直线与圆的方程 对称问题

1、高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学第第三三节节 对称问题对称问题 第九章第九章 直线与圆的方程直线与圆的方程高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学课前自主学案课前自主学案 高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学知识梳理知识梳理 1.中点坐标公式 设A(x1,y1),B(x2,y2)，则线段AB的中点 P（x0，y0）的坐标公式_. 2.中心对称问题设P（x0，y0），对称中心为A（a，b），则P关于A的对称点为P_. 3.点关于直线成轴对称问题由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线”.利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标.一般情形如下：设点P（

2、x0，y0）关于直线y=kx+b的对称点为P（x，y），则有2y+y=y,2x+x=x210210（2ax0，2by0）高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学 可求出x、y. 特殊地，点P（x0，y0）关于直线x=a的对称点为P（2ax0，y0）；点P（x0，y0）关于直线y=b的对称点为P（x0，2by0）. 点P（x0，y0）关于直线xy=0（即y=x）的对称点为P（y0,x0）； 点P（x0，y0）关于直线x+y=0（即y=-x）的对称点为P（-y0,-x0）. 4.曲线关于点、曲线关于直线的中心或轴对称问题一般结论如下：（1）曲线f（x，y）=0关于已知点A（a，b）的对称曲线的方程

3、是f（2ax，2by）=0. bxxkyykxxyy22,1000高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学 （2）曲线f（x，y）=0关于直线y=kx+b的对称曲线的求法： 设曲线f（x，y）=0上任意一点为P（x0，y0），P点关于直线y=kx+b的对称点为P（x，y），则由（2）知，P与P的坐标满足 从中解出x0、y0， 代入已知曲线f（x，y）=0，应有f（x0，y0）=0.利用坐标代换法就可求出曲线f（x，y）=0关于直线y=kx+b的对称曲线方程.,22, 10000bxxkyykxxyy高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学基础自测基础自测 1.已知点M（a，b）与N关于x轴对称

4、，点P与点N关于y轴对称，点Q与点P关于直线x+y=0对称，则点Q的坐标为 ( ) A.（a，b）B.（b，a）C.（a，b）D.（b，a）解析：N（a，b），P（a，b），则Q（b，a）答案：B高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学2点A（4，0）关于直线l：5x+4y+21=0的对称点是( ) A（-6，8） B（-8，-6） C（-6，-8） D（ 6，8） 解析：法一：已知直线l的斜率为- ，设点A关于直线l的对称点为B，则kAB= .检验选项A，k= ,排除；选项B，k= ,排除；选项C，k= ；选项D,k=4,排除，选C.4554542154高考总复习高考总复习.理科理科.数学数

5、学3.(2009年江苏模拟)直线x+2y-3=0与直线ax+4y+b=0关于点A(1,0)对称，则b=_.解析：直线关于点的对称直线与已知直线平行(或重合).a=2.又直线x+2y-3=0上的任一点M(3-2y,y)关于点A(1,0)的对称点为N(2y-1,-y)，由点N(2y-1,-y)在直线2x+4y+b=0上.得2(2y-1)+4(-y)+b=0 b=2.答案：2高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学法二：设点A关于直线l的对称点为B(m,n),则由故选C.答案：C860212042451)45(40nmnmmn高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学4.(2009年成都测试)光线由点

6、P(2，3)射到直线x+y=-1上，反射后过点Q(1，1)，则反射光线方程为_.解析：法一：如右图所示，设点Q(1,1)关于已知直线的对称点为Q(m,n),则入射光线所在的直线为PQ.则直线PQ与已知直线的交点M为反射点.由 故直线PQ的方程为5x-4y+2=0.由 5x-4y+2=0 x+y=-1反射光线所在的直线MQ的方程为：4x-5y+1=0.2212121111nmnmmn)31,32(3132Myx即高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学法二：设点P关于直线x+y=-1的对称点为P(m,n),则由反射线PQ的斜率为 ，反射线所在的直线方程为y-1= (x-1)即4x-5y+1=0.

7、答案：4x-5y+1=0.3412322123nmnmmn5454高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学课堂互动探究课堂互动探究 高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学点对称问题 (原创)已知点A(cos,sin)(R)关于点M(1，0)的对称点为P(x,y).(1)用表示点P的坐标x,y;(2)求证：点P到点B(2，0)的距离为常数.解析：(1)由中点坐标公式,得故点P的坐标为P(2-cos,-sin ).(2)|PB|= = =1点P到点B(2，0)的距离为常数.sincos202sin12cosyxyx22) 0sin() 2cos2(22sincos高考总复习高考总复习.理科理科.

