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1、圆锥曲线与方程（双曲线练习题）一、选择题1.已知方程x2y21 的图象是双曲线，那么的取值范围是（）2kk1A .B.C.D .2.双曲线 x2y20，b0)的左、右焦点分别为F1 ,F2 ,P 是双曲线上一点，满足 | PF2F1F2 | ，直线 PF1 与a2b2 1(a圆 x2y2a 2 相切，则双曲线的离心率为（）A. 5B.3C.23D.54y2333.过双曲线 x21的右焦点作直线交双曲线于两点，若，则这样的直线有（）2A.1 条B.2 条C.3 条D .4条4.等轴双曲线 C:x2y2a2 与抛物线 y216x 的准线交于A,B 两点， AB 43 ，则双曲线 C 的实轴长等于（

2、）A.2B.22C.4D.85.已知双曲线x2-y2= 1 的一条渐近线的方程为y =5 x ，则双曲线的焦点到直线的距离为( )9m3A 2B .C.D .6.若直线过点(3,0)与双曲线 4x2 - 9y2 =36 只有一个公共点，则这样的直线有（）A.1 条B.2条C.3条D.4 条7.方程x2y21(kR ) 表示双曲线的充要条件是（）k2k3A. k2 或 k3B.k3C. k2D.3k2二、填空题8.过原点的直线，如果它与双曲线y 2x2.31 相交，则直线的斜率的取值范围是49.设为双曲线x2-y2= 1上一动点，为坐标原点，为线段的中点，则点的轨迹方程是410. 过双曲线 x2

3、y2a2 -b2= 1( a,b> 0) 的左焦点作垂直于轴的直线与双曲线相交于两点，以为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于.11. 已知双曲线x2y21(a0,b0) 的渐近线与圆x2y24x2 0 有交点，则该双曲线的离心率的取值a2b2范围是三、解答题（本题共3 小题，共41 分）12. 求适合下列条件的双曲线的标准方程：（ 1）焦点在轴上 , 虚轴长为 12，离心率为5；4（ 2）顶点间的距离为6，渐近线方程为y = ?3 x213. 已知双曲线x2y2 1( a 0， b 0) 的右焦点为 F (c,0) a2b2y x 且 c 2 ，求双曲线的方程；（ 1）若

4、双曲线的一条渐近线方程为（ 2）以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A3 ，作圆的切线，斜率为求双曲线的离心率14. 已知双曲线x2-y2= 1（ a >0,b > 0) 的离心率 e =23，原点 O 到过点 A( a,0),B(0,- b) 的直线的距离是3 .a2b232（ 1）求双曲线的方程；（ 2）已知直线y = kx + 5( k ? 0)交双曲线于不同的两点，且都在以为圆心的圆上，求的值一、选择题1. C解析： 由方程的图象是双曲线知，, 即2. D解析： 设 PF1 与圆相切于点M ，因为 PF2F1F2，所以 PF1 F2为等腰三角形

5、，所以1F1MPF1 .4又因为在直角 F1MO 中， 122a2c2a2 ，所以1. 111FMFObFMPF4又 PF1PF22a 2c 2a ，c2a2b2, 由解得c5a 33. C解析： 由题意知， .当只与双曲线右支相交时，的最小值是通径长，长度为，此时只有一条直线符合条件；当与双曲线的两支都相交时，的最小值是实轴两顶点间的距离，长度为，无最大值，结合双曲线的对称性，可得此时有2 条直线符合条件 .综上可得，有3 条直线符合条件 .4. C解析： 设等轴双曲线C 的方程为 x2y2 抛物线 y216x，2 p16， p8 ，p4 抛物线的准线方程为x4 2A( 4,y ),B(4,

