含参方程有关问题

1、含参方程有关问题数学是“教会年轻人思考”的科学, 针对代数推理型问题, 我们不但要寻求它的解法是什么, 还要思考有没有其它的解法, 更要反思为什么要这样解, 不这样解行吗?我们通过典型的问题, 解析代数推理题的解题思路, 方法和技巧. 在解题思维的过程中, 既重视通性通法的演练, 又注意特殊技巧的作用, 同时将函数与方程, 数形结合, 分类与讨论, 等价与化归等数学思想方法贯穿于整个的解题训练过程当中.分类讨论是一种数学思维方法, 也是一种重要的解题策略. 但在重视分类讨论思想应用的同时,应防止见参数就讨论. 对于某些含参代数问题,若对问题作深入的研究,充分挖掘题目的已知量与未知量之间的关系,

2、寻求正确的解题策略,则可以避免不必要的分类讨论,使解题更简单. 下面谈谈避免分类讨论巧解含参代数问题的七种思维策略. 1 抓住主元,化归为一次或二次函数法例1：若不等式x2-2mx+2m+1>0对满足0x1的所有实数x都成立，求m的取值范围。解：设f(x)=x2-2mx+2m+1本题等价于函数f(x)在0x1上的最小值大于0，求m的取值范围。(1)当m<0时，f(x)在0,1上是增函数，因此f(0)是最小值，解 得 <m<0(2)当0m1时，f(x)在x=m时取得最小值解 得 0m1(3)当m>1时，f(x)在0,1 上是减函数，因此f(1)是最小值解 得 m&g

3、t;1综合(1)(2)(3) 得 注：当化归为二次函数后，自变量是实数集的子集时，应用二次函数知识解决有时较繁琐。此型题目有时也可转化为后面的法3求解。变式: 例2：若不等式x2-2mx+2m+1>0对满足1m的所有实数m都成立，求x的取值范围。解:令,则有得:,则所以.小结:在一次二次函数中,参数有时候具有一定的几何意义,结合图像,抓住参数的几何意义对解题能起事半功倍之效.例如:若函数在0,1上至少有50个最大值,求正数的取值范围.分析:最大值的个数跟周期有关,所以这里我们要抓住参数对周期的影响,结合函数图像,我们不难得到:2. 分离参数与变量,避免分类讨论在含参数的方程或不等式中,

4、若能通过适当变形,使方程或不等式一端只含参数的解析式,而另一端为与参数无关的主变元函数, 则在求该函数最值时就不需要分类讨论. 例1：若不等式x2-2mx+2m+1>0对满足0x1的所有实数x都成立，求m的取值范围。解:原不等式化为当时,即而,故当1-x=0时,右边取得最大值.此时.当x=1时,综上,.(练习)例3对R,不等式cos2- 3 > 2mcos- 4m 恒成立,求实数m 的取值范围.解析原不等式可化为: ,若进一步化为,则需要以是否在 - 1 ,1 内为标准分三种情况讨论,比较复杂,如果换一个角度看问题, 显然可以由条件等价转化为不等式=.3. 数形结合求解,避免分类讨

5、论例5:解关于x的不等式分析:若直接求解需要分类讨论, 较为繁琐, 由于不等式两边函数式的几何意义十分清楚,故可利用数形结合求解,设,作出两函数的图像,由图像可得不等式的解为.例6设函数，已知，时恒有，求a的取值范围. 讲解: 由 ,从而只要求直线L不在半圆C下方时, 直线L 的y截距的最小值.当直线与半圆相切时，易求得舍去）.故.本例的求解在于 关键在于构造新的函数, 进而通过解几模型进行推理解题, 当中, 渗透着数形结合的数学思想方法, 显示了解题思维转换的灵活性和流畅性.还须指出的是: 数形结合未必一定要画出图形, 但图形早已在你的心中了, 这也许是解题能力的提升, 还请三思而后行.5.

