高中数学选修5-4不等式选讲

1、选修4-5 :不等式选讲精选试题(本小题总分值7分)一、绝对值不等式：解绝对值不等式、绝对值函数的图像、求绝对值函数的最值、恒成立问题1.设不等式2X-1V1的解集为M .(I)求集合 M ; (II )假设a, b M，试比拟ab+1与a+b的大小.解：(I)由 |2x 1| 1 得 1 2x 1 1,解得 0 x 1.所以 M x|0 x 1.(II )由(I)和 a,b M 可知 0<a<1,0<b<1，所以(ab 1) (a b) (a 1)(b 1) 0.故 ab 1 a b.2 设函数f(x)x a3x,其中a0.(I)当a 1时，求不等式f(x)3x2的解

2、集；(n)假设不等式f (x)0的解集为x | x1，求 a的值解：(I)当 a 1 时，f(x) 3x 2 可化为 |x 1| 2.由此可得 x3或x1故不等式f (x) 3x 2的解集为x | x3或x1.(n ) 由 f(x)0得xa3x 0xax a此不等式化为不等式组xxaa 3x 0或；:3x 0 即 xa4或a-2x |x因为a 0，所以不等式组的解集为由题设可得 a=1,故a 2.2f (x) w ax的解集非空，求a的取值范围.3设函数 f(x) 2x 4l 1 .2x 5, x 2f(x)，2解:(I)由于2x 3 x 2贝9函数y f (x)的图像如下图.(I)画出函数y

3、f (x)的图像；(n)假设不等式(n)由函数1 f(x)与函数y ax的图像可知，a _当且仅当2或a 2时，函数y f(x)与函数y ax的图像有交点.故不等式 f(x) ax的解集非空时，a的取值范围为2U2，4.解不等式|x1|2x4| 6 .x 21 x 2亠 x 1解:或或x 1 2x46x 1 2x 4 6x 1x 3或 x或x-1x,1U 3,.5.解不等式12x-11 < 1 x1 +1.1,解得x2x1x解：当x<0时，原不等式可化为2x 40 ;又 Q x0, x不存在;1当0 x -时，原不等式可化为211又 Q 0 x , 0 x ;当 x222xx 1,

4、解得x 0综上，原不等式的解集为|x |012,x 2.6 .如图，O为数轴的原点，A,B,M为数轴上三点，C为线段OM C到A距离4倍与C道B距离的6倍的和.(1 )将y表示成x的函数；(2)要使y的值不超过70, x上的动点，设x表示C与原点的距离,y表示应该在什么范围内取值?解：(I) y 4| x 10|6|x20|,0 x 30.(n)依题意，x满足4|x0 x10| 6|x 20| 70,30.解不等式组，其解集为【9, 23】；所以 x 9,23.7 .求 |2x- 3|+|3x+2|的最小值.42解：|2 x-3|+|3 x+2|=|2 x-3|+|2 x+ |+| x+ |

5、> 12x-3 )-33|+|x+- | 绍+0=4丄。3332当x=- 时取等号，38.函数 f(x)=|x-2| |x-5|.3 wf(x) <3 (II)1 |2 x-3|+|3 x+2| 的最小值为 4-.3(I)证明:求不等式f (x)孩28x+15的解集.解：(I)f(x)|x 2| |x 5|3,2x3,7,2,x 5,5.2x 73.所以f(x) 3.(II)由( I)可知,8x15的解集为空集;x 5时,f(x)x28x 15的解集为x|5.3x 55时,f (x) x28x15的解集为x|5 x6.综上,不等式f(x) x2 8x 15的解集为x|5、3x 6.

6、(I)假设 a9 设函数 f(x) |x 1| |x a|.(n)因为关于x的不等式f (x)2有解，所以,f (x)min 2.解:(I)当 a1 时，f(x)x1x1.由 f(x)3，得，x 1 x 13.:当x1时，不等式化为1x1x33,即 x 32.所以，原不等式的解为x:当1x 1时，不等式化为1x1x 3,即 23.所以，原不等式无解:当X1时，不等式化为1x1x33,即 x -.2所以，原不等式的解为3x2综上，原不等式的解为1，解不等式f (x)3 ； (n )如果关于x的不等式f (x)2有解，求a的取值范围.3 - 2因为x 1 x a表示数轴上的点到 x 1与x a两点

