矩阵的特征值与矩阵的相似对角化ppt课件

1、1试卷和课件下载地址试卷和课件下载地址2二二. 矩阵相似对角形矩阵相似对角形nA对对 阶方阵阶方阵 ，如果可以找到可逆矩阵，如果可以找到可逆矩阵 ，P使得使得 为对角阵，就称为把方阵为对角阵，就称为把方阵 对角化。对角化。1P AP A定义定义:定理定理2： 阶矩阵阶矩阵 可对角化（与对角阵相似）可对角化（与对角阵相似）nA 有有 个线性无关的特征向量。个线性无关的特征向量。An(逆命题不成立逆命题不成立)推论推论1 :若若 阶方阵阶方阵 有有 个互不相同的特征值个互不相同的特征值,nAn则则 可对角化。（与对角阵相似）可对角化。（与对角阵相似）A说明：如果的特征方程有重根，此时不一定有个线性

2、说明：如果的特征方程有重根，此时不一定有个线性An无关的特征向量，从而矩阵不一定能对角化无关的特征向量，从而矩阵不一定能对角化A3推论推论2:阶方阵相似于对角阵的充要条件是的阶方阵相似于对角阵的充要条件是的nAA每一个每一个it重特征值对应个线性无关的特征向量重特征值对应个线性无关的特征向量it4 把一个矩阵化为对角阵，不仅可以使矩阵运算简化，而且把一个矩阵化为对角阵，不仅可以使矩阵运算简化，而且在理论和应用上都有意义。在理论和应用上都有意义。可对角化的矩阵主要有以下几种应用：可对角化的矩阵主要有以下几种应用：1. 由特征值、特征向量反求矩阵由特征值、特征向量反求矩阵例例3：已知方阵：已知方阵

3、 的特征值是的特征值是A1230,1,3, 相应的特征向量是相应的特征向量是1231111 ,0,2 ,111 求矩阵求矩阵.A5解：因为特征向量是解：因为特征向量是3维向量，所以矩阵维向量，所以矩阵 是是3 阶方阵。阶方阵。A因为因为 有有 3 个不同的特征值，所以个不同的特征值，所以 可以对角化。可以对角化。AA即存在可逆矩阵即存在可逆矩阵 , 使得使得P1P AP 其中其中111102 ,111P 01,3 求得求得1111333110,22111636P 61AP P 11133311101110210221113111636 110121011 72. 求方阵的幂求方阵的幂例例4：设

4、：设 求求45,23A 100.A解：解：4523AE (2)(1)0 121,2. A可以对角化。可以对角化。齐次线性方程组为齐次线性方程组为当当 时，时，11 0AE x 1100 5522AE 系数矩阵系数矩阵12xx 令令 得基础解系得基础解系:21x 111p 8齐次线性方程组为齐次线性方程组为当当 时，时，22 20AE x2500 25225AE 系数矩阵系数矩阵1252xx 令令 得基础解系得基础解系:21x 252p 令令12(,)Ppp 1512 求得求得1251311P 即存在可逆矩阵即存在可逆矩阵 , 使得使得P112PAP 91AP P 1001001APP 1001

5、5102513120211 1001001525( 1)013121102 100100101101252552132252 103. 求行列式求行列式例例5：设：设 是是 阶方阵，阶方阵， 是是 的的 个特征值，个特征值，An2,4,2nAn计算计算3.AE 解解： 方法方法1 求求 的全部特征值，的全部特征值， 再求乘积即为行列式的值。再求乘积即为行列式的值。3AE ( )3f xx 设设A的特征值是的特征值是2,4,2n即即2 ,ii 3AE 的特征值是的特征值是()23ifi 1323( 1) 1 3(23)niAEin 11方法方法2：已知：已知 有有 个不同的特征值，所以个不同的特

6、征值，所以 可以对角化，可以对角化，AnA即存在可逆矩阵即存在可逆矩阵 , 使得使得P1242PAPn 1AP P 1133AEP PPEP 1(3)PE P 13PE P 3E 234323n ( 1) 1 3(23)n 124. 判断矩阵是否相似判断矩阵是否相似解：解： 方法方法13( )3,Bf AAAE B的特征值为的特征值为(1)1(2)3(3)19fff 令令3( )31f xxx3阶矩阵阶矩阵 有有3个不同的特征值，所以个不同的特征值，所以 可以对角化。可以对角化。BB例例6：已知：已知3阶矩阵阶矩阵 的特征值为的特征值为1，2，3，A23,BAAE 设设问矩阵问矩阵 能否与对角

7、阵相似？能否与对角阵相似？B13即存在可逆矩阵即存在可逆矩阵 , 使得使得P1123PAP 113(3)P BPPAAE P 1311(3 )PA PPA PP EP 1111()()()3PAPPAPPAPPAPE 31112321331 1319 方法方法2：因为矩阵：因为矩阵 有有3个不同的特征值，所以可以对角化，个不同的特征值，所以可以对角化，A所以矩阵所以矩阵 能与对角阵相似。能与对角阵相似。B14例例7：设：设 阶方阵阶方阵 有有 个互异的特征值，个互异的特征值，nAn 阶方阵阶方阵 与与 有相同的特征值。有相同的特征值。nBA证明：证明：BA与与 相似。相似。证：设证：设 的的n

8、个互异的特征值为个互异的特征值为A12,n 则存在可逆矩阵则存在可逆矩阵 , 使得使得1P12111nPAP 15又又12,n 也是矩阵也是矩阵 的特征值，的特征值，B所以存在可逆矩阵所以存在可逆矩阵 , 使得使得2P12122nPBP 111122PAPPBP 112112P PAP PB 即即1111212()()P PA P PB 即存在可逆矩阵即存在可逆矩阵 ,使得使得1PAPB 112P PP BA即即 与与 相似。相似。16相相似似，其其中中与与已已知知矩矩阵阵BA,00010002 aA,32020002 bB;,)2(,)1(1ABPPPba 使使求求可可逆逆阵阵的的值值；求求

9、.)3(nB求求解解特特征征值值及及由由相相似似矩矩阵阵具具有有相相同同的的)1(BAniin 121, )()(BtrAtr nii1 解解之之得得得得),43(22; 3212 baba. 3, 5 ba例例817解方程解方程，的特征值为的特征值为由由, 512)2(321 B0)(xBIi为为得得对对应应的的特特征征向向量量分分别别,0011 ,1102 ,1103 .,1321成成立立则则令令ABPPP ,)3(1 PAPB因因,)(11 PPAPAPBnnn所所以以 2121021210001,1101100011PP可可解解得得由由18于是于是 215215021521500021nnnnnnnPPAB19 问问取何值时，取何值时， ,332263132321321321 xxx,xxx,xxx设设方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷方程组有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解时，求通解。多解时，求通解。解解 对增广矩阵对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形矩阵施行初等行变换化为行阶梯形矩阵 33226311321B 23101310132121312 rrrr例例920 231013101321 10001310130122123 rrrr,1, 01时时即即当当 R(A) = R(B) = 2 3 , 有无穷多解，此时有无穷多