2014-2015学年四川省成都市高二(上)期末数学试卷(理科)

1、2014-2015学年四川省成都市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共50分）1在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A（2，1，1），则与点A关于原点对称的点A1的坐标为（） A （2，1，1） B （2，1，1） C （2，1，1） D （2，1，1）2如图是某样本数据的茎叶图，则该样本数据的众数为（） A 10 B 21 C 35 D 463已知点A（1，2），B（1，3），若直线l与直线AB平行，则直线l的斜率为（） A 2 B 2 C D 4根据如图的程序语句，当输入的x的值为2时，则执行程序后输出的结果是（） A 4 B 6 C 8 D 105经过点（2，1），且倾

2、斜角为135°的直线方程为（） A x+y3=0 B xy1=0 C 2xy3=0 D x2y=06已知圆C1：x2+y2+2x4y+1=0，圆C2：（x3）2+（y+1）2=1，则这两圆的位置关系是（） A 相交 B 相离 C 外切 D 内含7如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，E为BC1与B1C的交点，记=，=，=，则=（） A + B + C + D 8已知l，m是两条不同的直线，是两个不同的平面，则在下列条件中，一定能得到lm的是（） A =l，m与，所成角相等 B ，l，m C l，m与平面所成角之和为90° D ，l，m9已知直线l：xsinycos=

3、1，其中为常数且0，2）有以下结论：直线l的倾斜角为；无论为何值，直线l总与一定圆相切；若直线l与两坐标轴都相交，则与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1；若P（x，y）是直线l上的任意一点，则x2+y21其中正确结论的个数为（） A 1 B 2 C 3 D 410在RtABC中，已知D是斜边AB上任意一点（如图），沿直线CD将ABC折成直二面角BCDA（如图）若折叠后A，B两点间的距离为d，则下列说法正确的是 （） A 当CD为RtABC的中线时，d取得最小值 B 当CD为RtABC的角平分线时，d取得最小值 C 当CD为RtABC的高线时，d取得最小值 D 当D在RtABC的AB边上移动时，

4、d为定值二、填空题（每小题5分，共25分）11在空间直角坐标系Oxyz中，已知点P（1，0，5），Q（1，3，4），则线段PQ的长度为12某单位有1200名职工，其中年龄在50岁以上的有500人，3550岁的400人，2035岁的300人为了解该单位职工的身体健康状况，现采用分层抽样的方法，从1200名职工抽取一个容量为60的样本，则在3550岁年龄段应抽取的人数为13执行如图所示的程序框图，则输出的结果为14在正方体ABCDA1B1C1D1的12条面对角线所在的直线中，与A1B所在的直线异面而且夹角为60°的直线有条15记空间向量=，=，=，其中，均为单位向量若，且与，的夹角均为，

5、0，有以下结论：（）；直线OC与平面OAB所成角等于向量与+的夹角；若向量+所在直线与平面ABC垂直，则=60°；当=90°时，P为ABC内（含边界）一动点，若向量与+夹角的余弦值为，则动点P的轨迹为圆其中，正确的结论有（写出所有正确结论的序号）三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16（12分）（2014秋成都期末）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分别是棱AB，A1D1，AD的中点，求证：（）平面MNP平面BDD1B1；（）MNAC17（12分）（2014秋成都期末）某校要调查高中二年级男生的身高情况，现从全年级男生中随机抽取一

6、个容量为100的样本样本数据统计如表，对应的频率分布直方图如图所示（1）求频率分布直方图中a，b的值；（2）用样本估计总体，若该校高中二年级男生共有1000人，求该年级中男生身高不低于170cm的人数身高（单位：cm） 150，155） 155，160） 160，165） 165，170） 170，175） 175，180） 180，185） 185，190）人数 2 8 15 20 25 18 10 218（12分）（2014秋成都期末）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，向量，两两垂直，|=1，|=2，E，F分别为棱BB1，BC的中点，且=0（）求向量的模；（）求直线AA1与平面A1EF所

7、成角的正弦值19（12分）（2014秋成都期末）已知直线l1：mx（m+1）y2=0，l2：x+2y+1=0，l3：y=x2是三条不同的直线，其中mR（）求证：直线l1恒过定点，并求出该点的坐标；（）若l2，l3的交点为圆心，2为半径的圆C与直线l1相交于A，B两点，求|AB|的最小值20（13分）（2014秋成都期末）如图，在四棱锥PABCD中，PAB是边长为2的正三角形，底面ABCD为菱形，且平面PAB平面ABCD，PCAB，E为PD上一点，且PD=3PE（）求异面直线AB与CE所成角的余弦值；（）求平面PAC与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值21（14分）（2014秋成都期末）已知点P