8、数学数学变式探究变式探究 1.求直线l1:2x-y+2=0关于定点M（1，2）对称的直线m的方程.分析：设直线m上的动点P（x，y）关于点M（1，2）的对称点为Q（x0，y0），则Q必在直线l1上，结合中点坐标公式即可求得.解析：设直线m上的动点P（x，y）关于点M（1，2）的对称点为Q（x0，y0），则Q必在直线l1上，线段PQ的中点M，由中点坐标公式得， .于是得x0=2x,y0=4y.，因为点Q（x0，y0）在直线l1:2x-y+2=0上，所以2（2-x）-(4-y)+2=0 即2x-y-2=0.所以直线m的方程为2x-y-2=0.220,120yyxx高考总复习高考总复习.理科理科.数

9、学数学轴对称问题轴对称问题 (原创)设点A(1,0)关于直线y=kx的对称点为P(x,y),O为坐标原点.(1)用k表示直线OP的斜率f(k);(2)证明|OP|=1.解析：(1)当k0时，由当k=0时，点A(1，0)关于直线y=0的对称点仍为(1,0),上式也成立.故点A(1,0)关于直线y=kx的对称点为P222121121211kkykkxxkykxy)12,11(222kkkk高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学直线OP的斜率f(k)= (k1).当k=1进，点P在y轴上，直线OP的斜率不存在.(2)|OP|2= ,|OP|=1.212kk1)1 (4)1 ()12()11(222

10、2222222kkkkkkk高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学变式探究变式探究 2.求直线a：2x+y4=0关于直线l：3x+4y1=0对称的直线b的方程.分析：由平面几何知识可知若直线a、b关于直线l对称，它们具有下列几何性质：若a、b相交，则l是a、b交角的平分线；若点A在直线a上，那么A关于直线l的对称点B一定在直线b上，这时ABl，并且AB的中点D在l上；a以l为轴旋转180，一定与b重合.使用这些性质，可以找出直线b的方程.解此题的方法很多，总的来说有两类：一类是找出确定直线方程的两个条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程；另一类是直接由轨迹求方程.高考总复习高考总复习.

11、理科理科.数学数学解析：法一：2x+y4=0， 由 解得a与l的交点E(3，-2)，E点也在b上. 3x+4y1=0，在直线a：2x+y4=0上找一点A（2，0），设点A关于直线l的对称点B的坐标为（x0，y0）由两点式得直线b的方程为即2x+11y+16=0.），解得（5854,3420, 012042230000 xyyx5433)58(-2-)2(-yx高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学法二：（利用对称关系）设P(x,y)是所求对称直线b上一点，关于直线l的对称点为Q(x0,y0) 又Q(x0,y0)在a上， ，即b的方程是2x+11y+16=0.25 8+7y24x256+24y

12、7x, 1)43(,012423000000yxxxyyyyxx解得0425 8+7y24x256+24y7x2高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学法三：设直线b上的动点P（x，y），直线a上的点Q（x0，42x0），且P、Q两点关于直线l：3x+4y1=0对称，则有消去x0，得2x+11y+16=0或2x+y4=0（舍）.34xx)2x(4y51)2x4(4+3x5154y+3x0000，高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学光学中的对称问题 光线从A(-3，4)点出发，到x轴上的点B后，被x轴反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射线恰好过点D(-1，6)，求直线BC的方程.解析：

13、法一：如右图所示，由题设知，点B在原点O的左侧，设点B坐标为(a,0)，由反射角等于入射角这一物理知识可得kAB= -kBC,且kBC=-kCD.kAB=- ,直线BC的方程为y-0= (x-a),即4x-(3+a)y-4a=0,令x=0，可得C点的坐标为(0,- ）则kCD=- .a34a34a34aa31018高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学又因为kCD= - ,所以得 ,解得a=- .因此直线BC的方程为5x-2y+7=0.法二：如右图所示，点A(-3,4)关于x轴的对称点为A(-3,-4)，设点C的坐标为(0,y0)，则直线AC的方程为 ，即(4+y0)x-3y+3y0=0.又

14、因为AC与DC关于直线y=y0对称，若设点D关于y=y0的对称点D(x1,y1),显然D在直线AC上，且有 x1=-1, x1=-1 解得 6+y1=2y0, y1=2y0-6a34aaa343101857303440 xyy高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学将点D的坐标(-1，2y0-6)代入直线AC的方程(4+y0)x-3y+3y0=0,可得y0= kCD= ,因此kBC= .从而直线BC的方程为y= x+ ,即5x-2y+7=0.法三：如右图所示，作点A(-3,4)关于x轴的对称点A(-3,-4),作点D(-1，6)关于y轴的对称点D(1,6),由物理及平面几何知识知道A,B,C,