6、 y)(y0) ，设等轴双曲线与抛物线的准线x4 的两个交点为则 AB | y ( y) | 2y4 3 ， y 2 3 将 x4 ， y23代入，得 (4)2(23) 2，4 . 等轴双曲线 C 的方程为 x2y24 ，即 x2y21 . 双曲线 C 的实轴长为 444解析：双曲线 x2y2m55. C1的一条渐近线方程为x, 则焦点到yx ，即 . 不妨设双曲线的右焦点为9m335143直线 l 的距离为 d5 .25136. C解析： 将双曲线化为标准方程为x2y21 则点 (3,0)为双曲线的右顶点. 过点 (3,0)与 x 轴垂直的直线94满足题意，过点(3,0)与双曲线渐近线平行的

7、两条直线也满足题意，因此这样的直线共有3 条 .7. Ax2y2R)(k 2)( k3)>0 ，k2k3. 反之，解析： 方程表示双曲线，当且仅当或k2k31(kx2y2当 k2 或 k3时，双曲线方程中分母同号，方程1(kR) 表示双曲线 .k 2k3二、填空题33解析： 双曲线y2x21的渐近线方程为 y3与双曲线相交，8. ,34x . 若直线 l222则 k3 或 k3.229.解析 ：设 , ，则 x=x0 , y =y0 ，即， .22将代入双曲线方程，得点的轨迹方程为4x2-4 y2=1，即.410. 2解析： 设双曲线的左焦点为右顶点为又因为MN为圆的直径且点A 在圆上，

8、所以 F 为圆的圆心，且所以b2c a ，即 c2a2c a . 由 ec ，得 e2eaaa11.(1,2解析： 由圆 x2y24x2 0 化为 (x2) 2y22 ，得到圆心 (2，0) ，半径 r2 双曲线 x2y21(a0,b0)的渐近线yb与圆 x2y24x 2 0有交点，a2b2a x2b，22cb2a2b22b a 1ea 1a2 2 该双曲线的离心率的取值范围是(1,2 三、解答题12. 解：（ 1）焦点在轴上，设所求双曲线的标准方程为x2y2()2- 2= 1 a > 0,b> 0ab2b12,由题意，得c5解得a8,a,b6.4222abc ,所以双曲线的标准方

9、程为x2-y264= 1 3622（ 2）方法一：当焦点在轴上时，设所求双曲线的标准方程为x2y2 =1( a0,b0)ab2a6，a3,由题意，得b3解得b9a2，,2所以焦点在轴上的双曲线的标准方程为x2-y2= 1 9814同理可求焦点在轴上的双曲线的标准方程为y2x21 -=94322方法二：设以y = ?x 为渐近线的双曲线的方程为x- y = (?0).249当4= 6 ，解得9此时，所求的双曲线的标准方程为x2-y2= 1 时， 249814当时，2 - 9 = 6，解得此时，所求的双曲线的标准方程为y2x2-= 1 9422b x ，13. 解：（ 1） 双曲线 x2y2 1

10、的渐近线方程为yaba 若双曲线的一条渐近线方程为y x ，可得 b 1 ，解得 ab .a ca2b22 ，a b2 .由此可得双曲线的方程为x2y21 .22n1 ，即 m（ 2）设点 A的坐标为 (m,n) ，可得直线AO 的斜率满足 k3n . m3 以点 O 为圆心， c 为半径的圆方程为x2y2c2 ， 将代入圆方程，得3n2n2c2，解得 n1 c ， m3 c .2223 c21 c13将点 A代入双曲线方程，得221.c,ca2b222化简，得 3c2 b21c2 a2a2b2 .443 c2a2b2 ， 将 b2c2a2 代入上式，化简、整理，得c42c2 a2a40 .24两边都除以a4 ，整理，得3e4 8e240 ，解得 e2或 e22 .e1 ， 该双曲线的离心率e3 双曲线的离心率2 ( 负值舍去） .14. 解：（ 1）因为 c23， 原点 O 到直线：的 距离 d =ab= ab =3，a3a2 + b2c2所以 b = 1,a =3. 故所求双曲线的方程为x2-y2 =1.3（ 2）把 y =kx + 5 代入 x2 - 3 y 2 =3 中 , 消去，整理，得(1 -