13度量空间的可分性与完备性

1、1.3度量空间的可分性与完备性在实数空间R中，有理数处处稠密，且全体有理数是可列的， 我们称此性质为实数空间 R 的可分性同时，实数空间R还具有完备性，即 R中任何基本列必收敛于某实数现在我们将这些概念推广到一般度量空间.度量空间的可分性定义设X是度量空间，A,B X ,如果B中任意点x B的任何邻域0(x,)内都含 有A的点，则称A在B中稠密若A B，通常称A是B的稠密子集注1 : A在B中稠密并不意味着有 A B .例如有理数在无理数中稠密；有理数也在实数 中稠密.无理数在有理数中是稠密的，无理数在实数中也是稠密的，说明任何两个不相等的实数之间必有无限多个有理数也有无限多个无理数.定理设(

2、X,d)是度量空间，下列命题等价：(1) A在B中稠密；(2) x B , XnA，使得 limd(Xn，x) 0 ;n(3) B A (其中A AUA , A为A的闭包，A为A的导集(聚点集)；(4) 任取 0,有B U O(x,).即由以A中每一点为中心为半径的开球组成的集合x A覆盖B .证明按照稠密、闭包及聚点等相关定义易得.定理稠密集的传递性设X是度量空间，A,B,C X，若A在B中稠密，B在C中稠密，则A在C中稠密.证明 由定理1.1知B A , C B，而B是包含B的最小闭集，所以B B A，于是有C A，即A在C中稠密.口注2：利用维尔特拉斯定理可证得定理(Weierstras

3、s多项式逼近定理)闭区间a,b上的每一个连续函数都可以表示成某一多项式序列的一致收敛极限.(1) 多项式函数集 Pa,b在连续函数空间Ca,b中稠密.参考其它资料可知：连续函数空间Ca,b在有界可测函数集 Ba,b中稠密.有界可测函数集 Ba,b在p次幕可积函数空间Lpa,b中稠密(1 p ). 利用稠密集的传递性 定理可得：连续函数空间Ca,b在p次幕可积函数空间Lpa,b中稠密(1 p ).因此有 Pa,b Ca,b Ba,bLpa,b.定义设X是度量空间，A X，如果存在点列&A，且xn在A中稠密，则称A是可分点集(或称可析点集).当X本身是可分点集时，称 X是可分的度量空间.注

4、3: X是可分的度量空间是指在X中存在一个稠密的可列子集.例欧氏空间Rn是可分的.坐标为有理数的点组成的子集构成Rn的一个可列稠密子集.证明 设Qn (r ,r2L,rn)|nQ,i 1,2,L , n为Rn中的有理数点集，显然Qn是可数集，下证Qn在Rn中稠密.|r对于Rn中任意一点x (XK, L ,Xn)，寻找Qn中的点列兀，其中rk丄，)，使得d (rk, x)即rkx(k )，从而知Qn在Rn中稠密口例1.3.2 连续函数空间 Ca,b是可分的具有有理系数的多项式的全体PO a, b在Ca,b中稠密，而FOa,b是可列集.证明显然Ra,b是可列集x(t) C a, b,由 Weier

5、strass 多项式逼近定理知， x(t)可表示成一致收敛的多项式的极限，即0，存在(实系数)多项式p (t)，使得rkx(k)由于有理数在实数中稠密，所以对于每一个实数X (i 1,2, L ,n ),存在有理数列 rk x(k).于是得到0“中的点列rk，其中rk(讥,L ,rnk),k 1,2, L .现证rkX(k) .0，由 rikXi (k)知，KiN，当k氏时，有| rk x | 石,i1,2,L , n取K maxKi,K2丄，©，当k K时，对于i都有1,2丄，n ,XkI ，因此d(x,p) max|x(t) p (t)| 2另外，由有理数在实数中的稠密性可知存在

6、有理数多项式pb(t) P0a,b，使得d(p , Po) max | p (t)Po(t) | -a t b2因此，d(x, po) d (x, p ) d(p , po)，即 po(t) O(x,)，在 Ca,b中任意点 x(t)的任意邻域内必有F0a,b中的点，按照定义知F0a,b在Ca,b中稠密.口例次幕可积函数空间Lpa,b是可分的.证明 由于F0a,b在Ca,b中稠密，又知Ca,b在Lpa,b中稠密，便可知可数集F0a,b在Lpa,b中稠密.口例次幕可和的数列空间lp是可分的.证明 取 E。(r/L ,rn,0,L ,0,L ) |r Q,n N，显然 Eo等价于 UQ"

