论文资料：定积分及其应用

1、.精品文档 免费阅读 免费分享 如需请下载！第五章 定积分及其应用一、内容分析与教学建议（一） 定积分与不定积分构成积分学的全貌，为了进一步运用数学分析的方法解决实际问题，定积分的思想、概念、理论和计算方法是不可缺少的数学基础。本章的基本知识结构是从实际问题引入定积分概念，然后建立一整套理论和微积分基本公式，从而完成各种计算方法的建立，最后给出微小元素的思想及步骤。（二） 定积分概念、牛顿莱不尼兹公式关于定积分的概念，可通过几个实例引入特定和式的极限，从中抽象出定积分定义，抓住定义中的本质内容，分割、近似、求和、取极限来进行阐述，并能解释定义和有关性质的几何意义，帮助加深和理解。定积分的性质和

2、牛顿莱不尼兹公式是构成本章的基本理论。各性质都是在连续条件下导出的，讲授时，应使学生正确理解它们的形成和作用。对于变上限的定积分的重要性质必须分析透彻，从而才能使学生理解定积分与不定积分的联系、区别，达到熟练掌握微积分基本公式。（三） 换元积分法、分部积分法换元积分法和分部积分法构成本章的基本方法，应强调换元积分与不定积分的换元积分之区别，教学中以正反两方面的具体例子讲清“换元要换限”，让学生熟练掌握这些基本方法。（四） 广义积分广义积分作为定积分的扩充，应强调它实际上是普通定积分的极限，应培养学生对广义积分尤其是无界函数广义积分的识别能力。（五） 微元法（定积分应用）定积分应用应着重讲透处理

3、问题的思想方法 微元法，关于积分法，可通过回顾定积分定义，介绍什么是微元法，以及微元法所满足的条件。对微元法的取法，上下限的确定，应通过足够例子熟练运用定积分表示一些几何、物理量。二、补充例题例1. 设连续，且，求.解： 记，则两端积分得： ， 例2. 证明不等式证： ，故即 上式左端为2的二次三项式，故其判别式不大于0，即 得： .例3. 设在连续且递减，证明：当时，.证： ，又证，作 ，则只需证：， 又，故当， 例4设在上有一阶连续导数，证明：证： 由积分中值定理，即， 例5. 设在上连续，证明：. 证： 由在上连续，故有最大值，分别在区间，上应用拉格朗日中值定理，有：， ， 从而 例6.

4、 设，在上连续，证明至少存在一个使证： 作，由于，在上连续，所以在上连续，在内可导，并有 由罗尔定理，存在，使，即 例7. 设连续，证明：证： 令，则 （对第二个积分，令） 例8. 设函数在上连续且单调增加，证明在内存在点，使曲线与两直线，所围平面图形面积是曲线与两直线，所围图形面积的三倍。证：设是上任一点，与分别表示图中两块曲边三角形面积，由于是 的连续函数，只要证明该函数在内有零点即可。构造函数 由于连续，因此2在上连续，又 由连续函数介值定理知，使 故 即 例9. 设平面图形A由与所确定，求图形A绕直线旋转一周所得的旋转体体积解： 因与直线的交点为和，选为积分变量，相应平面图形绕旋转一周所得的旋转体的体积微元为其中，故得： 积分得： 第一个积分中，令，得例10. 设函数在闭区间，在开区间内大于零，并满足（ 常数），又曲线与，所围图形的面积值为，求函数，问为何值时，图形绕轴旋转一周所得的旋转体体积最小？解： 由题设知，当时，即，由在连续性得 ， 又由已知条件得： 从而，因此由于旋转体的体积为 令，所以当时，该旋转体体积为最小。 三、补充练习1. 求 . （0）2. 求 （ ）3设，求. 4 函数在上连续，证明：，并由此计算 5求 6设函数在上，且，则在内至少存在一点，使得7设，求 8. 若曲线与轴，轴所围成的面积被曲线和三等分，试确定，之值 9. 求