52用待定系数法确定二次函数表达式(解析版)

1、2021-2022学年九年级数学下册同步课堂专练(苏科版)5.2用待定系数法确定二次函数表达式【学习目标】1 .学会用待定系数法列方程组求二次函数的解析式2 .重难点：由已知条件特点，灵活选择二次函数三种形式的过程，正确求工!二次 函数 的 解析 式,-二次函数一种形式是可 以互相转化 的二次函数解析式常见有以下几种形式(1) 一般式：y ax2 bx c(a, b, c 为常数，aw0)；(2)顶点式：y a(x h)2 k (a , h, k 为常数，aw0)；(3)交点式：y a(x Xi)(x X2) ( Xi, X2为抛物线与x轴交点的横坐标，aw0).要点诠释：在设函数的解析式时，

2、根据题中所给条件选择合适的形式当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为y ax2 bx c ；当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时.可设函数的解析式为y a(x h)2 k ；【同步练习】一、单选题1 .已知二次函数 y ax2 bx c的图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2 bx c 0可以为()A. x2 4x 3 0【详解】抛物线开口朝上，与xi1,x2 3,且 a2x 3 0-2.A.C.B. x2 2x 3 0C. x2x轴的交点坐标为 1,0和0.，关于x的二次方程已知二次函数的图象经过10 ， 2,0 , 033x 3B.3x 3D.二次函数的图象经过1,

3、02x 33,00,3代入得3 2a解得3.已知抛物线y ax20D. x2 4x二次方程ax2ax2 bx c 0可以为x三点，则该函数解析式为（bx c 0的解为0,即2x 32x 32,0 , 0,3三点，设二次函数的解析式为3 3一石，故函数解析式为y 2 x 2 x1，整理得x4321c上部分点的横坐标 x与纵坐标y的对应值如表，则下列结论正确的是bxy3010A.对称轴为直线 x 2B. abc 0C. a b c 0D.关于x的一元二次方程ax2 bx c 1 0有两个不相等的实数解解：由题意可得，将(-3, 0) (-2 , 1) (-1 , 0)代入 y ax2 bx c中9

4、a 3b c 0 a14a 2b c 1 ,解得 b 4 a b c 0c 3二次函数解析式为 y x2 4x 3对称轴为直线x 包 2,故选项A符合题意； 2aabc 14312 0,故选项B不符合题意;a b c= 1438 0,故选项C不符合题意；关于X的一元二次方程 ax2 bx c 1 0为x2 4x 3 1 0,即x2+4x+4 0,22一 =b 4ac 44 1 4 0,，方程有两个相等的实数根，故选项D不符合题意故选：A.4.已知二次函数y ax2 bx c(a0)经过点M ( 1,2)和点N(1, 2),交x轴于A, B两点，交y轴于点C.b 2；该二次函数图象与 y轴交于负

5、半轴；存在这样一个a,使得M A C三点在同一条直线上；若a 1,则OA OB OC2 .以上说法正确的有()A.B.C.D.【答案】 B【详解】二次函数y ax2 bx c a 0经过点M 1,2和点N 1, 2 ,2abcabc由可得b 2 ， a c 0 ，即 ca 0 ，所以二次函数图象与y 轴交于负半轴根据抛物线图象的特点，M 、 A 、 C 三点不可能在同一条直线上，故该选项错误当a 1时，c 1 ,.该二次函数的解析式为y x2 2x 1，当 y 0 时，利用根与系数的关系可得x1 x21 ，即 OA OB 1 ，当 x 0 时， y 1 ，即 OC 1 OC2， OA OB O

6、C2 ,故该选项B 正确x 轴的0； x 4，5如图，是抛物线y1 ax2 bx c （ a 0 ）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（ 1， 3） ，与一个交点B （4, 0）,直线y2 mx n（ m 0）与抛物线交于 A, B两点，下列结论： 2ab抛物线与x轴的另一个交点是（2,0）；方程ax2 bx c 3有两个相等的实数根；当时 1有丫2y1；若ax12bx1ax22bx2,且x1x2；则x+x21.则命题正确的个数为（A. 5个B. 4个【答案】B【详解】略C. 3个D. 2个6.二次函数 y ax2 bx c( a, b , c为常数，a0)中的x与y的部分对应值如下表:A.