6、 挖掘隐含条件,避免分类讨论例7 已知函数,是否有实数m , n( m < n) 使得函数f ( x) 的定义域、值域分别是 m , n 和2m ,2 n ?若存在, 求出m 的值; 若不存在,说明理由.分析: 定义域、值域都是两个动态的区间, 按常规做法需讨论对称轴与所给区间的相对位置关系,得出函数f ( x) 在所给区间的单调性, 从而求出函数f ( x) 在区间 m , n 上的值域,再与所给值域比较即可,这一过程需分三种情况讨论,无法回避一个复杂的程序化的运算过程, 但若能从题意中挖掘出“n 1”(即对称轴在所给区间右侧) 这一隐含条件, 则可得出函数f ( x) 在所给区间内单

7、调递增,从而避免繁琐的分类讨论.解:一方面,上最大值为1. 另一方面, 若存在满足条件的m , n ,则f ( x) 在 m, n 上的最大值是2 n. 从而函数f ( x) 在区间 m , n 上是增函数,即从而函数在区间m,n上是增函数,6.运用运动的观点,把握动中不动的因素.例9：已知，有一个负根，而且无正根，那么a的取值范围是（ ）A. B.a=1 C. D.非上述答案分别作出函数y=|x|和直线L:y=ax+1的图像,当a=1时,得L与y=x平行且与y=|x|交于一点在第二象限,如图,直线绕定点（，）转动且夹在L与y轴之间时,满足题意,此时,选C.例10: 7.运用整体的思想,把握问

8、题实质例11:（08浙江卷15）已知t为常数，函数在区间0，3上的最大值为2，则t=_。1分析:函数在最大值只能在x=0,x=3或在对称轴x=1处取得.当在x=0处取得最大值时有t=2 或t=-2. 当t=2时,不合. 当t=-2时,不合当在x=1处取最大值时,有|t+1|=2,得t=1或t=-3 当t=-3时,不合题意. 当t=1时,满足要求当在x=3处取得最大值时,|3-t|=2,t=5或t=1 当t=5时,不合题意综上,t=1例12:已知函数有最大值2,求实数a的值.分析运用整体思想可知,一元二次函数在闭区间的最值只能在区间端点处或二次函数的顶点处取得,若分别令端点值或顶点值等于2 ,

9、即可优先求出字母参数a ,再检验求出的a值是否与前提矛盾就不难了, 这样就避免了对字母参数a 的分类讨论.解:.令.则.(1)令则.当时,关于t的一元二次函数的对称轴,此时,矛盾,舍去;当时,函数的对称轴此时,满足题意.(2)令即,则.当时,关于t的一元二次函数的对称轴,此时,矛盾,舍去;当时,函数的对称轴此时,矛盾,舍去.(3)令,即,则或,当a=时,对称轴,满足要求;当a=4时,对称轴,此时,矛盾.综上,当或时,能使函数的最大值为2.8.探求函数的单调性,转化为最值问题例8 已知不等式对于大于1的正整数n恒成立，试确定a的取值范围.讲解: 构造函数，易证(请思考:用什么方法证明呢?)为增函

10、数. n是大于1的 正整数，对一切大于1的正整数恒成立，必须,即这里的构造函数和例1属于同类型, 学习解题就应当在解题活动的过程中不断的逐类旁通, 举一反三, 总结一些解题的小结论. 针对恒成立的问题, 函数最值解法似乎是一种非常有效的同法, 请提炼你的小结论.（07 浙江理22）设，对任意实数，记（）求的单调区间；（）求证：（）当时，对任意实数成立； （）有且仅有一个正实数，使得对于任意正实数成立。（I）解：由，得因为当时，当时，当时，故所求函数的单调递增区间是，单调递减区间是（II）证明：（i）方法一：令，则，当时，由，得当时，当时，所以在内的最小值是故当时，对任意正实数成立方法二：对任意固定的，令，则，由，得当时，当时，所以当时，取得最大值因此当时，对任意正实数成立（ii）方法一：由（i）得，对任意正实数成立即存在正实数，使得对任意正实数成立下面证明的唯一性：当，时，由（i）得，再取，得，所以，即时，不