8、（0，2），设直线l：y=kx+b（k，bR）与圆C：x2+y2=4相交于异于点P的A，B两点（）若=0，求b的值；（）若|AB|=2，且直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为，求直线l的斜率k的值；（）当|PA|PB|=4时，是否存在一定圆M，使得直线l与圆M相切？若存在，求出该圆的标准方程；若不存在，请说明理由2014-2015学年四川省成都市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共50分）1在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A（2，1，1），则与点A关于原点对称的点A1的坐标为（） A （2，1，1） B （2，1，1） C （2，1，1） D （2，1，

9、1）考点： 空间中的点的坐标 专题： 空间位置关系与距离分析： 利用关于原点对称的点的特点即可得出解答： 解：与点A关于原点对称的点A1的坐标为（2，1，1），故选：A点评： 本题考查了关于原点对称的点的特点，属于基础题2如图是某样本数据的茎叶图，则该样本数据的众数为（） A 10 B 21 C 35 D 46考点： 众数、中位数、平均数 专题： 概率与统计分析： 通过样本数据的茎叶图直接读出即可解答： 解：通过样本数据的茎叶图发现，有3个数据是35，最多，故选：C点评： 本题考查了样本数据的众数，考查了茎叶图，是一道基础题3已知点A（1，2），B（1，3），若直线l与直线AB平行，则直线l的

10、斜率为（） A 2 B 2 C D 考点： 直线的斜率 专题： 直线与圆分析： 直接由两点坐标求得直线AB的斜率，再由两直线平行斜率相等得答案解答： 解：A（1，2），B（1，3），又直线l与直线AB平行，则直线l的斜率为故选：D点评： 本题考查了由直线上的两点的坐标求直线的斜率公式，是基础的计算题4根据如图的程序语句，当输入的x的值为2时，则执行程序后输出的结果是（） A 4 B 6 C 8 D 10考点： 选择结构 专题： 算法和程序框图分析： 执行程序语句，可得程序的功能是计算并输出分段函数y=的值，将x=2代入即可求值解答： 解：执行程序语句，可得程序的功能是计算并输出分段函数y=的值

11、，故当x=2时，y=2×（2+1）=6故选：B点评： 本题主要考查了程序与算法，正确理解程序的功能是解题的关键，属于基础题5经过点（2，1），且倾斜角为135°的直线方程为（） A x+y3=0 B xy1=0 C 2xy3=0 D x2y=0考点： 直线的点斜式方程 专题： 直线与圆分析： 由直线的倾斜角求出直线的斜率，代入直线的点斜式方程得答案解答： 解：直线的倾斜角为135°，直线的斜率k=tan135°=1又直线过点（2，1），由直线的点斜式可得直线方程为y1=1×（x2），即x+y3=0故选：A点评： 本题考查了直线的倾斜角与斜率的关

12、系，考查了直线的点斜式方程，是基础题6已知圆C1：x2+y2+2x4y+1=0，圆C2：（x3）2+（y+1）2=1，则这两圆的位置关系是（） A 相交 B 相离 C 外切 D 内含考点： 圆与圆的位置关系及其判定 专题： 计算题；直线与圆分析： 把圆的方程化为标准方程，分别找出两圆的圆心坐标和半径R与r，利用两点间的距离公式求出两圆心的距离d，由dR+r得到两圆的位置关系为相离解答： 解：由圆C1：x2+y2+2x4y+1=0，化为（x+1）2+（y2）2=4，圆心C1（1，2），R=2圆C2：（x3）2+（y+1）2=1，圆心C2（3，1），r=1，两圆心间的距离d=52+1，圆C1和圆C

13、2的位置关系是相离故选：B点评： 此题考查了圆与圆的位置关系及其判定，以及两点间的距离公式圆与圆位置关系的判定方法为：0dRr，两圆内含；d=Rr，两圆内切；RrdR+r时，两圆相交；d=R+r时，两圆外切；dR+r时，两圆相离（d为两圆心间的距离，R和r分别为两圆的半径）7如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，E为BC1与B1C的交点，记=，=，=，则=（） A + B + C + D 考点： 空间向量的加减法 专题： 空间向量及应用分析： 利用向量三角形法则、平行四边形法则即可得出解答： 解：，=+=故选：C点评： 本题考查了向量三角形法则、平行四边形法则，属于基础题8已知l，m是

