高中数学人教A版必修二习题《线面、线面角、二面角、翻折问题》易错疑难集训

1、线面、线面角、二面角、翻折问题易错疑难集训过易错教材易混易错集训易错点对线、面的位置关系考虑不全面1. 给出下列命题： 平行于同一平面的两条直线平行； 两条平行直线中的一条直线平行于一个平面，则另一条直线也平行于这个平面； 直线与平面有无数个公共点，则直线与平面重合； 两个平面有无数个公共点，则两个平面重合.其中正确命题的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 32. 2018广西南宁二中高三期末考试设l,m,n表示不同的直线， 表示不 同的平面,给出下列命题： 若m / /1 ,且m :，则丨 ； 若m，n ，m n，贝U； 若，贝U / .其中错误命题的个数为（）A. 0B. 1C. 2D

2、. 3过疑难常考疑难问题突破疑难点1直线与平面所成的角、二面角的平面角1.如图，四棱锥P ABCD中，底面ABCD为菱形，PA 底面ABCD，AC 2 2, PA 2， E 是 PC 上的一点，PE 2EC .证明：PC 平面BED .设二面角A PB C为90° ,求PD与平面PBC所成角的大小2.如图所示，在三棱锥P ABQ中，PB 平面ABQ , BA BP BQ,D,C,E,F分别是AQ, BQ,AP,BP的中点，AQ 2BD,PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H连接GH .求证：AB/GH ；求二面角DGHE的余弦值.3.2017江西南昌三校高二（下）月考如图，三棱锥P

3、ABC中PC,AC,BC两两 垂直，BC PC 1,AC 2,E,F,G分别是B,AC,AP的中点.求二面角B AP C的正切值；求直线PF与平面PAB所成角的正弦值.疑难点2翻折类问题4.2018宁夏中卫一中高一（下）第一次月考如图，正三角形ABC的中线AF与 中位线DE相交于点G ,已知 A'ED是 AED绕DE翻折过程中的一个图形，现 给出下列四个命题： 动点A'在平面ABC上的射影在线段AF上； 恒有平面水 AGF 平面BCED ； 三棱锥A' FED的体积有最大值； 直线A'E与BD不可能垂直.其中正确命题的序号是_.5.2018北京延庆高考数学模考如

4、图，在矩形ABCD中，AB 3,ED,F分别在线段BC和AD上，EF /AB ,现将矩形ABEF沿EF折起，记折起后的矩形为MNEF ,且平面f MNEF平面 ECDF .1DBIC求证:NCzz 平面 MFD ;若EC3 ,求证：NDFC .6.2018福建泉州高考模拟如图1,在等腰梯形CDEF中，CB, DA是梯形的高,AE BF 2 , AB 2,2 .现将梯形沿 CB, DA 折起，使 EF /AB ,且 EF 2AB ,得一 简单组合体ABCDEF ,如图2所示，已知M,N,P分别为AF,BD,EF的中占八、求证：MN /平面BCF ;求证：AP 平面DAE .疑难点3探究类问题7.

5、如图，四棱锥P ABCD的底面是矩形,PA AB 1,BC 2 , E 为 BC 的中点.PA平面ABCD ,5 / 20(2)在PD上是否存在一点M ,使得EM /平面PAB?若存在，试确定点M的位置, 并给出证明；若不存在，请说明理由.8.2018山西晋中高三调研如图，已知在四棱锥P ABCD中，PA 平面ABCD，BCzzAD, AB AD ,且 PA AD AB 2BC 2，M 为 AD 的中点.9 Z 20求证:平面PCM 平面PAD .问：在棱PD上是否存在点Q ,使PD 平面CMQ?若存在，求出二面角P CM Q的余弦值；若不存在，请说明理由9.2018北京一零一中学高三(下)月

6、考如图，在三棱锥A BCD中，BCD 90°,BC CD 1, AB 平面 BCD, ADB60o,E,F分别是AC, AD的动点，且旦ACAFAD求证:不论 为何值，恒有平面BEF 平面ABC .当 为何值时，平面BEF 平面ACD?过专项高考常考题型专练1. 2018山东枣庄滕州三中高三（上）第四次月考如图所示，PA 平面ABC， 点C在以AB为直径的eO上，点E为线段PB的中点，点 M在AB上，且 OM /AC .PM求证:平面MoE /平面PAC ；求证:平面PAC 平面PCB .2. 2017黑龙江绥化肇东一中高二（上）期中考试如图，在四棱锥P ABCD中,PA 平面ABC

