八年级数学上册第一章勾股定理3勾股定理的应用中考中的勾股定理应用问题素材(新版)北师大版

1、初中数学中考中的勾股定理应用问题勾股定理是每年中考命题的必选内容，命题形式千变万化。现举几例，供同学们赏析。一.勾股定理在古诗中的应用例1.折竹抵地：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺。问：折者高几何？、1（尺：非法定长度计量单位。10=1丈。1市尺合-m）3分析：首先应读懂题目的意思，然后根据实际问题构建直角三角形模型，再利用勾股 定理求解。解：由题意画出图1。由题可知AC AB =10（尺）BC=3尺AB2-AC2二BC2=9（AB AC）（AB -AC） =99所以AB -AC-（尺）10+得：2AB二10910故AB二109=5.45（尺）20代入得：点评：应用是数学知识的一大特色，解决

2、应用类问题时，需要根据实际问题构建数学 模型，然后再求解。.勾股定理在生活中的应用AC10920991W=2U=4.55（尺）例2.如图2，学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园3内走出了一条路”。他们仅仅少走了 _ 步路(假设2步为1m),去卩踩伤了花草。分析：只需要把走“捷径”的路长以及原来走的路长求出，就可以算出少走几步路。解：他们原来走的路为3 - 4 =7(m)设走“捷径”的路长为xm,则3242=5故少走的路长为7 - 5 =2(m)又因为2步为1m，所以他们仅仅少走了4步路。点评：以同学们常遇到的走“捷径”问题为出发点，在考查勾股定理的同时，融入情 感教

3、育：多走几步路，就可以留下一片绿色。三.勾股定理在最短距离问题中的应用a、高为b的圆柱形花架，需用沿圆柱侧面绕织一周的竹条若分析：在求解几何体表面两点间最短距离的问题时，通常是将几何体表面展开，求展开图中两点之间的距离，但在展开过程中一定要弄清所要求的是哪两点之间的距离，以及它们在展开图中相应的位置。解：由于竹条需要绕织一周，所以可以把圆柱侧面沿A1B1展开，得到一个长和宽分别为a和b的矩形，如图3所示。连接A1B1，此时对角线A1B1的长度就是竹条的最短长 度。由勾股定理得A1B12二a2 b2，所以A1B1 .a2b2。点评：求解立体几何图形的一些问题时，通常是通过平面展开图，将其转化为平

4、面图 形的问题，然后求解。则每一根这样的竹条的长度最少是例3.编制一个底面周长为干根， 如图4四勾股定理在网格中的应用例4.图4中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。（1）直接写出单位正三角形的高与面积。（2） 图4中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形？平行四边形ABCD勺面积是多少？（3） 求出图4中线段AC的长（可作辅助线）。（4）求出图4中四边形EFGH勺面积。图4分析：首先把每一个小网格弄清楚，然后只需找到所研究的图形与网格之间的关系, 进而就可以借助网格知识来得到图形的相关性质。解：（1）单位正三角形的高为

5、，面积是11 224P3。（2）由图4可直接得出平行四边形ABCD含有24个单位正三角形，因此其面积为（3）过A作AKBC于点K（如图4所示），则在RtACK中，AK =33二3KC =1 1- =5，故AC = AK2KC2 2（4）过点G HE、F作矩形MNPQ如图4）。3MN =6 2AA A03, NP-1 1 1 1 11右3313四边形MNPQ勺面积工32SEM十13 39 3S.FNG153.315.3X -22 254 2.3=4一36四边形EFGH勺面积=33 3一空 一！5?_空_4 3=8. 32 8 8 2点评：求不规则图形（没有直接的面积计算公式的图形）的面积时，常把

6、它转化成可 以计算的两个图形（或几个图形）面积的和或差。五勾股定理在实际问题中的应用例5.（宁夏）如图5所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60方向走了500.3m到达B点，然后再沿北偏西30方向走了500m到达目的地C点。（1）求A、C两点之间的距离。（2）确定目的地C在营地A的什么方向。分析：把实际问题中的角度转化为图形中的角度，禾U用勾股定理求解。解：（1）过B点作BE/AD，如图5/ DABdABE=60/30+/CBAdABE=180/ CBA=90即厶ABC为直角三角形由已知可得：BC=500m AB=5OoJ3m由勾股定理可得：AC2=BC2AB2所以AC二BC2AB2= ；5002（500.3）2=1000（m）（2）在RtABC中，/ BC=500m AC=1000m/ CA