高中数学讲义微专题34向量的模长问题几何法

1、微专题34 向量的模长问题一一几何法、基础知识:1、 向量和差的几何意义：已知向量a,b ,则有：I ÷4 44 4 4（1）若a,b共起点，则利用平行四边形法则求ab ,可得ab是以a,b为邻边的平行四边形的对角线4 ÷44444 4（2）若a,b首尾相接，则利用三角形法则求出ab ,可得ab，a,b围成一个三角形42、 向量数乘的几何意义：对于 a（1） 共线（平行）特点： a与a为共线向量，其中 0时， a与a同向； ：O时，a<与a反向（2） 模长关系：九21 =| 'al3、与向量模长问题相关的定理：（1）三角形中的相关定理：设 LABC三个内角 代

2、B,C所对的边为a,b,c正弦定理：abCSinA SinB Si nC余弦定理：a2 = b2 c2 - 2bccos A（2）菱形：对角线垂直平分，且为内角的角平分线特别的，对于底角60；的菱形，其中一条对角线将此菱形分割为两个全等的等边三角形。（3）矩形：若四边形 ABCD的平行四边形，则对角线相等是该四边形为矩形的充要条件4、利用几何法求模长的条件：条件中的向量运算可构成特殊的几何图形，且所求向量与几何图形中的某条线段相关，则可考虑利用条件中的几何知识处理模长、典型例题:例1 : （ 2015届北京市重点中学高三4 彳扌 一 4a =1,2a b = J10 ,贝U b =（8月开学测

3、试数学试卷）已知向量）a,b的夹角为45 ,且A. 2B. 2D. 3 2思路：本题利用几何图形可解，运用向量加减运算作出如下图形：可知AB = 2, B = , AC=JIo，只需利用余弦定理求出BC即可。4解：如图可得：b-BC ,在 LABC 中，有：IAC 2 = AB2+ BC 2 AB BC GosB2即: 10=4+ BC -2 2 BC Gos-fi4= BC 2Z2BC 6 = 0 解得 BC = 32 或BC= -2 （舍）所以b =3j2,T C-TbT a且=3 ,则 a +b +c'等于（）答案：选D例2 :若平面向量a,b, G两两所成的角相等,答案：C例3

4、:已知向量a,b ,且a =1,lb =2 ,则2b-a的取值范围是（）A. 2B. 5C. 2 或 5d. V2 或 V54 ÷4思路：首先由a,b,c两两所成的角相等可判断出存在两种情况：_.曰 是a,b,c同向（如图1 ,此2兀* *时夹角均为0）,则a +b +c为5 ,另一种情况为两两夹角呻 44 -I34（如图2），以；44a = b = 1为突破口，由平行四边形法则作图得到a+b与a,b夹角相等，a+b = a=1 （底角为60的菱形性质），且与G反向，进而由图得到 ：+b+G =2 ,选CA. 1,3】B.2,4 1C. 3,5】D. 4,6】思路：先作出a ,即有向

5、线段 AB ,考虑2b - a ,将2b的起点与 A重合，终点C绕A旋转 I4 44 4且AC =2b =4，则2b-a即为BC的长度，通过观察可得 C与A）B共线时2b - a达到最值。所以2ba=5,2ba'=3 ,且2ba连续变化，所以 2ba'的取值范围是maxmin3,5答案：C例4:设a,b是两个非零向量，且4÷ £ablHa +b=2 ,则a思路：可知a,b,a b为平行四边形的一组邻边和一条对角线，由足条件的只能是底角为 60 ,边长a = 2的菱形,从而可求出另一条对角线的长度为、,3a =2例5:已知a,b为平面向量,若a b与a的夹角为

6、，a b与b的夹角为一，则 （）b3A.3B.C.D.3思路：可知a b, a,b为平行四边形的一组邻边及对角线，通过作图和平行四边形性质得：在LABD中，AB=a , AD = b , ABD=E ,ADB-，由正弦定理4可得:AB _ Sin ADB SnJ _、6答案:ADSinABDSm- 33已知a,b是单位向量，且a, bb的夹角为一，若向量C满足| c - a 2b 2，则| C |的最3大值为（）D.7 - 2思路：本题已知a,b模长且夹角特殊，通过作图可得2b-a为模长为.3 ,设mp b2a，口-IHH 4HT 耳则可得 m =2且c=m-2b-a ,而m可视为以2b-a共

