高中数学解析几何知识点总结(20210908144037)

1、一、直线方程.1. 直线的倾斜角：一条直线向上的方向与 廉由正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与X轴平行或重合时，其倾斜角为 0,故直线倾斜角的范 围是 0180 (0).注：当90或X2 X1时，直线I垂直于x轴，它的斜率不存在.每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与 x轴垂直的直线不存在斜率外，其余每 一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.2. 直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式 .特别地，当直线经过两点(a,0),(0,b)，即直线在x轴，y轴上的截距分别为a,b(a 0,b 0)时，直线方程是：-1.a b注：假设y 2x 2是

2、一直线的方程，那么这条直线的方程是y 亠2，但假设33y |x 2(x 0)那么不是这条线.附：直线系：对于直线的斜截式方程y kx b，当k,b均为确定的数值时，它表示 一条确定的直线，如果k,b变化时，对应的直线也会变化.当b为定植，k变化 时，它们表示过定点(0, b )的直线束.当k为定值，b变化时，它们表示一组 平行直线.3. 两条直线平行：I1 / l2 k1 k2两条直线平行的条件是：11和I2是两条不重合的直线.在I1和I2 的斜率都存在的前提下得到的.因此，应特别注意，抽掉或无视其中任一个 前 提都会导致结论的错误.(一般的结论是：对于两条直线I12，它们在y轴上的纵截距是

3、b1，b2，那么I1 / I2 k1 k2，且b1 b2或11,12的斜率均不存在，即A1B2 B1A2是平行的必要不充分条件，且C1 C2 )推论：如果两条直线li,l 2的倾斜角为1, 2那么11 1212.两条直线垂直：两条直线垂直的条 件：设两条直线11和12的斜率分别 为k1和k2，那么有11 12 kik21这里的前提是11,12的斜率都存在11 12 ki 0,且12的斜率不存在或k2 0,且11的斜率不存在.即A1B2 A2B1 0是垂直的充要条件4. 直线的交角:直线11到12的角方向角；直线11到12的角，是指直线11绕交点依逆时针方向旋转到与12重合时所转动的角，它的范围

4、是0,，当90 时 tank2 k11 k1 k2两条相交直线11与12的夹角：两条相交直线11与12的夹角，是指由11与12相交所成的四个角中最小的正角，又称为11和12所成的角，它的取值范围是 0匚，当90，那么有tan |齢.5.过两直线11：A1X B1y C1 0 的交点的直线系方程 12:A2x b 2y C 2 0A1XB"C1A2XB2yC20为参数，A2XB2yC20 不包括在内6点到直线的距离：点到直线的距离公式：设点PX0，y°，直线1 : Ax By C 0,P到I的距离为d，那么有 d AX0 By0 C .< A2 B2注：1.两点 P1X

5、1,y1、P2x2,y2的距离公式：|RP2| X2 X12 y2 yj2 .特例：点Px,y到原点O的距离：|OP| . x2 y22.定比分点坐标分式。假设点Px,y分有向线段所成的比为 即 PPPP2 , 其中P1X1,y1,P2x2,y2.那么jy特例，中点坐标公式；重要结论，三角形重心坐标公式。3. 直线的倾斜角(0°< v 180°)、斜率:k tan4. 过两点的直线的斜率公式：k y2 y1 .(xi X2)X2 Xi当Xi X2,yiy2 (即直线和x轴垂直)时，直线的倾斜角 =90，没有斜率-、A2 B2两条平行线间的距离公式：设两条平行直线li：

6、Ax By Ci 0,l 2: Ax By C2 0(6 C2)，它们之间的距离为d，那么有d注；直线系方程1. 与直线：Ax+By+C= 0平行的直线系方程是：Ax+By+m=0.( m? R, Cm m).2. 与直线：Ax+By+C= 0垂直的直线系方程是：Bx-Ay+m=0.( m? R)3. 过定点(xi,yi)的直线系方程是：A(x-xi)+B(y-yi)=0 (A,B不全为0)4. 过直线li、I2交点的直线系方程：(Aix+Biy+Ci) +入(A2x+B2y+C2)=0 (入? R)注：该直线系不含I2.7.关于点对称和关于某直线对称：关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这

