复变函数与积分变换第七讲PPT学习教案

1、会计学1复变函数与积分变换第七讲复变函数与积分变换第七讲& 1. 泰勒展开定理泰勒展开定理& 2. 展开式的唯一性展开式的唯一性& 3. 简单初等函数的泰勒展开式简单初等函数的泰勒展开式第1页/共48页1. 泰勒泰勒(Taylor)展开定理展开定理现在研究与此相反的问题：现在研究与此相反的问题：一个解析函数能否用幂级数表达一个解析函数能否用幂级数表达?(或者说或者说,一个解析函数能否展开成幂级数一个解析函数能否展开成幂级数? 解析函解析函数在解析点能否用幂级数表示？）数在解析点能否用幂级数表示？）由由4.24.2幂级数的性质知幂级数的性质知:一个幂级数的和函数在一个幂级

2、数的和函数在它的收敛圆内部是一个解析函数。它的收敛圆内部是一个解析函数。以下定理给出了肯定回答：以下定理给出了肯定回答：任何任何解析函数解析函数都一定都一定能用幂级数表示。能用幂级数表示。第2页/共48页定理（泰勒展开定理）定理（泰勒展开定理）,2 , 1 ,0)(!1:)1()()(,)(0)(00000 nzfnczzczfRzzDzRDzDzfnnnnn其其中中时时当当上上各各点点的的最最短短距距离离的的边边界界到到为为内内解解析析在在区区域域设设级数的处在Taylorzzf0)(Dk 0z rzkdzfizfncknnn 0100)(:)(21)(!1 分析分析：代入代入(1)得得第3

3、页/共48页Dk 0z(*)()()()()2),10010nnnzzzfzf 有有，比比较较)2)(21)( kdzfizf 又又) 1)()()(21)()()(21)(!)()(00100010000)(00 knnnnnknnnnnnndzzzfizzdzfizznzfzzc z第4页/共48页) 2()()(11100200000 nzzzzzzzzzzz ,111)(1100000zzzzzzzz 注注意意到到, 100 qzzz 0000)()()()(nnnzzzzfzf 故故-(*)得证！得证！nnnzzzf)()()(0010 第5页/共48页证明证明(不讲不讲) kdzf

4、izfCauchykzDrzrzk )(21)(:, ,:00积积分分公公式式由由内内任任一一点点为为设设, 100 qzzz 00000111)(11zzzzzzzz )3()()(1 100200000 nzzzzzzzzzz 第6页/共48页级级数数处处的的在在函函数数逐逐项项积积分分得得沿沿着着两两端端乘乘以以Talorzzfzznzfzfzfdzfizzdzfizzdzfidzfizfkifnnknnkkk000)(001002000)()4()(!)()( )()()(2)()()(2)(21)(21)(,2)( (不讲不讲)第7页/共48页!.)(,)4(0000证证毕毕离离的的

5、边边界界上上各各点点的的最最短短距距到到从从级级数数收收敛敛半半径径至至少少等等于于处处的的解解析析点点在在内内即即可可及及其其内内部部包包含含在在只只要要圆圆可可以以任任意意增增大大的的半半径径圆圆的的圆圆域域为为半半径径为为中中心心，的的收收敛敛范范围围是是以以级级数数DzTaylorzzfDkrkrzrz 证明证明(不讲不讲)第8页/共48页收敛圆周上.收敛圆周上.只能在只能在收敛半径还可以扩收敛半径还可以扩不然的话,不然的话,不可能在收敛圆外,不可能在收敛圆外,奇点奇点又又不可能在收敛圆内.不可能在收敛圆内.所以奇点所以奇点圆内解析圆内解析在收敛在收敛这是因为这是因为在收敛圆上,在收敛

