差分方程模型

1、2008- 4- 26 22:37:#PDF文件使用"pdf Factory Pro"试用版木忌亂為2008- 4- 26 22:37:42差分方程模型1.IllL流中地高辛的衰减地高辛用于心脏病。考虑地高辛在血流中的衰减问题以开出能 使地高辛保持在可接受（安全而有效）的水平上的剂量处方。假定开了每日0.1毫克的剂量处方，且知道在每个剂量周期（每日）末还剩 留一半地高辛，则可建立模型如下:设某病人第天后血流中地高辛剩余量为勺,a卄严05碍十0（一阶非齐次线性差分方程）皿=如-=-O.5an2. 养老金问题对现有存款付给利息且允许每月有固定数额的提款，直到提尽为止。月利息为1

2、 %,月提款额为1000元，则可建模型如下:设第和月的存款额为则6+1 =101色-1000 （ 一阶非齐次线性差分方程）3. 兔子问题（Fi bonacci数）设第一月初有雌雄各一的一对小兔，假定两月后长成成兔，同时（即第三个月）开始，每月初产雌雄各一的一对小兔，新增小兔也按此规律繁殖，设第"月末共有代对兔子，则建模如下：（二阶线性差分方程初值问题）11 F 4- F2 = 2 F3 4- F2耳工2F3注意上月新生的小兔不产兔PDF文件使用"pdf Factory Pro"试用版木忌亂為2008- 4- 26 22:37:#PDF文件使用"pdf F

3、actory Pro"试用版木忌亂為2008- 4- 26 22:37:43（因第n月末的兔子包括两部分，一部分上月留下的为代一 1,另一部分为当月新生的，而新生的小兔数二前月末的兔数）4. 车出租问题A, B两地均为旅游城市，游客可在一个城市租车而在另一个城市还车。A, B两汽车公司需考虑置放足够的车辆满足用车需要，以便估算成本。分析历史记录数据得出:30%Xn :第n天营业结束时A公司的车辆数 V畀：第n天营业结束时B公司的车辆数Jxn+1 =0.6xn+0.3yn则ly+1 = 0.4x” + 0.7儿（一阶线性差分方程组）（问题模型可进一步推广）PDF文件使用"pd

4、f Factory Pro"试用版木忌亂為2008- 4- 26 22:37:47类比：差分方程是数列间关系；微分方程是函数间关系定义1形如 勺+%+E%2+L +恥0的差分方程，称为U的k阶常系数线性齐次差分方程，其中乞为常数，仇工0且 n>k. xk +biXk-l+b2xk-2+L +bk=。称为差分方程的特征方 程，其根称为特征根。定理1 （单根情形）若特征方程恰有k个相异的特征根兀1，兀2丄 m 则差分方程的通解为Cin =c.x" +c2x"+L +ckx例1求解兔子问题 解：差分方程的特征方程为，_兀_1=0i-y/52L=J定理2 (重根情形

5、)若特征方程的相异特征根为坷,勺丄，兀, 重数依次为%,加2丄，旳,其中"+L mt =k、则差分方程的通 解为：a”=(5+c/+L cUnn'"'-i)xl" +(c2l+c22n+L c2mnm)x2n+L +©+c/+L clmnm-')Xin(定理1包含在定理2之中)定理3若差分方程的特征方程的特征根出现一对共觇虚根,X = W + ZVx2 = u- iv和相异的2个根兀3丄心,则差分方程的通解为：an =Cp" cosnG +c2pn sinO+L +ckxkn定义 2 形如 a” +bg +b2a_2 +

6、L +bkan_k = f(n) (勺上 2，L，瓦为常数，b"0, f(n) 0, n>k)的差分方程为k阶常系数线性非齐次差分方程。称 a“+$a”_i+L +bkan_k =0为其对应的齐次方程。定理4非齐次差分方程的通解等于对应齐次差分方程的通解 加上非齐次方程的特解，即*an =%+心，其中：为通解，兀为特解.例2(地高辛问题)解 £+1 = °5十01齐次特征方程 入-0.5 = 0, 齐次方程通解 d；=c(O5)J设特解为兀5代入D = O.5D + OA得D = 0.29于是所求通解为 an = c(0.5)" +0.2例3 (养

7、老金问题)解法1£+1 = 1.01a” 一 1000齐次特征方程入-l.oi =0,齐次方程通解勺：=c(i.oir.设特解为 砖 D、代入代入原方程得D = 100000通解为 d” = c(l .01)" + 1OOOOO解法 2(化齐)勺+-101色=1000, an-.0an_ =-1000 . 相减得% -2-0la +1.01 = 0,特征方程入2_2.01 入+ 1.01 = 0.(入一 1.01)(九一1) = 0,通解为=s + c(1.01)",代入原方程得C| + c 1.0-1.0 匕 一 (1.0 l)n+l C = 一 1000, C