7、个点到两直线的距离相等关于某直线对称的两条直线性质： 假设两条直线平行，那么对称直线也平行，且两 直线到对称直线距离相等.假设两条直线不平行，那么对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角 的角平分线.点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，那么中点在对称直线上(方程)， 过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直(方程)可解得所求对称点.注：曲线、直线关于一直线(y x b)对称的解法：y换x，x换y.例：曲 线f(x ,y)=0关于直线y=x2对称曲线方程是f(y+2 ,x )=0.曲线C: f(x ,y)=0关于点(a ,b)的对称曲线方程是f(a -x, 2b -y)=0.、圆的

8、方程.1. (1)曲线与方程：在直角坐标系中，如果某曲线C上的 与一个二元方程f(x,y) 0的实数建立了如下关系： 曲线上的点的坐标都是这个方程的解 以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点那么这个方程叫做曲线方程；这条曲线叫做方程的曲线(图形)曲线和方程的关系，实质上是曲线上任一点M(x, y)其坐标与方程f(x,y) 0的一种关系，曲线上任一点(x, y)是方程f (x, y) 0的解；反过来，满足方程f (x, y) 0的解所对应的点是曲线上的点注:如果曲线C的方程是f(x ,y)=0，那么点Po(xo ,y)线C上的充要条件是f(xo ,yo)=O2. 圆的标准方程：以点C(a,b)为

9、圆心，r为半径的圆的标准方程是2 2 2(x a) (y b) r .特例：圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程是：x2 y2 r2.注：特殊圆的方程：与x轴相切的圆方程(x a)2 (y b)2 b2r b,圆心(a,b)或(a, b)r a,圆心(a,b)或(a, b)r a,圆心(a, a)与y轴相切的圆方程(x a)2 (y b)2 a2与x轴y轴都相切的圆方程(x a)2 (y a)2 a23.圆的一般方程：x2 y2 Dx Ey F 0当D2 E2 4F 0时，方程表示一个圆，其中圆心C牙诗，半径rE2 4F当D2 E2 4F 0时，方程表示一个点号，| .当D2 E2 4F 0时，

10、方程无图形(称虚圆).注：圆的参数方程：x acos (为参数)y b r si n方程Ax2 Bxy Cy2Dx Ey F 0表示圆的充要条件是:2 2D E 4AF 0.圆的直径或方程： A(xi,yi)B(X2 $2)(x xi)(x X2) (y yi)(y y2)0 (用向量4.点和圆的位置关系：给定点M(X0,y°)及圆C:(x a)2 (y b)2r2M在圆C内(X0a)2(y°b)2M在圆C上(X0a)2(yob)2r2M在圆C外(X0a)2(y°b)2r25.直线和圆的位置关系:设圆圆C : (x a)2 (yb)2r2(r 0)；直线 I :

11、Ax By C2 20(A B 0)；圆心C(a,b)到直线I的距离Aa Bb Cb2d r时，I与C相切;2附：假设两圆相切，那么 X2X2 y2 yD1 xD2xEiyE?yFiF20相减为公切线方程.0d r时，I与C相交；2 2附：公共弦方程：设yC2：x2 y2D 1xD 2xEiyE2y有两个交点，那么其公共弦方程为(Di D2)x(EiE2)y (Fi F2) 0.d r时，I与C相离.附：假设两圆相离，那么2 X2 X2 y2 yDix Eiy F i 0D 2x E2y F 2 0相减为圆心OiO2的连线的中与线方程.由代数特征判断：方程组(X a)2 (yAx Bx Cb)