7、abc 0C. 16a 4b c 0【答案】D【详解】解：由表可知该抛物线的图像经过点(卜列结论：其中正确的是()x-1012y-1355b.当x 1时，y的值随x值的增大而减小D.抛物线与x轴有两个交点0, 3), (1, 5), (2, 5),c 3代入抛物线解析式可得：a b c 54a 2b c 5a 1解得：b 3c 32_y x 3x 3,，抛物线开口向下，对称轴为：x故B选项不正确；abc= 9 0,故A选项不正确；. 16a 4b c 161故C选项不正确； 22b 4ac 341 3，该抛物线与x轴有两个交点，1.5,当x 1.5时，y随x的增大而减小,4 3 31 0,21

8、 0；.D选项正确.故选D.7.已知二次函数y ax2 bx c的图象对称轴为x h,且图象经过点A(1,1), B(8,8) .则下列说法中正确的是()A.若 h 7,则 a 0B,若 h 5,则 a 0C.若 h 4,则 a 0 D.若 h 6,则 a 0【答案】D【详解】解：:二次函数y ax2 bx c的图象对称轴为 x h,b2aA 若 h 7 ,则 b 14a ,2. 一一次函数为 y ax 14ax c,图象经过点 A(1,1), B(8,8).0,13a c48a c故A错误；B、若 h 5,贝U b 10a ,2一次函数为y ax 10ax c,，图象经过点 A(1,1),

9、B(8,8).1 0,9a c16a c故B错误;C、若 h 4,则 b 8a ,二次函数为y ax2 8ax c,.,图象经过点 A(1,1), B(8,8).7a c 1，解得a 1 0, c 8故C错误；D、若 h 6 ,则 b 12a ,2一次函数为 y ax 12ax c,二图象经过点 A(1,1), B(8,8).0,11a c32a c故D正确；故选：D .8.如图，抛物线y=- x2+2x+c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点 A B且0是OB则c的值为（A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【详解】依题：抛物线y= - x2+2x+c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点 A

10、 B,B (0, 0,OB= c,OA= OBOA= c, A (c, 0),，c2+2c+c=0,解得 c= 3 或 c= 0 (舍去)，故选：D、填空题9-设抛物线y x2 (a 1)x a ,其中a为实数.(1)若抛物线经过点(1,m),则m (2)将抛物线y x2 (a 1)x a向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是 【答案】0 2【详解】 解：(1)将(1,m)代入 y x2 (a 1)x a得:m 1 a 1 a 0故答案为：0(2)根据题意可得新的函数解析式为:2x (a 1)x a+2t b 4ac b2由抛物线顶点坐标 -,2a 4a得新抛物线顶点的纵坐标为:4

11、(a 2) (a 1)24a2 2a 742 一一(a 2a 1) 842_(a 1)84rr2当a=l时，a 18有最大值为8, 所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是8=24故答案为：2分别过点A,若记OAP3，10.如图已知 Al,A2 ,A3An 是 x轴上的点，且 OAlA1A2A2AA3A4AnlAn1,一 . A 12A, A3An,作x轴的垂线交二次函数y -x (x 0)的图象于点P1,P2，P3,，P的面积为6 ,过点P作RB A2P2于点B1 ,记4P2B2P3的面积为S3 ,依次进行下去，则;最后记ZPnBn R ( n 1 )的面积为& ,则Sn 42n 14【答案

12、】5, 4【详解】12 111.11解：当 x=1 时，y= - x =，则 P1 (1,),所以 SI 1 ； 222224,1 。-113当 x=2时，y=；x2=2,则p2(2,2)，所以S2二1 (2二)二；2 2241 。 9 一 9195当 x=3 时，y=2x=2 则 p3(3,2-所以 & 2 1 (2 2)同样方法可得S47所以Sn42n 1故答案为：5; Sn 生 4411.如图，平面直角坐标系中，点A在y轴的负半轴上，点 B, C在x轴上，OA= 8, AB= AC= 10,点D在AB上，CD y轴交于点E,且?t足Sacce= Saade,则过点B, C, E的

13、抛物线的函数解析式为-2 2【答案】y x227【详解】 解：. CA= 8, AB= AC= 10,CB= CC= Jab2oa2 =6，8)B (6, 0), C ( 6, 0), A (0,设点D (m n),S>A CCE= SkADE,S(A cc+S 四边形cedb= Sa ad+S 四边形oedbSa CDB= SACIB,2-BC?|n| = yAC?BQ解得12 ( n)=8X6,n= - 4,设直线AB解析式为y= kx+b,6k b 0把 A (0, -8), B (6, 0),代入得，b 8解得，b= - 8, k=, 3直线AB解析式为y= x - 8, 3当

14、y= - 4时，x= 3,D (3, -4),. C (- 6, 0),同理可得CDB析式为y= 4x- 8, 93.,.点E的坐标为:(0,1), 3设经过B、C E三点的二次函数的解析式为：y=ax2- 8,3把 B (6, 0)代入得，0=36a- 8 , 32a= 一，27过点b, c, E的抛物线的函数解析式为：y= x2- 8 .273故答案为：y = - x2 . 27312 .若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“ H函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“H点”.根据该约定，下列关于x的函数：y 2x；y m m 0 ；y 3x 1； xc .2

