设第69页

11、/共154页公理公理1：反射性 对任意 ， ppp公理公理2：可比较性（完备性）,p qpqp对有或q公理公理3： 传递性12312233,pppppppp1对如果则p当当 有有限或可数个元素时，满足公理有有限或可数个元素时，满足公理13的的任何偏好关系总可以用一个效用函数来表示。任何偏好关系总可以用一个效用函数来表示。第70页/共154页公理公理4： 独立性独立性, ,(0,1,(1)(1)p q rapqapa raqa r对可导出公理公理5： Archimedean公理公理, ,(0,1,(0,1),. .(1)(1)p q rapqra bstapa rqbpb r对如果则第71页/共

12、154页zZPz对，设表示由z产生的概率分布：1( )0zzzP zzz如果即Pz表示在每个状态下均由z单位消费品的消费计划。第72页/共154页15性质：假设是上的偏好关系，满足公理 ，则3.1, 01,(1)(1)pqabbpb qapa q如果则3.2,*0,1*(1*)pqr praqapar如果则 唯一的使得3.3,0,1,(1)(1)pq rs aapa raqa s如果则第73页/共154页3.4,0,1,(1)pq aapa q如果则p3.5,0,1,(1)(1)pq aapa raqa r 如果则 r,有0006,zzzZpPpP 0公理存在z使得对，有 定理定理3.13.1

13、：在公理在公理1 16 6下，下， 上的偏好关系具有期望效用表示。上的偏好关系具有期望效用表示。第74页/共154页基本假设基本假设 在不确定性经济中，投资者都尽在不确定性经济中，投资者都尽可能最大化自己的期望效用函数可能最大化自己的期望效用函数。第75页/共154页第76页/共154页第77页/共154页( )0E第78页/共154页12(:,)p x x12(1)0,01pxp xp第79页/共154页第80页/共154页( )0E( )0Var()()u WE u W第81页/共154页1Wx2Wx12()(1) ()pu Wxp u Wx12()()(1) ()u Wpu Wxp u

14、Wx第82页/共154页12()(1)()Wp WxpWx1212( ()(1)()()(1) ()u p Wxp Wxpu Wxp u Wx1212(1)()(1) ()u pxp xpu xp u x第83页/共154页第84页/共154页U(x)xABC风险厌恶者的效用函数第85页/共154页1212(1)()(1) ()u pxp xpu xp u x第86页/共154页x风险偏好者的效用函数BACU(x)第87页/共154页1212(1)()(1) ()u pxp xpu xp u xxU(x)第88页/共154页第89页/共154页第90页/共154页W-。()()E u Wu W

15、第91页/共154页21 ()()()Re()()Re2E u WuWuWu WuW第92页/共154页第93页/共154页1()()( )()()2u Wu W Varu Wu W1()( )2()uWVaru W ( )/ ( )u W u W第94页/共154页()()()Au WR Wu W ()()u Wu W第95页/共154页()AR W第96页/共154页1()()2()u W WVarWu WW ()()()Ru W WR Wu W 第97页/共154页1()()()()Au WT WR Wu W 第98页/共154页第99页/共154页公平赌博公平赌博 定义定义3.2:3.

16、2:：考虑一个赌局，具有正收益h1的概率为p，负收益h2的概率为(1-p)。公平赌博即赌局的期望回报为零，ph1+(1-p)h2=0 考虑一个赌博，它以概率p有一个正的回报h1，以概率1p有一个负的回报h2风险厌恶者风险厌恶者 定义定义3.33.3：一个个体称为是风险厌恶者风险厌恶者（风险回避者），如果他不愿意接受任何公平的博弈，或认为接受不接受是一样的；一个个体称为是严格风险厌恶者严格风险厌恶者（严格风险回避者），如果他不愿意接受任何公平的博弈公平的博弈。第100页/共154页第101页/共154页第102页/共154页第103页/共154页U(b )U ( a )U(b )U(b )U (