6、圆上, 奇点奇点因此,因此,大,大,)()2(zfA 000,)()()(zRzfzRTalorzzfzf即即之间的距离,之间的距离,的最近的一个奇点的最近的一个奇点到到等于从等于从展开式的收敛半径展开式的收敛半径的的在解析点在解析点那么那么有奇点,有奇点,若若(1)(1)第9页/共48页2. 展开式的唯一性展开式的唯一性结论结论 解析函数展开成幂级数是唯一的，就是它解析函数展开成幂级数是唯一的，就是它的的Taylor级数。级数。利用泰勒级数可把解析函数展开成幂级数，这样利用泰勒级数可把解析函数展开成幂级数，这样的展开式是否唯一？的展开式是否唯一？1010021)( )()(2)( azfzz

7、nazzaazfnn nnzzazzazzaazf)()()()(0202010事实上事实上，设，设f (z)用另外的方法展开为幂级数用另外的方法展开为幂级数:导导性性质质得得，再再由由幂幂级级数数的的逐逐项项求求则则00)(azf , 2 , 1 , 0)(!1,0)( nzfnann依依此此类类推推得得，第10页/共48页由此可见，任何解析函数展开成幂级数就是由此可见，任何解析函数展开成幂级数就是Talor级数，因而是唯一的。级数，因而是唯一的。级级数数为为：时时当当Taylorz,00 nnznfzfzffzf!)0(! 2)0( )0( )0()()(2-直接法直接法-间接法间接法代公

8、式代公式由展开式的唯一性，运用级数的代数运算、分由展开式的唯一性，运用级数的代数运算、分 析运算和析运算和 已知函数的展开式来展开已知函数的展开式来展开函数展开成函数展开成Taylor级数的方法：级数的方法：第11页/共48页.!3!21), 2 , 1 , 0(1)(3200)( Renzzzzeneeznzzzznz该该级级数数的的收收敛敛半半径径在在复复平平面面上上解解析析3. 简单初等函数的泰勒展开式简单初等函数的泰勒展开式.0cos,sin,)(展展开开式式的的在在求求Talorzzzezfz 例例1 解解第12页/共48页 00!)(!)(212sinnnnnzizinzinzii

9、ieez )!2()1(!4!21)(sincos242nzzzzznn又又 Rzz它们的半径它们的半径在全平面上解析，在全平面上解析，cos,sin 112111212!)!12()1(!)!12(221kkkkkkkzkzii 1121753!)!12()1(!7! 5! 3sinkkkkzzzzzz第13页/共48页A 上述求上述求sinz, cosz展开式的方法即为间接法展开式的方法即为间接法.例例2 把下列函数展开成把下列函数展开成 z 的幂级数的幂级数:)1ln()() 3()1 (1)() 2(11)() 1 (2zzfzzfzzf 解解1111)1(2 zzzzzn1)1(1)

10、(1111 zzzzznn第14页/共48页(2)由幂级数逐项求导性质得：由幂级数逐项求导性质得： 1) 1(321) 1(111)1 (1112122 znzzzzzzdzdzdzdznnnn:)1(,)1(01)3(逐逐项项积积分分得得的的展展开开式式两两边边沿沿将将的的路路径径内内任任意意取取一一条条从从在在收收敛敛圆圆cczzz 11) 1(312)1ln(132 znzzzzznn znnzzzdzzzdzdzzdz0000)1(1第15页/共48页A(1)另一方面，因另一方面，因ln(1+z)在从在从z=-1向左沿负向左沿负实轴剪开的平面内解析，实轴剪开的平面内解析， ln(1+z

11、)离原点最近的一离原点最近的一个奇点是个奇点是-1,它的展开式的收敛范围为它的展开式的收敛范围为 z1.1,11, 1)1(111)2(22422 RizzRxxxxnn有两个奇点有两个奇点在复数域中容易看出在复数域中容易看出看清楚,看清楚,在实数域中的不容易在实数域中的不容易为什么它的收敛半径为什么它的收敛半径在实数域中在实数域中第16页/共48页定理定理.)()()2(.)()()()1(0000幂幂级级数数内内可可展展成成在在内内解解析析在在区区域域函函数数数数某某一一邻邻域域内内可可展展成成幂幂级级的的在在解解析析在在点点函函数数DzfDzfzzczzfzzfnnn 第17页/共48页