7、D， ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC的中点，PA AB 4， CDA 120° ,点 N 在线段 PB 上，且 PN 、2求证：MN /平面PDC ;求直线PB与平面PAC所成角的正弦值3. 2018青海西宁十四中高二（上）期中考试在如图所示 的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，ABzzCD, DAB 60°, FC 平面ABCD, AE BD,CB CD CF 1.求证：BD 平面AED ；求点B到平面FDC的距离.4.2017广东韶关高三摸底考试在三棱柱ABC ABCI中,若AB BC ,求证：AB 平面ABC ；在的条件下，AB BC 1,BB12

8、,求三棱锥A1 BCC1的体积.5.2018湖南长沙考前演练如图，四边形他为ABCD等腰梯形，且ADZZBC,E为BC的中点，AB AD BE ,沿DE将 CDE折起构成四棱锥C ABED ,如图所示.图设点O为ED的中点，则在棱AC上是否存在一点 M ,使得OM /平面CBE ?并证明你的结论；若AB 2 ,求四棱锥C ABED体积的最大值.参考答案过易错教材易混易错集训1.答案：A解析：平行于同一平面的两条直线可能相交、异面、平行，故错误；两条平行直线中的一条直线平行于一个平面，另一条直线可能平行于这个平面，也可能在 这个平面内，故错误；直线与平面有无数个公共点，则直线在平面内，故错 误；

9、当两个平面的无数个公共点在一条直线上时，两个平面相交，故错误故选A.2.答案：B解析：中，由ml ,且m ，可知l,故正确；中，由于m ,m n，11 / 20则n 或nil .若n,由n 可得 ，若n/ ,过n作平面 交于直线l，则nl ,由n得l,从而,故正确；中，垂直于同一个平面的两个平面可以是相交的，故错误故选B.过疑难常考疑难问题突破1.答案：见解析 解析：因为底面ABCD为菱形，所以BD AC.又PA 底面ABCD ,所以PC BD .设 ACI BD F,连结 EF 因为 AC 2. 2, PA 2,PE 2EC ,故 PC 2.3, EC ,FC 2, 3从而 PC 6, AC

10、 6.FC EC因为 PC C, FCE PCA,所以 FCE: PCA, FEC PAC 90o由此 FC EC知 PC EF .又BDlEF F ,所以PC 平面BED .在平面PAB内过点A作AG PB) G为垂足.因为二面角A PB C为90o ,所以平面PAB 平面PBC .又平面PABI平面PBC PB ,故 AG 平面 PBC，AG BC .BC与平面PAB内两条相交直线 PAAG都垂直，故BC 平面PAB于是BC AB)所以底面ABCD为正方形，AD 2,PD . PA2 AD2 2 2.设D到平 面PBC的距离为d .因为AD/BC,且AD 平面PBC , BC 平面PBC,

11、故AD /平面PBC , A D两点到d 1PD 2平面PBC的距离相等，即d AG . 2 .设PD与平面PBC所成的角为 ，则Sin所以PD与平面PBC所成的角为30°.2.答案：见解析解析：因为D,C,E,F分别是AQ,BQ,AP,BP的中点，所以EFzzAB,DC /AB ,所以 EF /DC .又EF 平面PCD , DC 平面PCD,所以EF /平面PCD .EF 平面 EFQ,平面 EFQ I 平面 PCD GH , 所以 EFZZGH .又 EF /AB,所以 AB/GH .在 ABQ 中, AQ 2BD, AD DQ ,所以ABQ 90o ,即 AB BQ,因为 P

12、B 平面 ABQ ,所以 AB PB.又 BPlBQ B,所以 AB平面PBQ .由知AB/GH I所以GH平面PBQ .又FH 平面PBQl所以GHFH .同理可得GH HC ,所以FHC为二面角DGHE的平面角.设BA BQ BP 2 ,连接FC ,15 / 20在Rt FBC中，由勾股定理得 FC在Rt PBC中，由勾股定理得PCPBQ的重心，所以HC1 PC3同理FH在FHC中,由余弦定理得COS FHC5 59 92 59-.即二面角D GH E的余5弦值为4.5【方法技巧】立体几何中确定空间位置关系的基本思想是“转化”，即将证明线面平行转化为证明线线平行或者面面平行，将证明面面平行