14、两条不同的直线，是两个不同的平面，则在下列条件中，一定能得到lm的是（） A =l，m与，所成角相等 B ，l，m C l，m与平面所成角之和为90° D ，l，m考点： 空间中直线与平面之间的位置关系 专题： 空间位置关系与距离分析： 充分利用面面垂直和面面平行的性质定理对选项分别分析选择解答： 解：对于A，=l，m与，所成角相等，当m，时，ml，得不到lm；对于B，l，得到l或者l，又m，所以l与m不一定垂直；对于C，l，m与平面所成角之和为90°，当l，m与平面都成45°时，可能平行，故C错误；对于D，l，得到l，又m，所以lm；故选D点评： 本题考查了直线

15、垂直的判断，用到了线面垂直、线面平行的性质定理和判定定理，熟练运用相关的定理是关键，属于中档题目9已知直线l：xsinycos=1，其中为常数且0，2）有以下结论：直线l的倾斜角为；无论为何值，直线l总与一定圆相切；若直线l与两坐标轴都相交，则与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1；若P（x，y）是直线l上的任意一点，则x2+y21其中正确结论的个数为（） A 1 B 2 C 3 D 4考点： 命题的真假判断与应用 专题： 简易逻辑分析： 举例说明错误；由点到直线的距离公式求得（0，0）到直线的距离判断；求出三角形面积公式，结合三角函数的有界性判断；由说明正确解答： 解：直线l：xsinycos

16、=1，当=时，直线方程为：x=1，直线的倾斜角为，命题错误；坐标原点O（0，0）到直线xsinycos=1的距离为，无论为何值，直线l总与一定圆x2+y2=1相切，命题正确；当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积S=1，故正确；无论为何值，直线l总与一定圆x2+y2=1相切，正确正确的命题是3个故选：C点评： 本题考查了命题的真假判断与应用，考查了直线的倾斜角，点与直线的关系，直线与圆的位置关系，三角函数的值域等，是中档题10在RtABC中，已知D是斜边AB上任意一点（如图），沿直线CD将ABC折成直二面角BCDA（如图）若折叠后A，B两点间的距离为d，则下列说法正确的是 （）

17、 A 当CD为RtABC的中线时，d取得最小值 B 当CD为RtABC的角平分线时，d取得最小值 C 当CD为RtABC的高线时，d取得最小值 D 当D在RtABC的AB边上移动时，d为定值考点： 平面与平面之间的位置关系 专题： 空间位置关系与距离分析： 过A作CD的垂线AG，过B作CD的延长线的垂线BH，设BC=a，AC=b，ACD=，利用两条异面直线上两点间的距离转化为含有的三角函数求得最值解答： 解：如图，设BC=a，AC=b，ACD=，则（0），过A作CD的垂线AG，过B作CD的延长线的垂线BH，AG=bsin，BH=acos，CG=bcos，CH=asin，则HG=CHCG=asi

18、nbcos，d=|AB|=当，即当CD为RtABC的角平分线时，d取得最小值故选：B点评： 本题考查平面与平面之间的位置关系，考查了两条异面直线上两点间的距离，运用数学转化思想方法是解答该题的关键，是中档题二、填空题（每小题5分，共25分）11在空间直角坐标系Oxyz中，已知点P（1，0，5），Q（1，3，4），则线段PQ的长度为考点： 空间两点间的距离公式 专题： 空间位置关系与距离分析： 直接利用空间两点间距离公式求解即可解答： 解：空间直角坐标系中，P（1，0，5），Q（1，3，4），则线段|PQ|=故答案为：点评： 本题考查空间两点间的距离公式的应用，基本知识的考查12某单位有1200

19、名职工，其中年龄在50岁以上的有500人，3550岁的400人，2035岁的300人为了解该单位职工的身体健康状况，现采用分层抽样的方法，从1200名职工抽取一个容量为60的样本，则在3550岁年龄段应抽取的人数为20考点： 分层抽样方法 专题： 概率与统计分析： 根据题意，求出抽取样本的比例，计算抽取的人数即可解答： 解：根据题意，得；抽样比例是=，在3550岁年龄段应抽取的人数为400×=20故答案为：20点评： 本题考查了分层抽样方法的应用问题，是基础题目13执行如图所示的程序框图，则输出的结果为4考点： 程序框图 专题： 算法和程序框图分析： 执行程序框图，依次写出每次循环得