12、2 r20用代入法，得关于X (或y)的一元二次方程，其判别式为，那么:I与C相切;I与C相交;I与C相离.注：假设两圆为同心圆那么x22fLDix EiyFi 0，x2 y2 D2X E?y F 2 0 相减，不表示直线.6.圆的切线方程：圆x2 y2 r2的斜率为k的切线方程是 y kx 1 k2 r过圆2 2x2 y2 Dx Ey F 0上一点P(xo,yo)的切线方程为：x0x yoy D宁E宁F 0.一般方程假设点(xo ,yo)在圆上，贝U (x -a)(xo a)+(y -b)(yo -b)=£ 特别地，过圆x2 y2 r2上一点P(Xo，yo)的切线方程为x°

13、;x y°y r2.yi yo 心 Xo)假设点(xo ,yo)不在圆上，圆心为(a,b)Ub yi k(a xi)，联立求出kVr2 i程.7.求切点弦方程：方法是构造图，那么切点弦方程即转化为公共弦方程.如图：ABCD四类共圆. O的方程x2 y2 Dx Ey F o 又以ABCD为圆为方 程为(x xa)(x a) (y yA)(x b) k2 2 2R2 (xA a) (yA b)，所以BC的方程即代，相切即为所求.三、曲线和方程1曲线与方程：在直角坐标系中，如果曲线 C和方程f(x,y)=0的实数解建立了如 下的关系：1) 曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解(纯

14、粹性)；2) 方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线 C上(完备性)。那么称方程f(x,y)=0 为曲线C的方程，曲线C叫做方程f(x,y)=0的曲线。2. 求曲线方程的方法：.1)直接法：建系设点，列式表标,简化检验；2)参数法；3)定义法，4)待定系数法-圆锥曲线方程考试内容：椭圆及其标准方程椭圆的简单几何性质椭圆的参数方程.双曲线及其标准方程双曲线的简单几何性质.抛物线及其标准方程抛物线的简单几何性质.考试要求：(1) 掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程.(2) 掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质.(3) 掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线

15、的简单几何性质.(4) 了解圆锥曲线的初步应用.§)8.圆锥曲线方程知识要点、椭圆方程.1.椭圆方程的第一定义：ff2方程为椭圆，FF2无轨迹,F1F2以F"F2为端点的线段PF1 PF2PF1| |PF2PF1PF22a2a2a椭圆的标准方程:i.中心在原点，焦点在x轴上:x22y 1(a b 0). ii.中心在原点, b2焦点在y轴上:y2x2歸10).一般方程:Ax2 By2 1(A0,B 0).椭圆的标准参数方程:2 x -2 a2芯1的参数方b2x a cos 程为y bsi n(一象限应是属于0-).顶点：(a,0)(0, b)或(0, a)( b,0)轴：对

16、称轴:x轴，y轴；长轴长2a ,短轴长 2b.焦点：(c,0)(c,0)或(0, c)(0,c).焦距：F1F22c, c a2 b2 .准线:x2或y旦.离心率：e -(0 e 1).焦点半径: ca22i. 设 P(x0,y°)为椭圆1(a ba2 b2由椭圆方程的第二定义可以推出.2 2ii. 设P(x°,y0)为椭圆 筈每1(a bb a由椭圆方程的第二定义可以推出.0)上的一点,0)上的一点,Fi,F2为左、右焦1点a那么0，PF2F1,F2 为上、下焦点 , ey0,pF2a ex0a ey0由椭圆第二定义可知：pF1e(x02)a0), pF2 e(cc2X。