12、解析解析在点在点小结：小结：0)(zzf级级数数。的的某某一一邻邻域域内内可可展展成成幂幂在在点点。正正向向封封闭闭路路线线的的积积分分为为邻邻域域内内的的任任一一条条的的某某一一邻邻域域内内连连续续且且沿沿在在点点方方程程。且且满满足足导导数数的的某某一一邻邻域域内内有有连连续续偏偏的的实实部部和和虚虚部部在在点点的的某某一一邻邻域域内内可可导导。在在点点0000)()4(0)()3()()2()()1(zzfzzfRCzzfzzf 第18页/共48页& 1. 预备知识预备知识& 2. 双边幂级数双边幂级数& 3. 函数展开成双边幂级数函数展开成双边幂级数&

13、4. 展开式的唯一性展开式的唯一性第19页/共48页 由由4.34.3 知知, f (z) 在在 z0 解析解析，则，则 f (z)总可以总可以在在z0 的某一个圆域的某一个圆域 z - z0 R 内内展开成展开成 z - z0 的幂级数。的幂级数。若若 f (z) 在在 z0 点不解析点不解析，在在 z0的邻域中就不可能展开成的邻域中就不可能展开成 z - z0 的幂级数，但如果在圆环域的幂级数，但如果在圆环域 R1 z - z0 R2 内解析，内解析，那么，那么，f (z)能否用能否用级数表示呢？级数表示呢？例如，例如，.11010:,1, 0)1(1)(内内处处处处解解析析及及圆圆环环域

14、域但但在在都都不不解解析析在在 zzzzzzzf nzzzzz2111zzzzzfz 111)1(1)(,10时时当当第20页/共48页 )1(1111)1(1)(,110zzzzzfz时时当当 nnnnzzczzcczzczzczf)()()()()(00101010由此推想，若由此推想，若f (z) 在在R 1 z - z0 R2 内解析内解析, , f (z) 可以展开成级数，只是这个级数含有负幂次项可以展开成级数，只是这个级数含有负幂次项,即即 1211)1()1(111)1()1()1(111nnzzzzzzzz第21页/共48页 本节将讨论在以本节将讨论在以z 0为中心的圆环域内解

15、析为中心的圆环域内解析的函数的级数表示法。它是后面将要研究的解的函数的级数表示法。它是后面将要研究的解析函数在析函数在孤立奇点孤立奇点邻域内的性质以及定义邻域内的性质以及定义留数留数和计算留数的基础。和计算留数的基础。第22页/共48页1. 预备知识预备知识Cauchy 积分公式的推广到复连通域积分公式的推广到复连通域-见第三章第见第三章第18题题，：、且且作作圆圆周周解解析析内内在在设设RzzrDDkkRrRzzkrzzkRzzRDzf 01210201201,:,:.:)(Dz0R1R2rRk1k2D1z有，有，对对1Dz dzfidzfizfkk 12)(21)(21)(第23页/共48

16、页2. 双边幂级数双边幂级数-含有正负幂项的级数含有正负幂项的级数定义定义 形如形如)1()()()()()(001010100 nnnnnnnzzczzcczzczzczzc-双边幂级数双边幂级数正幂项正幂项(包括常数项包括常数项)部分部分：)2()()()(001000 nnnnnzzczzcczzc都是常数都是常数及及其中其中), 2, 1, 0(0 nczn负幂项部分负幂项部分：)3()()()(010110 nnnnnzzczzczzc第24页/共48页级数级数(2)是一幂级数，设收敛半径为是一幂级数，设收敛半径为R2 ， 则级数则级数在在z - z0= =R2 内收敛，且和为内收敛