17、 a )U ( a )a a a b b b 第104页/共154页 设u()是个体的效用函数，W0是初始财富，则从（严格）风险厌恶的定义，有001020102() ()(1)()( )()(1) ()u Wu p Whp Whpu Whp u Wh 上述关系表明，（严格的）风险厌恶的个体意味着他的上述关系表明，（严格的）风险厌恶的个体意味着他的效用函数是（效用函数是（严格的严格的）凹函数。）凹函数。风险厌恶（风险态度的测量）风险厌恶（风险态度的测量）0010201020102()() (1) ()( () (1)()() (1) ()uWpuWhp uWhu pWhp WhpuWhp uWh

18、 第105页/共154页( )0E()0Var()() uWEuW第106页/共154页1Wx2Wx12()(1) ()pu Wxp u Wx12()()(1) ()u Wpu Wxp u Wx第107页/共154页12()(1)()Wp Wxp Wx1212( ()(1)()()(1) ()u p Wxp Wxpu Wxp u Wx1212(1)()(1) ()u pxp xpu xp u x 这表明，风险厌恶的经济主体偏好未来收益分布的期望值，而不是未来收益分布本身。即对于风险厌恶的经济主体而言，确定性收益（数学期望值）的效用大于效用的期望值。基于这一性质，我们认为，风险厌恶者的效用函数为

19、凹函数。第108页/共154页一个凹的效用函数一个凹的效用函数01()u Wh0()u W02()u Wh0102() (1) ()pu Whp u Wh 02Wh01Wh0W 一个博弈的期望效用严格比它的期望支付小当且仅当其效用函数是严格凹的。一个博弈的期望效用严格比它的期望支付小当且仅当其效用函数是严格凹的。第109页/共154页1212(1)()(1) ()u pxp xpu xp u x x风险偏好者的效用函数BACU(x)第110页/共154页1212(1)()(1) ()u pxp xpu xp u xxU(x)第111页/共154页第112页/共154页第113页/共154页而W

20、-为确定性等价收益。()()Eu Wu W第114页/共154页21 ()()()Re()()Re2E u Wu Wu Wu Wu W1()()( )()()2u WuW Varu Wu W第115页/共154页1()( )2()u WVaru W ()/ ()u Wu W第116页/共154页()()()Au WR Wu W ()()u Wu W第117页/共154页()AR W第118页/共154页1()()2()u W WVarWu WW ()()()Ru W WR Wu W 第119页/共154页1()()()()Au WT WR Wu W 第120页/共154页 ()E u Wu E

21、W（） -()()Wu Wu W21-2()()()().()(). .u Wu E Wu E WWE WuE WWE Wh o t20 5 () (). .u E Wu E Wu E Wh o t（ ）- 第121页/共154页()()u WARAu W-()()u WRRAWu W-()()Wu Wu W21-2uuTARA1-第122页/共154页 假设风险厌恶者具有严格增的效用函数（严格的不满足者），其期末财富为00()(1)(1)(1)()jfjjjjfjjfjWWararWra rr则个人的选择问题是0max (1)()jfjjfajE u Wra rr第123页/共154页 ()

22、()0,jfE u Wrrj00max (1)()jafjjfjfjjE u Wra rrWrrjaj其中，初始财富，无风险利率，第 个风险资产的随机收益率投资于第 个风险资产的资金00 1jfP rr第124页/共154页 假设最优化的解存在。因u是凹的，所以一阶必要条件也是充分条件： 定理定理3.23.2： 对一个风险厌恶者而言，如果他具有严格增的效用函数，则使得他在风险资产上投资当且仅当至少有一种风险资产的回报率高于无风险资产的回报率。对一个风险厌恶者而言，如果他具有严格增的效用函数，则使得他在风险资产上投资当且仅当至少有一种风险资产的回报率高于无风险资产的回报率。 ()()0,jfE