8、, =1000.故=c(l01)“ 十 100000.例4求非齐次差分方程a” -4a_. +4a“ = 2"的通解解法1齐次特征方程卩-4入+4 = 0,二重根入=2 ,对应齐次方程的通解为a： = cQ +。2粒2 因/何=2中，2是2重根故设特解为an=A-n2-2n 代入得4 = 1/2,故通解为="2 + c2n -2n +n2 2n方法 2(化齐)cin - 4% + 4g“_2 = 2", 2(% - 4aft_2 + 4an_3) = 2 - 2,_1 相减得陽6% +12呪-8a“ = 0,特征方程X3-6X2+12X-8 = 0 特征根入=2为

9、三重根,通解为a” = q 2" + c2n 2n +c3n2- 2".代入原方程得C3 = 1/2,故=5 2 +创2 +宀2心PDF文件使用"pdf Factory Pro"试用版木创召亂需半nt. cn2008- 4- 26 22:37:48三爰分方程的年衡圭员唸定性1 一阶线性方程十叫严b的平衡点及稳定性平衡点可由x“ 解得心D相当于7的那种点）当初始条件4。=兀0,则 切勺=%若对任何初始条件，都有£ T OO时，T X。，则称平衡点兀0 是稳定的，否则称为不稳定的。一阶方程的通解"” =c（-a）" +总，因此I

10、 a 1< 1时才是稳定的.地高辛问题勺=°5%t +°1,通解6 =c（O5）" +0.2, 0.2是平衡 点，且是稳定的。就是说，不管初始值如何，若干天以后，血中 地高辛剩留量接近02 .养老金问题 ,=1.01-1000,通解=c(1.01)n+100000 ,10是平衡点，不稳定.若心= 100000 =>c = 0,贝 ijV n9afl = 100000若a。> 10', c > 0,则色 T +oo若aoViO', cvO,则匕 T-2.二阶方程的平衡点及稳定性只须讨论齐次方程一 +ban-2 = °

11、 ；对非齐次方程 a” - aa”_i + ba_2 =d为常数）可作线性变换hn=ane化成 齐次方程，稳定性相同.齐次方程通解色以用+。2理，平衡点为0,坷宀是互异特征 根（或重根），当"Too仅当IX.K1, l2kl才是稳定的。PDF文件使用"pdf Fact or y Pro"试用版木创殊亂2d用nt. cn2008- 4- 26 22:37:483n阶齐次次方程组平衡点0的稳定性.a(")为n维列向量，A为nxn阵。齐次线性差分方程组 冰力+心-1) = 0 ,平衡点0稳定的条件是A的所有特征根阮J< 1 o4.求解n阶齐次线性差分方程

12、组方法：仿照线性微分方程组解的法，注意二者的区别dx y K XPDF文件使用"pdf Factory Pro"试用版木伍由咅乙器半nt. cn2008- 4- 26 22:37:#PDF文件使用"pdf Factory Pro"试用版木伍由咅乙器半nt. cn2008- 4- 26 22:37:#汽车出租问题全类完似的问题：选民下一次选举的投票趋势PDF文件使用"pdf Factory Pro"试用版木伍由咅乙器半nt. cn2008- 4- 26 22:37:#PDF文件使用"pdf Factory Pro"试

13、用版木伍由咅乙器半nt. cn2008- 4- 26 22:37:#和=°6©+03儿='0.6 0.3、X”A ='0.6 0.3、几+】=°4乙+07几11+10.4 0.7 /n0.4 0.7 /汽车出租问题解法1IA=AEI=0.6-入0.40.3O.7-X=（0.6-九）（0.7-入）0.12=X? 一13九+0.3=0PDF文件使用"pdf Factory Pro"试用版木伍由咅乙器半nt. cn2008- 4- 26 22:37:#PDF文件使用"pdf Factory Pro"试用版木伍由咅乙

14、器半nt. cn2008- 4- 26 22:37:#九=1，九2 =特征根互异对九1 = 1,由(A “)(：卜0得PDF文件使用"pdf Factory Pro"试用版木伍由咅乙器半nt. cn2008- 4- 26 22:37:#PDF文件使用"pdf Factory Pro"试用版木伍由咅乙器半nt. cn2008- 4- 26 22:37:#0.4。+ 0.30 = 0PDF文件使用"pdf Factory Pro"试用版木伍由咅乙器半nt. cn2008- 4- 26 22:37:50x；=/ a 汉b70.3、0.4/&

15、lt;0.3 >0.4对九=0.3 设 x“=o.3"由(A-入2Q"得O3a + O3b = O(a>r 1 X： = 03"(1)b-1nJ-1 7k /取0.30.40.3"一 0.3"通解为xn =O.3C +c°O3" yn = (Me】一c°0.3"汽车出租问题解法2（理论解法）S=06&+03儿 、儿+严°4心+°7儿<0.60.40.3A0.77T'AT =B a = tbtXfl+=TBT-Xn令 AT =TBt<0.60.40.3丫闪 07 Pa22>a】 a2P P2Vl0A0、0.3/'0