15、D四点共线.因此直线AD的方程为 ,即5x-2y+7=0,所以，直线BC的方程为5x-2y+7=0.点评：在解决入射光线与反射光线问题时往往转化为对称问题，即“入射光线所在直线和反射光线所在直线关于反射面所在直线对称，也关于法线所在直线对称”.2725(-1)-06-y02525273+13+x4+6 4+y高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学变式探究变式探究 3.一条光线经过点P(2,3)射在直线l：x+y+1=0上，反射后穿过点Q(1,1)（1）求入射光线所在的直线方程；（2）求这条光线从P到Q的长度. 解析：(1)设Q(1,1)关于：x+y+1=0的对称点Q1(x,y)，易求得Q1(

16、2,2)，入射光线所在直线方程PQ1: ，即5x-4y+2=0.（2）l是QQ1的垂直平分线，因而|PQ1|= 即为所求.2+22+x2+3 2+y41高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学利用对称求最值 已知两点A（2，3）、B（4，1），直线l：x+2y 2=0，在直线l上求一点P.（1）使|PA|+|PB|最小；（2）使|PA|PB|最大.解析：（1）可判断A、B在直线l的同侧，设A点关于l的对称点A1的坐标为（x1，y1）.则有 ，解得.1)21(23, 02232221111xyyx595211yx高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学 由两点式求得直线A1B的方程为y= （x4

17、）+1，直线A1B与l的交点可求得为P ，由平面几何知识可知|PA|+|PB|最小. （2）由两点式求得直线AB的方程为y-1=-（x4），即x+y-5=0.直线AB与l的交点可求得为P（8，3），它使|PA|-|PB|最大. 点评：注意平面几何的知识在解析几何中的灵活运用，恰当地利用平面几何的知识对解题能起到事半功倍的效果.117)253,2556(高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学变式探究变式探究 4.已知点M（3，5），在直线l：x2y+2=0和y轴上各找一点P和Q，使MPQ的周长最小.分析：如下图所示，作点M关于直线l的对称点M1，再作点M关于y轴的对称点M2，连接MM1、MM2

18、，连结M1M2与l及y轴交于P与Q两点，由轴对称及平面几何知识，可知这样得到的MPQ的周长最小解析：可求得点M关于l的对称点为M1（5，1），点M关于y轴的对称点为M2（-3，5），则MPQ的周长就|M2Q|+|QP|+|PM1|，连M2M1,则直线M2M1与y轴及直线x-2y+2=0的交点P、Q即为所求.高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学直线M1M2的方程为x+2y7=0，直线M1M2与y轴的交点坐标为Q(0, )， x2y+2=0由方程组 得交点 x+2y7=0P ，即点P 、Q 即为所求.27)49,25()49,25()27, 0 (高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学温馨提

19、示温馨提示 高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学1.对称问题分为点（中心）对称及轴对称.点对称仅用中点坐标公式即可解决，轴对称因对称点连线的中垂线就是对称轴，根据中点坐标公式及斜率的关系即可解决.特别是关于原点对称、坐标轴对称、直线xy=0对称都要熟练掌握.2.对称问题的核心是点关于点的中心对称和点关于直线的轴对称，要充分利用转化的思想将问题转化为这两类对称中的一种加以处理.3.许多问题都隐含着对称性，要注意挖掘、充分利用对称变换来解决，如角平分线、线段中垂线、光线反射等.4.对称问题除了用中点坐标公式及斜率关系来求以外，还可以用求轨迹的思想代入法和转移法来求解.5.解决最值问题最常用的方

20、法是目标函数法和几何法.高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学 题型展示台题型展示台 高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学 (2009年北京卷)点P在直线l：y=x-1上，若存在过P的直线交抛物线y=x2于A、B两点，且|PA|=|AB|，则称点P为“点”，那么下列结论中正确的是 （ ）A.直线l上的所有点都是“点”B.直线l上仅有有限个点是“点”C.直线l上的所有点都不是“点”D.直线l上有无穷多个点(点不是所有的点)是“点”)解析：本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力，考查学生分析问题和解决问题的能力.属于创新题型，如右图所示.高考总复习高考总复习.理科理科.数学数学设A(m,n)，P(x,x-1),则B(2m-x,2n-x+1),A、B在y=x2上， n=m2 2n-x+1=(2m-x)2消去n，整理得关于x的方程x2-(4m-1)x+2m2-1=0.=(4m-1)2-4(2m2-1)=8m2-8m+50恒成立，方程恒有实数