17、，且和为s(z)+; 在在 z - z0 =R 2外发散。外发散。 则则若若令令对对于于级级数数,1),3(0zz 级级数数发发散散。级级数数收收敛敛则则当当设设其其收收敛敛半半径径为为为为幂幂级级数数级级数数对对变变数数RRR ,)4() 4()(221110 nnnnnnnncccczzc )4(,11,1100则则级级数数代代回回得得将将令令RRzzzz .;)(,1010发发散散当当且且和和为为收收敛敛当当RzzzsRzz 第25页/共48页z0R1R2有有公公共共收收敛敛域域21RR z0R2R1无无公公共共收收敛敛域域21RR 。且和且和收敛收敛称称，此时，此时，区域即圆环域：区域

18、即圆环域：有公共收敛有公共收敛及及时，级数时，级数当且仅当当且仅当 )()()(,)()3()2(020121zszszszzcRzzRRRnnn第26页/共48页.)()4(2010以逐项求积和逐项求导以逐项求积和逐项求导和函数是解析的而且可和函数是解析的而且可内的内的在在级数级数RzzRzzcnnn A 02100)3(zzRR：，收敛域为收敛域为此时此时可以可以可以可以。，发散发散处处处处称称时时当当 nnnzzcRR)()1 (021(2)(2)在圆环域的边界在圆环域的边界 z - z0 =R1, z - z0 =R2上上, , nnnzzc。点点收敛，有些点发散收敛，有些点发散可能有

19、些可能有些)(0第27页/共48页3. 函数展开成双边幂级数函数展开成双边幂级数定理定理.) 5(), 2, 1, 0()()(21:)5()()(,:)(0100201的任何一条简单闭曲线的任何一条简单闭曲线内绕内绕是是其中其中则则内解析内解析在在设设zDcndzzzzficzzczfRzzRDzfcnnnnn 级级数数内内的的在在称称为为LaurentRzzRDzf201:)( 展展开开式式内内的的在在称称为为LaurentRzzRDzf201:)( 第28页/共48页证明证明 由复连通域上的由复连通域上的Cauchy 积分公式：积分公式：Dz0R1R2rRk1k2D1z(*)(21)(2

20、1)(12 dzfidzfizfkk 记为记为I1记为记为I2，时时，当当1002 zzzk ，时时，当当记记为为1001 qzzzk )1(*)()()()(21(00010012 nnnnknnzzczzdzfiI 的的推推导导得得：重重复复3第29页/共48页 nnzzzzzzzz)()()(10102000 00000111)(11zzzzzzzzz )2(*)()()()()(2)()()(2)()(2)()(21020210110010201021111 nnknnkkkzzczzczzcdzfizzdzfizzdfizzdzfiI :,2)(1逐项积分得逐项积分得并沿并沿两边乘以

21、两边乘以kif 第30页/共48页式式(*1),(*2)中系数中系数cn的积分分别是在的积分分别是在k2， k1上进上进行的，在行的，在D内取绕内取绕z0的简单闭曲线的简单闭曲线c，由复合闭路，由复合闭路定理可将定理可将cn写成统一式子：写成统一式子：), 2, 1, 0()()(2110 ndzficknn nnnzzczf)()(0证毕！证毕！级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为洛朗级数的解析部分和主要部分。洛朗级数的解析部分和主要部分。第31页/共48页式式(*1),(*2)中系数中系数cn的积分分别是在的积分分别是在k2， k1上进上进行的，

22、在行的，在D内取绕内取绕z0的简单闭曲线的简单闭曲线c，由复合闭路，由复合闭路定理可将定理可将cn写成统一式子：写成统一式子：), 2, 1, 0()()(2110 ndzficknn nnnzzczf)()(0证毕！证毕！级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为洛朗级数的解析部分和主要部分。洛朗级数的解析部分和主要部分。第32页/共48页A .)(,!)(,0)1(0)(解析的解析的内不是处处内不是处处在在相同相同形式上与高阶导数公式形式上与高阶导数公式系数系数时时当当czfnzfccnnnn 但但 (2) (2)在许多实际应用中，经常遇到在许多实际应