7、，可知 E。可数, n 1F面证Eo在lp中稠密.x (X!,X2 L,Xn,L) |p，有 |x|p ，因此 0, N N，当 nN 时，1p|Xi |pn N 12又因Q在R中稠密，对每个x(1 in)，存在rQ ,使得|X rip|P 2N，(i1,2,3,L ,N)于是得Np|x r |pi 12令 X0(n,2,L ,N,0,L ,0,L ) E0，贝yN1ppd (X0,x) (| Xiri |p|x|p)p( )1i N 12 2因此Eo在lP中稠密.口例设X 0,1，则离散度量空间(X,d。)是不可分的.证明 假设(X,do)是可分的，则必有可列子集Xn X在X中稠密.又知X不

8、是可列集1所以存在x* X , X* X.取 2，则有1 * X2即0(x*,)中不含Xn中的点，与X.在X中稠密相矛盾.口思考题：离散度量空间(X,d。)可分的充要条件为X是可列集.注意：十进制小数转可转化为二进制数：乘2取整法，即乘以(0.625)10=(0.101)20.625 2=1.25 取 1; 0.25 2=0.50 取 0; 0.5二进制小数可转化为十进制小数，O(x , ) x d°(x,x )小数点后第一位为1则加上加上0.25(1/4)，第三位为1则加上0.125(1/8)以此类推.即(0.XtX2L2取整，顺序排列，例如2=1.00 取 1.0.5(即卩1/2

9、),第二位为1则 n 1Xn)2( X )10，例如i 1 21 1(0.101)2=(2 1 4 因此0,1与子集A x例 1.3.60 1 1)10(0.625)10 .(X1,X2 ,L ,Xn,L ) Xn 0 或 1对等,有界数列空间|是不可分的.由0,1不可数知A不可列.I X (X,X2,L ,X n丄)=(X ) | X为有界数列，对于 d(x,y) sup | X yi |.i 1证明(x) , y (y) l，距离定义为d(x,y) 1 .考虑I中的子集 A X (咅，丄，Xn丄)X|、n或1,则当x,yA , x y时，有因为0,1 中每一个实数可用二进制表示，所以A与0

10、,1一一对应,故A不可列.假设I可分，即存在一个可列稠密子集A0，以人中每一点为心，以1为半径作开球，所3A的不同的有这样的开球覆盖I，也覆盖A .因A)可列，而A不可列，则必有某开球内含有 点，设X与y是这样的点，此开球中心为 X。，于是1 1 21 d(x,y) d(x,xo) d(x),y)3 33矛盾，因此I不可分.口度量空间的完备性实数空间R中任何基本列(Cauchy列)必收敛.即基本列和收敛列在R中是等价的，现在将这些概念推广到一般的度量空间.定义基本列设xn是度量空间 X中的一个点列，若对任意0,存在N，当m,n N时，有d(xm,xn)则称xn是X中的一个基本列(或Cauchy

11、列).定理(基本列的性质)设(X,d)是度量空间，则(1) 如果点列 g 收敛，则焉是基本列；(2) 如果点列 g 是基本列，则xn有界；(3) 若基本列含有一收敛子列，则该基本列收敛，且收敛到该子列的极限点.证明(1)设人 X , x X，且X.X .则0 , N N ,当门 N 时，d(xn,X)7从而n , m N时，d(Xn,Xm)d(Xn, X) d(X, Xm)2 2 .即得X.是基本列.(2)设Xn为一基本列，则对1，存在N ,当n N时,有 d(xN 1,xJ1，记M maxd(X1,XN 1),d(x2,XN 1),L ,d(XN, xn 1),1 1，那么对任意的 m,n，

12、均有d(Xn,xm) d(xn,XN1)d(Xm,XN1)M M 2M ,即Xn有界.(3)设X.为一基本列，且X%是Xn的收敛子列，XnkX(k ).于是， 0, N1 N ,当 m,n N1 时，d(Xn,Xm)2 ；N2 N，当 k N2 时,d(Xnk,X)-.取 NmaxN1, N2，则当n N , k N时，nk k N，从而有d (Xn , X) d(Xn,Xnk) d(X.k, X)2 2故 x.x(n).口注4:上述定理表明收敛列一定是基本列 (Cauchy列)，那么基本列是收敛列吗?例设X (0,1), x,y X，定义d(x, y) x y ,那么度量空间 (X,d)的点

13、列Xn是X的基本列，却不是 X的收敛列.证明 对于任意的 0,存在N N，使得N -，那么对于m N a及n N b，其中a,b N ，有d (xn , Xm )X Xmmaxa,ba b(N a 1)(N b 1) Na Nba b(N_a 1)(Nb 1)1N ，或者利用X.即得人是基本列显然0 X，故Xn不是X的收敛列.丄是R上的基本列，可知n 1N N，当n,m N时有于是可知Xn也是X上的基本列.口如果一个空间中的基本列都收敛，那么在此空间中不必找出序列的极限，就可以判断它是否收敛，哪一类度量空间具有此良好性质呢？是完备的度量空间.定义完备性如果度量空间X中的任何基本列都在X中收敛，

