巧分类解计数问题

1、巧分类解计数问题在正方形的网格中，每个小方格的边长都是相等的，每个小方格的顶点叫格点。我们把以格点的连线为边的图形叫格点图。 以格点的连线为边的三角形叫 格点三角形。在初中数学实验教材中的最后几页， 都给学生提供了方格纸，供学 生画正方体的展开图、三视图、轴对称图形、中心对称图形、平行四边形。 与方格纸有关的问题大部分具有开放性， 设计新颖，方格纸中的计数问题能很好 地考查学生的计算、观察、推理、想象等多方面能力，现举例说明。例1:已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为 1的正方形，A、B两点在小 方格的顶点上，位置如图（1）所示，点C也在小方格的顶点上，且以 A、B、C 为顶点的三角形面积

2、为1，则点C的个数为（）A . 3个B. 4个C. 5个D. 6个dALr1/V/A(F/图（1）图（2）解析：连结AB,根据题意，厶ABC可以底为2，高为1 AB两侧的点C、G均符合，如图（2），过点G、C2分别作AB的平行线，它们所经过的另外 4个格点也符合，选D例2:如图（1），在10X 10的正方形的网格纸中，线段 AB CD的长均等于5, 则图中到AB和CD所在直线的距离相等的网格点的个数有（）A . 2个B. 3个C. 4个D. 5个图（1）图（2）解析：将AB向上平移，使得点A与点C重合，如图（2），以CD CB为两邻边画菱形CDEB，连结CE贝U CE平分N DCB'延

3、长DC与BA交于点0,过点0画0M CE则0M上的点到AB和CD所在直线的 距离相等，观察发现0M共经过有4个格点，选C。例3:在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定距离，这样的图形变换为平移, 如图（1），将网格中的三条线段沿网格线的方向（水平或垂直）平移后组成一个图（1）图（2）解析：由题意可知，将三条线段都移到网格的中央时格数量少，如图（2），将最上方的线段（记为线段 AB向下平移2格。将最左边的线段向右平移3格，使它的一个端点与B点重合。将最右边的线段向上平移2格，再向左平移2格，使它的一个端点与A点重合， 此时三条线段恰好依次相接成三角形。所以共移动2+3+2+2=9格，选C说明：借

4、助于网格的直观性，利用几何图形的性质在网格中进行操作，是解答计数问题的常用方法。例4：如图，在四个正方形拼接成的图形中，以 A，A2, A"，A。这十个点中任意 三点为顶点，共能组成 个等腰直角三角形，你愿意把得到上述结论的探究 方法与他人交流吗？若愿意，请在下方简要写出你的探究过程。解析：方法1：如图2，以为A 1，A2，A3，A4，A5等腰直角三角形的直角顶点，有 2+ 1 + 4+6+ 3= 16个等腰直角三角形。又根据图形的轴对称性质，图1共有16X 2 = 32个等腰直角三角形A9彳/:10A：；产JA8 %y. A7：*A6y*"'* 'zA2A

5、3A4A5图2方法2:将直角三角形的腰长分成四类：12,2, .5，它们分别有18,10,2 , 2个 等腰直角三角形，共32个。也可将斜边长分成四类：A9 jry1'A1 A10jv.A8A7 A6隹=J"a. -bZA2 A3A4 A5图 3例5:把面积为1 一小正方形平移，组成如图矩形，点 A B C D E、F、G是小正方形的顶点，以这七个点中任意三点为顶点，可组成多少面积为1的三角 形？请你写出所有这样的三角形C解析: 方法1 :按顶点数ADEAEF AFG ACGBDEBEF BFG BFC;CDFCEGDAB以E为顶点：EABFAB以G为顶点：GAB以A为顶点:

6、以B为顶点:以C为顶点:以D为顶点:以F为顶点:方法2:按边数以 AB为边： ABD ABE ABF ABG以CG为边： CGE CGA以DE为边： DEA DEB 以 DF为边： DFC以EF为边： EFA EFB 以 EG为边： EGC以FG为边: FGA FGB方法3:按字母顺序数 ABD ABE ABF ABG ACG ADE AEF AFQ BCF BDE BEF BFG CDF CEG说明：本题是从顶点、边、字母的角度对问题进行思考，体现了思维的灵活性和 发散性。例6：如图，是某城市的一部分街道图，纵横各有五条路。如果从A处走到B处, （只能由北到南，由西向东），那么有多少种不同的走法？解析：不妨先将问题简化为图2，由A至C有2种走法；再将图2扩大到图3， 可知由A到D共有6种走法；经分析可以得出如下规律：每个小方格左上角顶点 到终点的不同走法，等于与此点相邻的两个顶点到终点处的不同走法之和。如图19-4，由前面的分析可知，由A到B的不同走法为70种图21 21314 ,1513610151410203515153570A图14说明：本题的方法是连续运用加法原理的结果。方格纸中计数问题体现了数形结合思想，它解答方法且有多样性，