17、)ex0 a(x0 0)归结起 c来为左加右减.注意：椭圆参数方程的推导：得 N(acos ,bsin )方程的轨迹为椭圆通径：垂直于x轴且过焦点的弦叫做通经.坐标:2b22"a2共离心率的椭圆系的方程：椭圆笃a1(ab 0的离心率是22e cc , a2 b2，方程笃 笃tt是大于0的参数，a aa2 b2我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.2 2假设P是椭圆：笃每1上的点.F1,F2为焦点，假设F1PF2a b0的离心率也是e -a，那么PF1F2的面积为b2tan?用余弦定理与PF 1 |PF 2 2a可得.二、双曲线方程.假设是双曲线，那么面积为b2叫.1.双曲线的第一定义:

18、PFi PF2PFi PF2PFi PF22a2a2aF1F2方程为双曲线F 1F 2无轨迹F 1F 2以F1,F2的一个端点的一条射线)双曲线标准方程：1(a, b20),爲 a2笃1(a,b 0). 一般方程:b22 2Ax Cy 1( AC 0).i.焦点在x轴上:顶点：(a,0), ( a,0) 焦点：(c,0), ( c,0)准线方程x渐近线方程:2 x2 aii.焦点在y轴上：顶点：0, a,0,a.焦点：0,c,0,c).准线方程：y2-.渐c近线方程：y b0或与务0，参数方程:2 b2x a secy b tanx b tany a sec轴x, y为对称轴，实轴长为2a,虚

19、轴长为2b,焦距2c.离心率准线距愛c两准线的距离；通径2b2a参数关系c2a2 b2,e -.焦点a半径公式：对于双曲线方程2 x2 a2 y b2Fi,F2分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点“长加短减原那么:MF 1 ex。MF 2 ex。a构成满足mf1 |MF2a2aM FiM F2exo a与椭圆焦半径不同，椭圆exo a焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号MF i ey° aMF 2 eyo aM F 1eyo aM Feyo a等轴双曲线：双曲线x2 y2 a2称为等轴双曲线，其渐近线方程为 y x，离心率e .2 .共轭双曲线:以双曲线的虚轴为实轴,2曲

20、线的共轭双曲线冷 a22近线：与与0.a b2yb7实轴为虚轴的双曲线，叫做双互为共轭双曲线，它们具有共同的渐共渐近线的双曲线系方程:曲线的渐近线为-y 0时,a b例如：假设双曲线一条渐近线为22222条;2 解：令双曲线的方程为：4直线与双曲线的位置关系： 区域：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计 区域：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条;区域：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；区域：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合 计2条；区域：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线 小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点， 可以作

21、出的直线数目可能有0、 2、3、4 条.2假设直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入“ 法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.2 2假设P在双曲线 爸 七1,那么常用结论1： P到焦点的距离为m = n,那么P到两a b准线的距离比为m : n.简证：_e_ = m.d2 |PF2|ne常用结论2:从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.三、抛物线方程3. 设p 0,抛物线的标准方程、类型及其几何性质:2y 2px2y2 2px2cx2 py2x2 2py图形|/x-U3dn焦占八、八、F#，0pF (上,0)2F0，*pF(0, p准线x舟x上2y专y上2范围x

22、 0, y Rx 0, yRxR, y 0x R, y 0对称轴x轴y轴顶点(0, 0)离心率e 1焦占八、八、|pf| 2 xiIPF子lx1|pf| 号 yi|PF £ |yil注：ay2 by c x顶点窖瓠y2 2pxp 0那么焦点半径|PF x -P ； x2 2pyp 0那么焦点半径为| PF y通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的y 2px (或 x2 2py )的参数方程为 2pt (或x 2pt2 )( t为参数).y 2 pty 2 pt四、圆锥曲线的统一定义.4. 圆锥曲线的统一定义：平面内到定点 F和定直线I的距离之比为常数e的点的 轨迹当0 e 1时，轨迹为椭圆；当e 1时，轨迹为抛物线；当e 1时，轨迹为双曲线；当e 0时，轨迹为圆(e C，当c 0, a b时).a5. 圆锥曲线方程具有对称性例如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线 的交点是关于原点对称的因为具有对称性，所以欲证 A