14、则称X是完备的度量空间.例n维欧氏空间Rn是完备的度量空间.证明 由Rn中的点列收敛对应于点的各坐标收敛，以及R的完备性易得.口例连续函数空间Ca,b是完备的度量空间.(距离的定义：d(f,g)max|f(t)g(t)i)证明设Xn是Ca,b中的基本列，即任给 0,存在N，当m,n N时，d(xm,x.)即maxxm(t) Xn(t)故对所有的t a,b, Xm(t) Xn(t)，由一致收敛的Cauchy准则，知存在连续函数x(t)，使xn(t)在a,b上一致收敛于 x(t)，即 d(xm, x)0(n),且 x Ca,b.因此 Ca, b完备.口1例 设 X C0,1,f(t),g(t) X

15、，定义 d,(f,g)°|f(t) g(t) dt，那么(X,dJ 不是完备的度量空间.(注意到例结论(X,d)完备)证明设00t121111fn(t)n (t)t222n111t12nfn(t) C0,1的图形如图所示.显然fn(t) C0,1 , n 1,2,3,L .因为d1(fm,fn)是下面右图中的三角形面积，所以0 , N 1，当m, nN时，有于是fn是X的基本列.1由于 d<fn，f)0| fn(t)fn(t)C0,1图像及有关积分示意图F面证 fn在X中不收敛.若存在f(t)12f (t)|dt 0 I f(t)|dt4(仁，竹 0(n).1 12 -n1 I

16、 fn(t) f (t) | dt2|1使得f(t)|dt ,显然上式右边的三个积分均非负，因此 d(fn,f)0时,每个积分均趋于零.推得f (t)o t 0,4i t (1,1可见f(t)不连续，故 fn在X中不收敛，即C0,1在距离di下不完备.口 表常用空间的可分性与完备性度量空间距离可分性完备性n维欧氏空间(Rn,d)d(x,y)f(xy)2VV离散度量空间(x,d。)X可数d0 (x, y)0当xy时VVX不可数1 当xy时XV连续函数空间Ca,bd(f,g)鳴1 f(t) g(t)|VVd1(f,g)b| a")g(x) dxVX有界数列空间ld(x,y)sup| xi

17、 1y |XVp次幕可和的数列空间lpdp(x,y)|Xi 11 py|pVVp次幕可积函数空间(Lpa,b,d)d(f,g) (a,b|f(t)1g(t) |p dtVV函数集Ba,b、p次幕可积函数集 Lpa,b均是可分的.前面的例子说明n维欧氏空间Rn以及p 次幕可和的数列空间|p也是可分空间，而有界数列空间I和不可数集X对应的离散度量空间(X,d°)是不可分的.从上面的例子及证明可知，n维欧氏空间 Rn是完备的度量空间，但是按照欧氏距离X (0,1)却不是完备的；连续函数空间 Ca,b是完备的度量空间，但是在积分定义的距离1d(f,g) o| f(t) g(t)dt下，C0,

18、i却不完备由于离散度量空间中的任何一个基本列只是同 一个元素的无限重复组成的点列，所以它是完备的.我们还可以证明p次幕可和的数列空间Ip是完备的度量空间，p次幕可积函数空间Lpa,b(p 1)是完备的度量空间，有界数列空间的完 备性通常所涉及到的空间可分性与完备性如表所示.在度量空间中也有类似于表示实数完备性的区间套定理，就是下述的闭球套定理.定理(闭球套定理)设(X,d)是完备的度量空间，Bn O(xn, n)是一套闭球：B1B2 LBn L .如果球的半径n 0(n)，那么存在唯一的点证明 (1)球心组成的点列X I Bn .n 1xn为X的基本列.当m n时，有xmBmBn ( O, n

19、)，可得0,取N，当n N时，使得d ( xm , Xn )n .于是当m,n N时，有(2.4)d ( Xm , Xn )n,所以%为X的基本列.x的存在性.由于(X,d)是完备的度量空间，所以存在点x X，使得Hm Xn x .令(2.4)式中的m ，可得d(x,xJn即知 x Bn, n 1,2,3,L，因此 xIBn .n 1(3) x的唯一性.设还存在y X，满足y | Bn，那么对于任意的 n N，有x,y Bn , n 1)，于是x y.口从而 d(x,y) d(x,Xn) d(xn,y)注4:完备度量空间的另一种刻画：设(X,d)是一度量空间，那么X是完备的当且仅当对于X中的任何一套闭球：2 n 0 (nB1B2LBnL，其中Bn6(Xn,n)，当半径n 0(n)，必存在唯一的点X |Bnn 1大家知道lim(1丄)n e,可见有理数空间是不完备的，但添加一些点以后得到的实数空间n n是完备的，而完备的实数空间有着许多有理数空间不可比拟的好的性质与广泛的应用.对于一般的度量空间也是一样，完备性在许多方面起着重要作用.那么是否对于任一不完备的度量空间都可以添加一些点使之成为完备的度量空间呢？下面的