23、用中，经常遇到f (z)在奇点在奇点 z0的邻域内解析，需要把的邻域内解析，需要把f (z)展成级数，那展成级数，那么么 就利用洛朗（就利用洛朗（ Laurent ）级数来展开。）级数来展开。级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为洛朗级数的解析部分和主要部分。洛朗级数的解析部分和主要部分。第33页/共48页4. 展开式的唯一性展开式的唯一性结论结论 一个在某一一个在某一圆环域内解析圆环域内解析的函数展开为含的函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的，这个级数就是有正、负幂项的级数是唯一的，这个级数就是f (z)的洛朗级数。的洛朗级数。事实上事实上，)6(

24、)()(:)(0201 nnnzzazfRzzRDzf可可表表示示为为内内解解析析，在在设设 nnnzaf)()(0 Dz0R1R2cczDc 的的简简单单闭闭曲曲线线，内内任任何何一一条条绕绕为为设设0第34页/共48页的的正正向向积积分分得得：并并沿沿为为任任一一整整数数将将上上式式两两边边乘乘以以cPzP),()(110 Dz0R1R2c dzfiaiadzadzfcpppncnpncp 101010)()(212)(1)()(解解得得：.,级级数数就就是是展展开开成成级级数数在在圆圆环环域域内内解解析析的的函函数数由由此此可可知知Laurent nnnzaf)()(0 第35页/共48

25、页A 由唯一性，将函数展开成由唯一性，将函数展开成Laurent级数，可级数，可用间接法。在大多数情况，均采用这一简便的方用间接法。在大多数情况，均采用这一简便的方法求函数在指定圆环域内的法求函数在指定圆环域内的Laurent展开式，只有展开式，只有在个别情况下，才直接采用公式在个别情况下，才直接采用公式(5)求求Laurent系系数的方法。数的方法。例例1解解展开成洛朗级数。展开成洛朗级数。在在求求 zzz0sin 012)!12()1(1sinnnnnzzzz z0 !5!31!5!314253zzzzzz第36页/共48页.03级数级数内展开成内展开成在在将将Laurentzzez )!

26、 21(1!123033 nzzzznzzzennnz例例2解解例例3解解.01级级数数内内展展成成在在将将Laurentzez nttntte!1! 2112在在复复平平面面上上， nznzzeztz!1!2111,121令令)0( z ! 4! 31! 211123nzzzzzn第37页/共48页例例4级数。级数。的的内展开成内展开成（在以下圆环域在以下圆环域将将Laurentzziiiziizizzzf02)(; 21)(; 10)2)(1(1)(0 xyo1221)( ziixyo12 ziii 2)(xyo1210) zi（第38页/共48页解解:zzzf 2111)(2112111

27、)(zzzf 故故12110)( zzzi 012)211 (874321nnnzzz)421 (21)1 (22 zzzzzn没没有有奇奇点点第39页/共48页2112111112111)(zzzzzzf 122 zz又又11121 )( zzzii 0112122218421111)421(21)111(1nnnnnnnzzzzzzzzzzzz第40页/共48页1222)( zzziiizzzzzzzf211111112111)( 2100122111nnnnnnnzzzzz 4322273142111111zzzzzzzzz注意首项注意首项第41页/共48页次积分等计算来获得。次积分等计算来获得。、逐次求导、逐、逐次求导、逐泰勒展开式，经过代换泰勒展开式，经过代换基本初等函数的基本初等函数的展开式，可以利用已知展开式，可以利用已知等函数的洛朗等函数的洛朗对于无理函数及其他初对于无理函数及其他