13、转化为证明线线平 行或者线面平行.3.答案：见解析 解析:因为E,F,G分别是AB,AC,AP的中点, 所以 EF /BC,GF /CP.因为EF 平面PCBlGF 平面PCB , 所以EF /平面PCBlGF /平面PCB .又 EFI GF F ,所以平面GFE/平面PCB.如图，过点C作CH PA ,垂足为H ,连接HB.因为 BC PC, BC AC,且 PCI AC C ,所以BC 平面PACl所以BC PA.又 PA CH,CH I BC C ,所以 PA 平面BCH ,所以 HB PA ,所以 BHC是二面角BAPC的平面角.依条件容易求出CH25所以tanBHC125所以二面角

14、BAPC的正切值是一5 .2方法一：过点F作FD 平面PAB于点D ,连接PD ,贝U FPD为直线PF与平 面PAB所成的角.由PC,AC,BC两两垂直,得PC 平面ABC ,即PC平面ABF,所以PC为三棱锥P ABF的高.由题中条件，易得SABF1由 VF PAB VP ABF ,得 SV31 S 32，SPAB 2 ,1PAB FD 3 S3ABFFD1,得 FD -3又 PF ,所以 Sin FPD FDPF即直线PF与平面PAB所成角的正弦值是丄2 .6方法二：设的PB中点为K ,连接尺KC,AK .因为PBC为等腰直角三角形，所以KC PB .又 AC PClAC BCl 且 P

15、C I BC C，所以AC 平面PCB ,所以AC PB .又 PB KC,ACI KC C ,所以 PB 平面AKC.又PB 平面PAB ,所以平面 AKC 平面PAB.在平面AKC内，过点F作FM AK ,垂足为M .因为平面 AKC 平面PAB ,所以FM 平面PAB.连接PM ,贝U MPF是直线PF与平面PAB所成的角112容易求出PF2, FM -,所以Sin MPF 3-3-6即直线PF与平面PAB所成角的正弦值是-264.答案：解析：对于命题，由题意，知 AG DE,FG DE,AG I FG G ,故DE 平面A'FG .又DE 平面ABC ,所以平面A'FG

16、 平面ABC ,故该命题正确； 对于命题，由可知正确；对于命题，当 AG平面ABC时，三棱锥a' FED 的体积有最大值，故命题正确；对于命题，当 AE在平面ABC上的射影与 直线BD垂直时,易证A E与BD垂直，故该命题不正确.5.答案：见解析解析：证明：因为四边形MNEF,EFDC都是矩形，所以 MN/EFCD,MN EF CD ,所以四边形MNCD是平行四边形，所以NC/MD.因为NC 平面MFD ,所以NC/平面MFD .如图，连接ED因为平面 MNEF 平面ECDF I且NE EF ,所以NE 平面ECDF ,所以FC NE .又EC CD 3 ,所以四边形ECDF为正方形，

17、所以FC ED .又NElED E ,所以FC 平面NED ,所以ND FC .6.答案：见解析解析：证明：在题图2中，连接AC .四边形ABCD是矩形，N为BD的中点，N为AC的中点.在ACF中，M为AF的中点，MN /CF .Q CF 平面 BCF I MN 平面 BCF I MN / /平面 BCF .依题意，知 DA ABlDA AEl 且 ABI AE Al AD 平面 ABFE . 又 AP 平面 ABFE, AP AD .QP为EF 的中点，FP AB 2.2.又AB/EF,四边形ABFP是平行四边形，AP/BF,且 AP BF 2.又 AE 2,PE 2 .2, AP2 AE2

18、 PE2, EAP 90° ,即 AP AE.又 ADl AE A, AP 平面 ADE .7.答案：见解析解析：在矩形ABCD中，AB 1,BC 、2, E为BC的中点，2CE 2CD 72EC,tan CDE, tan CAD-2CD2AD2CDE CAD, CAD ADE 90°, ED AC.Q PA 平面 ABCD,ED 平面 ABCD, PA ED .Q PAI AC A, ED 平面 PAC .在PD上存在一点M ,使得EM /平面PAB , PD的中M点即为所求.Q取仙的AD中点F ,连接EF,MF .Q MF是PAD的中位线， MF /PA.又MF 平面P

19、AB, PA 平面PAB, MF /平面PAB.又E,F分别是BC, AD的中点， AB/EF .Q EF 平面 PAB, AB 平面 PAB, EF / /平面 PAB .QMFI EF F,平面 MFE/平面 PAB .又EM 平面MFE, EM /平面PAB .8.答案：见解析解析：Q PA 平面ABCD,CM 平面ABCD, CM PA.Q M为AD的中点，且11梯形 ABCD 中，BC -AD，AM -AD, BC /AD，22BC/AM ,四边形ABCD为平行四边形，CM /AB .15 / 20又 AB AD, CM AD.QPA 平面 PAD , AD 平面 PAD,且PAl