7、起点，终点在以起点为圆心，2为半径的圆上。通过数形结合可得的最大值为2 、.3 （此时m的终点位于 A点）答案：A例 7：在 LABC 中，.B =_6平面内的一点，且= 3/3, 1BC' =6 ,设D是AB的中点，O是L ABC所在3OA 2OB OC = O ,则的值是1A.-2B. 1D. 2思路：本题的关键在于确定 O点的位置，从而将DQ与已知线段找到联系，将 3OA 2OB OC =0考虑变形为3OA 2OB-OC= 3OA OB 总一OC=CB,即1QA QB CB ,设3OE =OA OB ,则O,D,E三点共线，且OE/ BC ,所以由平行四边形性质可得:od'

8、;°'CB=I答案：B例8 :已知向量a = e, e =1 ,对任意的t R ,恒有atej 12 - e ,则e a - 2的值为思路：本题以T 4 有 AD teT- e-Jr a 一作为突破口,D为直线I上一点,。从而可得a - e= BC,T馆LeraBD BC,所以C点为直线I上到B距离最短的线段，由平面几何知识可得最短的线段为B到I的垂线段。所以 BC _ I ,即e a -e ,所以有 e a -e =0答案：O斗> 44小炼有话说：本题若用图形解决，找到a -te,a -e在图上的位置和两个向量的联系是关键AB若向量a c,b c的夹角为60 ,贝U

9、C的最大值是AB=a,AD量定戈，则思路：由a,b条件可得a,b夹角V的余弦值cos，- a 2 =I=V-120：,若用代数方法处 忖Ib 2理夹角60；的条件，则运算量较大。所以考虑利用图形，设a-C,即.DCB =60；,从而.DCBr -180 ,可判定 AlBlClD 四点共圆，则 AC的最大值为四边形 ABCD外接圆的直径，即LABD的直径。在LABD中，由余弦定理可得:2 _BD = AB + AD-2 AD AB COSe =7，所以BD=Sr7，由正弦定理BD可得：d = 2R =Sin BAD 32匕1max3夹角为120 ,则小的取值范围是满足|=1 ,且与答案：3小炼有

10、话说：若条件中向量的夹角为特殊角且很难用数量积，模长进行计算时，可考虑寻找 几何图形进行求解。例10：（ 2010年，浙江，16）已知平面向量 a,B © 0,a 思路：本题很难找到与数量积相关的条件，那么考虑利用图形辅助求解。从图中可观察到构成LBCD， C =60 ,从而可利用正余弦定理求出即CD的取值范围解：在LBCD中，由正弦定BDSi nCCDPlSin DBC SinC Sin DBCH1Sin DBC Sin DBCSi nC,32=；sinDBC理可得：f 2兀而 / DB I 0 JSirDBC0,12二.3SirDBC答案:的取值范围是l0，3小炼有话说：例题中的

11、部分问题也可采用模长平方的方式，从而转化成为数量积求解。具体 解法如下:例1 :解:2 22a b = 4a -4a2b b 4 一4cos'a,b; b =10例2:解:呻2C 2a b 2b C 2a C b2 一2远：一6 =0 ,解得呻彳耳2a +b +c=32V a,b,c夹角相同当a,b,c同向时，可得l* 4 H当a,b,c两两夹角31 33时，可得 a b ,b C ,a c =2 22斗彳-24+ 4a +b +c =4 ,所以a +b + c综上所述:a+b+c=2 或 52例3:解:2b a卜22 2=4b -4a b a= 17-4 a"b cos a,b； = 17 -8cos； a,b因为 cosa,b':-1,11a = b+b =2可得(a + b ) 代入 a = b =2 得 a b=一2.'r 2b a9,2P 2b-a-'3,5 1例4:解:二 a - b'2 2 2Ha b 2a b =12,设 OXy ，39-60 得:、。例&解：以B为原点，BC为X轴建立直角坐标系。 所以C 6,0 ,A9,33I2 2丿 _y ,OB= (_x,_y ),OC = (6 x,_y )，由 3OA* 2OB + OC=O可I =I3_4 一，所以Om§3,344r因为D为AB