向量的坐标表示及其运算精品资料

1、向量的坐标表示及其运算【知识概要】1. 向量及其表示1）向量： 我们把既有大小又有方向的量叫向量（向量可以用一个小写英文字母上面加箭头来表示，如 a 读作向量 a ，向量也可以用两个大写字母上面加箭头来表示，如AB ，表示由A 到 B 的向量 .A 为向量的起点，B 为向量的终点）. 向量 AB（或 a ）的大小叫做 向量的模， 记作 AB （或 a ）.注： 既有方向又有大小的量叫做向量， 只有大小没有方向的量叫做标量， 向量与标量是两种不同的量，要加以区别； 长度为 0 的向量叫零向量，记作0 0 的方向是任意的注意 0 与 0 的区别 长度为 1 个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向

2、量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.例 1下列各量中不是向量的是（DA. 浮力B.风速C.位移D.密度例 2下列说法中错误的是（A）A.B. 零向量的长度为0C.D.例3把平面上一切单位向量的始点放在同一点, 那么这些向量的终点所构成的图形是（D）A.B.C.D.2）向量坐标的有关概念 基本单位向量: 在平面直角坐标系中，方向分别与x 轴和 y 轴正方向相同的两个单位向量叫做基本单位，记为i 和 j . 将向量 a 的起点置于坐标原点O ，作 OAa ，则 OA 叫做 位置向量 ，如果点 A 的坐标为 (x, y) ，它在 x 轴和 y 轴上的投影分别为M , N ，则 OAOMON

3、 , aOAxiy j. 向量的正交分解在中，向量 OA 能表示成两个相互垂直的向量i 、 j 分别乘上实数 x, y 后组成的和式， 该和式称为 i 、 j的线性组合， 这种向量的表示方法叫做向量的正交分解，把有序的实数对 (x, y)叫做向量 a 的坐标，记为a = ( x, y) .一般地，对于以点11 1为起点，点222)为终点的向量PP，容易推得P ( x , y )P ( x , y12PP12 (x2 x1 )i ( y2y1 ) j ，于是相应地就可以把有序实数对( x2 x1, y2y1) 叫做 PP12的坐标，记作PP(x2x1, y2 y1).1 2 =3）向量的坐标运算

4、： a( x1, y1 ), b(x2 , y2 ) ，R则 a b ( x1x2, y1y2 ); a b (x1x2 , y1y2 ); a ( x1 , x2 ) .4） 向量的模： 设 a( x, y) ，由两点间距离公式，可求得向量a 的模 ( norm) .ax2y 2 .注：向量的大小可以用向量的模来表示，即用向量的起点与终点间的距离来表示； 向量的模是个标量，并且是一个非负实数.例 4 已知点 A 的坐标为 (2,0)，点 B 的坐标为 ( 3,0) ，且 AP4, BP 3，求点 P 的坐标 .解：点 P 的坐标为 (6,12) 或 (6 ,12).5555例 5 已知 2a

5、b( 4,3), a2b(3,4) ，求 a 、 b 的坐标 .解： a (1,2), b( 2,1)例 6 设向量 a, b, c,R ，化简：（1） (a bc)(abc)()(b c) ；（2） 2(abc)(2a2b)2 c .解：都为 0 .2. 向量平行的充要条件平行向量： 方向相同或相反的非零向量叫平行向量（我们规定0 与任一向量平行）.已知 a 与 b 为非零向量，若a( x1 , y1), b ( x2 , y2 ) ，则 a / / b 的充要条件是 x1 y2x2 y1 ，所以， 向量平行的充要条件可以表示为：a / / bab(其中 为非零实数 ) x1 y2 x2 y

6、1.例 7已知向量 a( 2,3) ，点 A(2, 1) ，若向量 AB 与 a 平行，且AB2 13 ，求向量OB 的坐标 .解： OB 的坐标为 (6,7) 或( 2,5) .3. 定比分点公式1 ）定比分点公式和中点公式P1 , P2 是直线 l 上的两点， P 是 l 上不同于 P1, P2 的任一点，存在实数，使P1P=PP2，叫做点P分P1P2所成的比，有三种情况：(内分 )>0(外分 )<-1(外分 )-1<<0 已知 P ( x , y ) 、 P ( x , y ) 是直线111222x线 PP 上的一点，令P(x, y) ，则12yl 上任一点，且P

7、1 P =PP2 (R,1) . P 是直x1x21 ，这个公式叫做y1y21线段 PP12 的定比分点公式，特别地1时， P 为线段 PP12的中x1x2x2PP12点，此时，叫做线段的中点公式 .y1y2y2注：PP1PP2 可得 PPPP；12 当1时，定比分点的坐标公式xx1x2 和 yy1y2 显然都无意义，也1 时，定比分点不存在11就是说，当2 ）三角形重心坐标公式设 ABC 的三个点的坐标分别为A( x1 , y1), B(x2 , y2 ), C( x3 , y3 ) ， G 为ABC 的重心，则xGx1x2x33yGy1y2y33例 8在直角坐标系内P (4, 3), P

8、( 2,6)，点 P在直线PP上，且PP2 PP，求出P121 212的坐标 .解：当P在12上时，P(0,3)；当 P在1 2 延长线上，P( 8,15).PPPP例9已知 A(3,1), B( 4, 2) ， P 是直线AB上一点，若2 AP3AB ，求点P 的坐标.解 :注意定比分点的定点，可得P(15 ,5) .22*方法提炼 *几个重要结论1. 若 a,b 为不共线向量，则ab ， ab 为以 a, b为邻边的平行四边形的对角线的向量；2a b2222. a b2( ab) ；3. G为ABC 的重心GAGBGC0 G( x1 x2x3 , y1y2 y3 )33 A (x , y

9、) ,B(x,y)C(x,y) 112233【基础夯实】1. 判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.向量 AB 与 CD 是共线向量，则A、B、 C、 D四边形 ABCD是平行四边形的充要条件是AB DC模为 0共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.解：不正确 . 共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB 、AC 在同一直线上 .不正确 . 单位向量 模均相等且为1，但方向并不确定.不正确 . 零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.、正确 . 不正确 . 如图 AC 与 BC 共线，虽起点不同，但其终点却相同.评述：本题考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及相互关系必须把握好.2. 下列命题正确的是（CA. 与共线， 与共线，则 与 cB.C. 向量 与不共线，则 与D. 有相同起点的两个非零向量不平行3. 在下列结论中, 正确的结论为（D(1) a b 且| a|=| b| 是 a=b(2) a b 且| a|=| b| 是 a=b(3) a 与 b 方向相同且 | a|=| b| 是 a=b(4) a 与 b 方向相反或