23、u Wrrj第125页/共154页当一种或多种风险资产有正的风险酬金时，即存在j使得()0jfE rr则存在j使得0ja 注：这里j不一定等于j。但当只有一种风险资产时，一个正的风险酬金将导致在这种资产上的正的投资。 以下假定经济环境中只有一种无风险资产和一种风险资产，风险资产的风险酬金为严格正的。我们考虑一个严格风险厌恶者的投资行为，其效用函数的一阶导数为严格正的。001jfP rr第126页/共154页0200(1)() (1)fffuWrW ErruWr第127页/共154页 定义定义3.4:3.4:投资者在W点的绝对风险厌恶系数定义为()()()AuWRWu W 定义定义3.5:3.5

24、:投资者在W点的相对风险厌恶系数定义为()()()()RAuWRWRW WWu W 绝对风险厌恶系数是对个体回避风险程度的一种度量。绝对风险厌恶系数越大，越厌恶风险，必需给予的溢价补偿也越大（定理3.3）。第128页/共154页绝对风险厌恶与相对风险厌恶绝对风险厌恶与相对风险厌恶 绝对风险厌恶系数 相对风险厌恶系数第129页/共154页 定义定义3.6：如果 ，称个体的效用函数是递减绝对风险厌恶的()0AdR WdW 如果 ，称个体的效用函数是递增绝对风险厌恶的()0AdR WdW 如果 ，称个体的效用函数是常绝对风险厌恶的()0AdR WdW第130页/共154页0()0,0,AdRWdaW

25、WdWdW0()0,0,AdRWdaWWdWdW00dadW0aW0aW()0AdRWdW第135页/共154页 定理定理3.53.5：如果以 表示个体的风险资产需求对初始财富的弹性，则()10,RdR WdW0）如果则 1，即个体的初始财富投资在风险资产上的比例随着W的增加而增加；()30,RdR WdW0）如果则 1，即个体的初始财富投资在风险资产上的比例不随着W的变化而变化。第136页/共154页( )RARRz z第137页/共154页0002022/1(1) ()()()() 1()() ()()1()() (1) ()()|fffffffWda dWadadWaaWrE u Wrr

26、aE u WrraE u WrrE u W W rraE u Wrrsignsign E u W W rr 第138页/共154页0000(1),(1)()(1),( ) ()(1) ( () ( )()0() ( ) () 01RffRffRfffRffffR WrrrR Wra r rR Wrrru W W r rR Wru W r rE u W r rE u W W r r 当当最优组合条件第139页/共154页 定理定理3.63.6：如果个体i，k具有相同的初始财富，且个体i比个体k更具有风险回避，则为了使他们把所有资金都投资到风险资产上，个体i所需风险酬金比个体k多。3.1( )(

27、)( )ikikAAikuuWR WR WuG u引理：对效用函数 ， 来说，对任意 ，有当且仅当存在一个严格增的凹函数G，使得第140页/共154页222( ),0;2( ) 1,1/ ;( )( ),01(1)bu zzz bu zbz zbu zbdbbzbzbz AA。RRdzu(z)0z1/b2( )2bu zzz 第141页/共154页2(),0;()0;()0;lim()0;(),0b zb zb zzuzebuzb euzb euzdzb AARR。d zu(z)0z-1( )bzu ze第142页/共154页1111112(),0,0;1();1();11(),();10;0

28、BBBBuzzzBBuzzuzzBzzzBBddzB ARARRRRR。d zd z第143页/共154页0,)1(1)(bbaxxu4、负指数效用函数：u(x)=eax 所有的参数要保证u0、u0。仿照教材求出各效用函数对应的绝对风险厌恶系数与相对风险厌恶系数，并做出解释。第144页/共154页( )()( )expCu zABzu zABz或者 其中有关A，B，C的条件要保证效用函数的严格凹性和单调递增性第145页/共154页( )() ,0,0,max0, (/)0,0,0(/)cu zABzBCzA BABza A B 其中，或者，( )exp;0,0,0u zABzABz第146页/共154页1()( ),1(1)cABzu zCCB ( )ln()u zABz( )expAu zBzB第147页/共154页,0maxmax()(1)(1(1)jjjjfjjLE u WWWrr 00()(0,()(1)0,1fjjjjjjE u W W rb rE u W Wrjb第148页/共154页0(1(1)() ()0,CfjjfjfjE