20、AD A , CM 平面PADQ CM 平面PCM ,平面PCM 平面PAD .在棱PD上存在点Q ,使PD 平面CMQ .在 PAD内，过M作MQ PD ,垂足为Q ,由知，CM 平面PAD ,PD 平面PAD , CM PD .又 MQlCM M , PD 平面 CMQ .又PM平面PAD , MQ平面PAD , CMPM,CM MQ.25 / 20Q平面PCM I平面CMQ CM , PMQ为二面角PCMQ的平面角.又由平面几何知识，知MQ-2,PM2=5,在Rt PQM 中，cos PMQMQPM10故二面角PCMQ的余弦值为.109.答案：见解析解析：Q AB 平面BCD, AB C

21、D.QCDBC,且 AB I BCB, CD 平面 ABC.AE AFAC AD1，不论A为何值，恒有EF /CD, EF 平面ABC .又EF 平面BEF , 平面BEF 平面ABC .不论为何值，恒有平面BEF 平面ABC .由，知BE EF .若平面BEF平面ACD ,又平面BEF I平面ACD EF，BE 平面 ACD, BE AC.Q BC CD 1, BCD90o, ADB60o, BD 、2, AB2 tan 60o 、6,AC .AB2 BC2 一 7由ABAEAC故当6时,平面BEF 平面ACD .7【练后反思】处理空间中平行或垂直的探索性问题， 一般是先根据条件猜测点或 直

22、线的位置再给出证明探索点的存在性问题时，要多从中点或三等分点分析； 直线则多考虑中位线或其他平行直线或垂线；求线段长度时，多用相似三角形构 造比例关系.过专项高考常考题型专练1.答案：见解析解析：证明:因为点E为线段PB的中点，点O为线段AB的中点,所以OE/PA.因为PA 平面PACIOE 平面PAC，所以OE/平面PAC .因为 OM /AC, AC 平面 PAClOM 平面 PAC，所以OM /平面PAC .因为 OE 平面 MOE IOM 平面 MOElOEI OM O，所以平面MOE /平面PAC .因为点C在以AB为直径的e O上，所以 ABC 90° ,即 BC AC

23、.因为PA 平面ABCI BC 平面ABC，所以PA BC .因为 AC 平面 PACI PA 平面 PACl PAI AC A，所以BC 平面PAC .因为BC 平面PCB，所以平面PAC 平面PCB.2.答案：见解析 解析：在正三角形 ABC中，BM 2、,3,BM AC .在 ACD中，因为M为AC的中点，DM AC ,所以AD CD .又 CDA 120o ,所以 DM 空，所以 BM : DM 3:1 .3因为PA 平面ABCD ,所以PA AB .又 PA AB 4 ,所以 PB 4. 2，又 PN .2 ,所以 BN : NP 3:1 ,所以 BN : NP BM :MD ,所以

24、 MN/PD.又MN 平面PDC ,PD 平面PDC ,所以MN/平面PDC .由）知BM AC .又PA 平面ABCD , BM 平面ABCD ,所以PA BM .又PAI AC A ,因此BM 平面PAC .BM 2.316PB 4、24连接PM ,贝U BPM就是直线PB与平面PAC所成的角.在 Rt PMB 中，BM 2,3, PB 4、2 ,因此 Sin BPM即直线PB与平面PAC所成角的正弦值为2L643.答案：见解析 解析：在等腰梯形ABCD中，DAB 60o,CDA DCB 120o.QCB CD 1, CDB 30°,ADB 90°,即 BD AD .Q

25、 BD AE, AD I AE A, BD平面AED .设点B到平面FDC的距离为h ,13 SFDC则由 VF CDBVB FDC,得 3 SCDB CFCDB3,S FDC -,CF 1, h ,即点B到平面FDC的距离为4224.答案：见解析 解析：方法一：取AIC的中点F，连接BFlEF，1QE是 AIG 的中点，EF/CG,且EF -CC-.又 CC1/BB1, D是BB1 的中点， EF /DB,且EF DB，四边形BDEF是平行四边形，DE /BF ,而DE 平面A1BC, BF 平面 ABC，DE /平面ABC .方法二:取A1B1的中点N ,连接EN,NDQ D,E 分别为 BB1,AG 的中点，EN /C1BJBC,DN /AB.又 EN I DN N,A1BI BC B， 平面 DEN /平面 A-BC .又 DE 平面 D