20、到的x，y的值，当x=8时，不满足条件x4，输出y的值为4解答： 解：执行程序框图，可得x=1，y=1满足条件x4，x=2，y=2满足条件x4，x=4，y=3满足条件x4，x=8，y=4不满足条件x4，输出y的值为4故答案为：4点评： 本题主要考查了程序框图和算法，准确执行循环得到y的值是解题的关键，属于基础题14在正方体ABCDA1B1C1D1的12条面对角线所在的直线中，与A1B所在的直线异面而且夹角为60°的直线有4条考点： 空间中直线与直线之间的位置关系 专题： 空间位置关系与距离分析： 作出正方体，利用正方体的空间结构，根据异面直线的定义进行判断解答： 解：如图，在正方体A

21、BCDA1B1C1D1中，与A1B异面而且夹角为60°的有：AC，AD1，CB1，B1D1，共有4条故答案为：4点评： 本题考查异面直线的定义，是基础题，解题时要熟练掌握异面直线的概念15记空间向量=，=，=，其中，均为单位向量若，且与，的夹角均为，0，有以下结论：（）；直线OC与平面OAB所成角等于向量与+的夹角；若向量+所在直线与平面ABC垂直，则=60°；当=90°时，P为ABC内（含边界）一动点，若向量与+夹角的余弦值为，则动点P的轨迹为圆其中，正确的结论有（写出所有正确结论的序号）考点： 平面向量数量积的运算 专题： 平面向量及应用分析： （）=cosc

22、os=0，可得（）；当时，直线OC与平面OAB所成角的补角等于向量与+的夹角，即可判断出正误；向量+所在直线OD与平面ABC垂直于点D，又BC=AC，D为AB的中点，则CDAB，可得ODCD，可得AC=1=OC=OA，可得=60°，即可判断出正误；补全正方体，对角线OD与平面ABC相交于点M，点M为等边三角形的中心，可得OM=，OP=，MP=即可得出动点P的轨迹为圆，点M为圆心，MP为半径的圆解答： 解：（）=coscos=0，（），正确；当时，直线OC与平面OAB所成角等于向量与+的夹角；当时，直线OC与平面OAB所成角的补角等于向量与+的夹角，因此不正确；向量+所在直线OD与平面

23、ABC垂直于点D，又BC=AC，D为AB的中点，则CDAB，ODCD，又OD=DA=CD，AC=1=OC=OA，则=60°，正确；当=90°时，P为ABC内（含边界）一动点，补全正方体，对角线OD与平面ABC相交于点M，点M为等边三角形的中心，OM=，向量与+（即与）的夹角的余弦值为，=，=动点P的轨迹为圆，点M为圆心，MP为半径的圆，因此正确其中，正确的结论有故答案为：点评： 本题考查了向量的数量积运算性质、空间线面位置关系、空间角、正方体的性质，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题三、解答题（共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16（12

24、分）（2014秋成都期末）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分别是棱AB，A1D1，AD的中点，求证：（）平面MNP平面BDD1B1；（）MNAC考点： 空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面平行的判定 专题： 空间位置关系与距离分析： （）只要证明MPBD，NPDD1，利用面面平行的判定定理可证；（）由已知容易得到NP底面ABCD，利用射影定理，只要证明MPAC即可解答： 证明：（）在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分别是棱AB，A1D1，AD的中点，MPBD，NPDD1，平面MNP平面BDD1B1；（）由已知，可得NPDD1，又DD1底面ABCD，NP底面

25、ABCD，MN在底面ABCD的射影为MP，M，N是AB，A1D1的中点，MPBD，又BDAC，MPAC，MNAC点评： 本题考查了正方体的性质以及线面平行、面面平行的判定定理和性质定理的运用17（12分）（2014秋成都期末）某校要调查高中二年级男生的身高情况，现从全年级男生中随机抽取一个容量为100的样本样本数据统计如表，对应的频率分布直方图如图所示（1）求频率分布直方图中a，b的值；（2）用样本估计总体，若该校高中二年级男生共有1000人，求该年级中男生身高不低于170cm的人数身高（单位：cm） 150，155） 155，160） 160，165） 165，170） 170，175） 1