15、y.x .其中是“ h函数”的为.(填上序号即可)【答案】【详解】解：设函数上一个点的坐标为 （a,b）,则其关于原点对称的点坐标为（a, b）,将点（a, b）代入y 2x得：b 2a,当x a时，y 2a b ,即点（a, b）在函数y 2x上，则函数y 2x是“ h函数”；将点（a,b）代入y m m 0得：b m , xa当x a时，y -mb,即点（a, b）在函数y m m 0上，ax则函数y m m 0是“ H函数”； x将点（a,b）代入y 3x 1得：b 3a 1 ,即3a b 1 ,当 x a时，y 3a 1 b 2,则点（a, b）不在函数y 3x 1上，此函数不是“ H

16、函数”；将点（a, b）代入y二x2得：b a2,当 x a时，y （ a）2 a2 b,则点（a, b）不在函数y二x2上，此函数不是“ H函数”；综上，是“ H函数”的为，故答案为：.三、解答题13 .如图，在平面直角坐标系中，二次函数y x2 bx c的图像与x轴交于点.A 1,0、B 3,0 ,与y轴交于点C.(1) b , c ;(2)若点D在该二次函数的图像上，且S)abd2Sjabc,求点D的坐标；(3)若点P是该二次函数图像上位于X轴上方的一点，且 SaPC S APB ,直接写出点P的坐标.【答案】(1) -2, -3; (2)(1 加，6)或(1 斤，6); (3) (4,

17、 5)【详解】A和点B在二次函数2解：(1)二.点y x bx c图像上，3b c23故答案为：-2,-3;(2)连接BC由题意可得：2A (-1 , 0), B (3, 0), C (0,-3), y x2 2x 3, S>A AB(= 4 3 =6, 2S>aab=2Sabc,设点 D (m m2 2m 3), 1 AB yD 2 6,即 g 4 m2 2m 3 2 6 ,解得：x=i M或 1 710,代入 y x2 2x 3,可得：y值都为6,D(1 而，6)或(1 加,6);(3)设 P (n, n2 2n 3),点P在抛物线位于x轴上方的部分，n<-1 或 n&g

18、t;3,当点P在点A左侧时，即n<-1 ,可知点C到AP的距离小于点 B至IJAP的距离,SA APCSa APB，不成立;当点P在点B右侧时，即n>3,APCmAPBtB以AP为底，若要面积相等,则点B和点C到AP的距离相等，即 BC/ AP设直线BC的解析式为y=kx+p,0 3kp则，解得:3 p则设直线AP的解析式为y=x+q,将点A (-1 , 0)代入,则-1+q=0,解得：q=1,则直线AP的解析式为y=x+1,将P (n, n2 2n 3)代入,即 n2 2n 3 n 1 ,解得：n=4或n=-1 (舍)，2n 2n 3 5，点P的坐标为(4, 5).214.已知抛

19、物线y a x h的对称轴为直线x 2,且过点1, 3 .(1)求抛物线的解析式.(2)画出函数的图象.(或最小值)？x 2时，函数(3)从图象上观察，当 x取何值时，y随x的增大而增大？当 x取何值时，函数有最大值12【答案】(1) y (x 2) ； (2)见解析；(3)当x 2时，y随x的增大而增大，当 3有最大值0【详解】-，一_ 2解：(1) .直线x 2为抛物线y a x h的对称轴，,抛物线的解析式为ya x 2将1, 3代入可得 3 a 1 2 m1解得a一.312抛物线的解析式为 y 1(x 2)2 .312.(2)函数y -(x 2)的图象如图.(3)二该抛物线的对称轴为直

20、线 x 2,，顶点坐标为 2,0 ,根据抛物线的对称性，当x 2时，y随x的增大而增大, 3 0, .函数有最大值.当x2时，函数有最大值 0.15.如图，抛物线 y ax2 bx c(a 0)与x轴交于A B两点，与y轴交于OB OC 3OA .(1)求抛物线的解析式；(2)在第二象限内的抛物线上确定一点P,使四边形PBAC勺面积最大.求出点 P的坐标(3)在(2)的结论下，点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q.使点P、B、MQ为顶点的四边形是平行四边形，若存在.请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1) y21 153 15 T. 2 31x 2x 3 ； (2) ( , 一)；( 3)( 一 一)或(,24242157解：(1) . OB=O(=3OA 八。布，222_2_2OC OA AC ,即 3OA OA10解得：OA=1, O(=OB=3, .A (