R第十九章机械振动基础

1、1第十九章第十九章 机械振动基础机械振动基础19-1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动19-2 计算固有频率的能量法计算固有频率的能量法19-3 单自由度系统的衰减振动单自由度系统的衰减振动19-4 单自由度系统的受迫振动单自由度系统的受迫振动2机械振动：在一定条件下，振动体在其平衡位置附近所作的往复运动。本章仅研究单自由度系统的振动，讨论振动的基本特征。系统偏离平衡位置后，仅在恢复力作用下维持的振动称为自由振动。静平衡时stkmg19-1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动一振动微分方程一振动微分方程3以平衡位置为原点，建立图示坐标振动微分方程为kxxkmgFmgxms

2、t)( 得0kxxm mkn2令代入上式，得02xxn 上式通解为：)sin(tAxn式中积分常数A和分别为振幅和初位相。它们由运动的初始条件决定。二微分方程的解二微分方程的解4000 xxxxt ，时设得：2202nxxA1、圆频率mkn(rad/s)为2秒内系统振动的次数弹簧悬置系统：stkmgstng因此00tgxxn三三.振动的频率和周期振动的频率和周期52、频率为系统每秒振动的次数mkfn2123、周期为系统振动一次所需的时间kmTn22 频率和周期只与系统本身所固有的惯性和弹性有关，而与运动的起始条件无关6例例19-1 质量m=0.5kg的物块，沿光滑斜面无初速度滑下，如图19-4

3、所示。当物块下落高度h=0.1m时撞于无质量的弹簧上并不再分离。弹簧刚度k=0.8kN/m，倾角=30，求此系统振动的固有频率和振幅，并写出物块的运动方程。解解：物块平衡时，弹簧的变形为kmg/sin0以物块平衡位置为原点，建立图示x坐标。物块受力如图，其运动微分方程为7)(sin0 xkmgxm 化简后得0)/(xmkx rad/s40/mkn运动的初始条件为：m1006. 3300 xm/s4 . 120ghv则mmvxAn1 .35/22020rad087. 0)/arctg(00vxn则物块的运动方程)(mm)087. 040sin(1 .35tx81）并联弹簧stkF11stkF22

4、由平衡方程得mgkkksteqst)(2121kkkeqkeq等效弹簧刚度四四.等效弹簧等效弹簧并联和串联弹簧并联和串联弹簧92）串联弹簧静平衡时，变形分别为st1和st2。11kmgst22kmgst弹簧总伸长mgkkkkmgkkststst21212121)11(2121kkkkkeq10对于单自由度的保守系统，固有频率可简便地由机械能守恒定律求出，称为能量法。设图示的系统作简谐振动，则有)cos(tAxnn)sin(tAxn若以平衡位置为势能零点，则系统势能 mgxssxkVstst22)(21)(sin2121222tkAkxn19-2 计算固有频率的能量法计算固有频率的能量法11系统

5、动能)(cos21212222tAmxmTnn由机械能守恒，则maxmaxVT得2222121kAAmnmkn/以上计算表明：如取平衡位置为势能零点，则可以弹簧在平衡位置为原长计算弹性势能，而不考虑重力势能。12例例19-5 如图所示振动系统中，摆杆AO对铰链O的转动惯量为J，在杆的点A和B各安置刚度分别为k1和k2的弹簧，系统在水平位置处于平衡，求系统微振动的固有频率。解解：设摆杆作自由振动时，其摆角的变化规律为)sin(tn系统动能)(cos21212222tJJTnn13以平衡位置为势能零点，系统势能222212221)(21)(21)(21dklkdklkV)(sin)(2122222

6、1tdklknmaxmaxVT由得固有频率Jdklkn222114阻尼有不同形式，这里仅讨论阻力与速度成正比的粘性阻尼。即vFccc阻尼系数。取决于阻尼介质的性质和物体的形状取平衡位置为Ox坐标原点，受力如图。xcFcxkxxcxm 一一. 衰减振动微分方程衰减振动微分方程微分方程为19-3 单自由度系统的衰减振动单自由度系统的衰减振动15，代入上式得令mcn 2022xxnxn 设x=et，代入上式，得特征方程0222nnrr方程的两个根222, 1nnnr有三种可能情形：nn，nn，nn1）小阻尼情形 nn)2(mkc 二、二、.微分方程的解微分方程的解16此时222, 1ninrn22n

7、nd得运动方程)sin(tAexdnt其中：由于振幅随时间不断衰减，故称为衰减振动。衰减振动的周期2222nTndd初始幅值A和初位相取决于初始条件。ntntAexAe17mkcnn2令称为阻尼比。22112TTnd则 可知，周期较之无阻尼自由振动的周期略有略有增加。阻尼对振幅的影响阻尼对振幅的影响)(1diTtniieAA引入减幅系数ddiinTTtnntiieAeAeAA)(1上式表明：有阻尼时，振幅按几何级数衰减。18例如：=0.05时，=0.7301。可以算出，经过10个周期后，振幅只及原振幅的4.3%。减幅系数的自然对数称为对数减幅系数dnTnTedlnln2）临界阻尼情形 n=n

8、)2(mkc 微分方程的解为)(21tCCexnt不具有振动的特点193）大阻尼情形 nn )2(mkc 此时微分方程的解为)(222221tntnntnneCeCex20振动系统在外加持续激励下的振动称为受迫振动。下面仅讨论简谐激励情形。激振力tHFsin1其中，H1为最大激振力，为激振力的圆频率。19-4 单自由度系统的受迫振动单自由度系统的受迫振动21一、振动微分方程一、振动微分方程以平衡位置为坐标原点tHxckxxmsin1 运动微分方程mHhmcnmkn12,2 ,令整理化简后，得单自由度系统受迫振动微分方程的标准形式thxxnxnsin22 22二、微分方程的解二、微分方程的解)s

9、in()sin(tbtAexnnt上式右端第一项很快衰减，最后得到稳态的简谐振动即系统的受迫振动)sin(tbx 由式可知，受迫振动的频率等于激振力的频率。 受迫振动的振幅和位相差22220222224)1 (4)(bnhbn222122tgnn23式中kHhbnnonn12,b0最大激振力引起的弹簧静变形三、幅频特性三、幅频特性 受迫振动振幅与静变形之比称放大系数，即0bb241）当1时，阻尼对振幅的影响很小，可忽略不计。2）当在0.751.25之间时，称为共振区。在此区域内阻尼对振幅有显著影响。0.707的各条曲线，都有相应的最大值0dtd由就可求得共振时的和20212max121通常阻尼比1时，阻尼对振幅影响可忽略不计。四、相频特性四、相频特性（1）1时， ，受迫振动位移与激振力接近于反相位。（3） =1时， =/2 ，与阻尼大小无关。26例例19-9 图中所示为一无重刚杆。其一端铰支，距铰支端l处有一质量为m的质点，距2l处有一阻尼器，其阻尼系数为c，A端处有一刚度为k的弹簧，并作用一简谐激振力F=F0sint。刚杆在水平位置平衡，试列出系统的振动微分方程，并求系统的固有频率n，以及当激振力频率等于n时质点的振幅。27解解：取摆角为广义坐