26、75，180） 180，185） 185，190）人数 2 8 15 20 25 18 10 2考点： 频率分布直方图 专题： 概率与统计分析： （1）根据频率、频数与样本容量的关系，结合频率分布直方图中小矩形的高，求出a、b的值；（2）求出该年级中男生身高不低于170cm的频率，计算对应的频数即可解答： 解：（1）身高在160，165）的频率为=0.15，=0.03，即a=0.03；身高在170，175）的频率为=0.25，=0.05，即b=0.05；（2）该年级中男生身高不低于170cm的频率为0.25+0.036×5+0.02×5+0.004×5=0.55，

27、估计该年级中男生身高不低于170cm的人数是1000×0.55=550点评： 本题考查了频率分布表与频率分布直方图的应用问题，是基础题目18（12分）（2014秋成都期末）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，向量，两两垂直，|=1，|=2，E，F分别为棱BB1，BC的中点，且=0（）求向量的模；（）求直线AA1与平面A1EF所成角的正弦值考点： 平面向量数量积的运算；直线与平面所成的角 专题： 平面向量及应用分析： （）分别以AC，AB，AA1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设A1（0，0，z），得到=4=0，解出即可（）分别求出，的坐标，设平面A1EF的法向量=（x，y，z），得

28、到方程组，求出一个，从而求出直线AA1与平面A1EF所成角的正弦值解答： 解：（）分别以AC，AB，AA1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图示：，C（1，0，0），B（0，2，0），F（1，1，0），设A1（0，0，z），则E（0，2，），B1（0，2，z），=（1，2，z），=（0，2，），=4=0，解得：z=2，|=2；（）由（）得：=（0，0，2），=（1，1，2），=（0，2，），设平面A1EF的法向量=（x，y，z），令z=2，=（3，2），设直线AA1与平面A1EF所成的角为，sin=点评： 本题考查了平面向量的数量积的运算及应用，考查了线面角问题，是一道中档题19（12分）（

29、2014秋成都期末）已知直线l1：mx（m+1）y2=0，l2：x+2y+1=0，l3：y=x2是三条不同的直线，其中mR（）求证：直线l1恒过定点，并求出该点的坐标；（）若l2，l3的交点为圆心，2为半径的圆C与直线l1相交于A，B两点，求|AB|的最小值考点： 直线与圆相交的性质；恒过定点的直线 专题： 计算题；直线与圆分析： （）直线l1：mx（m+1）y2=0，可化为m（xy）（y+2）=0，可得，即可得出直线l1恒过定点，及该点的坐标；（）求|AB|的最小值，即求圆心到直线的距离的最大值，此时CD直线l1解答： （）证明：直线l1：mx（m+1）y2=0，可化为m（xy）（y+2）=

30、0，x=y=2，直线l1恒过定点D（2，2）；（）解：l2：x+2y+1=0，l3：y=x2联立可得交点坐标C（1，1），求|AB|的最小值，即求圆心到直线的距离的最大值，此时CD直线l1，|CD|=，|AB|的最小值为2=2点评： 本题考查直线l1恒过定点，考查弦长的计算，考查学生分析解决问题的能力，比较基础20（13分）（2014秋成都期末）如图，在四棱锥PABCD中，PAB是边长为2的正三角形，底面ABCD为菱形，且平面PAB平面ABCD，PCAB，E为PD上一点，且PD=3PE（）求异面直线AB与CE所成角的余弦值；（）求平面PAC与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值考点： 二面角的平

31、面角及求法；异面直线及其所成的角 专题： 空间角分析： （）建立空间坐标系，利用向量法即可求异面直线AB与CE所成角的余弦值；（）建立空间坐标系，利用向量法即可求平面PAC与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值解答： 解：（I）取AB的中点O，连接PO，OCPAB为边长为2的正三角形，POAB又平面PAB平面ABCD，平面PAB平面ABCD=AB，PO平面PABPO平面ABCD，又PCAB，POPC=P，PO，PC平面POCAB平面POC又OC平面POCABOC以O为坐标原点，建立如图所示的空间坐标系，则A（1，0，0），C（0，0），P（0，0，），D（2，0），B（1，0，0），PD=3PE，E（，）则=（2，0，0），=（，），则|=，则cos，=，即异面直线AB与CE所成角的余弦值为（2）设平面PAC的法向量为=（x，y，z），=（1，0），=（0，），由，即，令z=1，则y=1，x=，即=（，1，1），平面ABCD