7、的距离之和,所以，f(x)min a 1.a 1 2, 解得，1 a 3.所以，a的取值范围为1,3.10.函数f(x) | x a |.(I)假设不等式f(x) 3的解集为x| 1x 5，求实数a的值;(n)在(I )的条件下，假设f (x) f (x 5) m对一切实数x恒成立，求实数 m的取值范围解法一：(I)由f (x)3得x a3，解得 a 3 x a 3.又不等式f (x)3的解集为x| 1 x 5，所以a 31,解得a 2.a 3 5,(n)当 a 2时，f(x) x 2 .设 g(x) f(x) f(x 5),2 j 1. K V 于是= |x-2| + |jr + 3| =

8、5,-3<x<2;沖弋、2工+1,石a 2所当 a 时，> 5 !当-弓三;时，当击 > 2 时，> 5.竦上可件呂的醍小值为5.从而！假设/(z)+/(x+5)即 烈兀)乏略对一切实数忑恒咸立那么网的取信范围为解法二：(I)同解法一.(n)当 a 2时，f(x) x 2 .设 g(x) f(x) f(x 5).由x 2 x 3 (x 2) (x 3) 5 (当且仅当3 x 2时等号成立)得， g(x)的最小值为5.从而，假设f(x) f (x 5) m即g(x) m对一切实数x恒成立，那么 m的取值范围为,5 .二、利用柯西不等式、均值不等式求最值、证明不等式、

9、求参数的取值范围1、不等式证明11设a,b是非负实数，求证：a3 b3. ab(a2 b2 ).证明：由a、b是非负实数，作差得a3 b3. ab(a2 b2) a2 .a( .a b) b2 .b(、6 、a) (、a 、b)(、a)5 ( .b)5当 ab时，从而 O5(、b)5，得 G.a,b)C，a)5(、b)50 ；当 ab时，.a ,b，从而(石)5(、b)5，得(石,b)C.a)5(b)50 ；所以a3 b3.ab(a2b2)。2、均值不等式12. x, y, z均为正数.求证：x_y11 1yzzxxyxy z证明：因为x, y,z无为正数.所以xy> 2 ,yzzxz

10、yxz同理可得上z?2 zx2zx xyx xyyzy当且仅当x= y= z时，以上三式等号都成立将上述三个不等式两边分别相加，并除以2,得A上三 1 1 1 . 6分yz zx xy x y z11113a,b,c均为正数，证明：a2 b2 c2 ()2 6 3，并确定a,b,c为何值时，等号成立a b cf证法一o爾为仏乩隘均为正敵，由平均笛平孙式轉3III-1+ + 吝 3(ofrcJ * . a b cfff 以?丄 +丄 4"丄尸 M 9fd3c|，«(3分a &故 J*C丄*丄十丄尸亠驰!辰& *置厶匸齐a b c又 3<afrc$ +9&

11、lt;a4v) * 3= 27 -硝.MWM不等式成立.8分2 _2当且仅当萍=扮=时.式和式尊号fife立.当且仅当3(如戸三班说?<三时*式等号戲立.即当且仪当衣=0 =匚=3了时*障式等号威立.10分£证法二因为«.c均为止«fc*由基辛不等式得扌+ P > 3*夕+ ¥亠E氐F所 lit + fr( 4- c1 二 a + flc+arO同理+十*+寺?吉十£+右五分.o* + 4 + c1 + (丄 + 2 + 2尸a & cMd+ic+ar-Fd 占十 3 右+ 3 右5/3.所UI厚不鄒式成就宕分当且仪当?&a

12、mp;(；时0>式相式第号成賣*当且但当a-(it)1 = C)1 =第时式尊号成立-即当且仅当卫二占=疔=卅时，服式等号威L立.10分3、柯西不等式2 214x 2y 1，求x y的最小值.解：t 1 x 2y 、. 1222 x2 y2 ,y25 '当且仅当:1 2'即 y 2x '二 x 4x 5x 1 , x y x 5, y 5 时x21y2的最小值为515.右0 x1,f(x)1 -4求f (x)的最小值，并求此时 x的值x1x解、用柯西不等式，因 0x1,故114x 0, '0, 40,所以x1 x1各(x1x)(4)jx E291x1 xx

13、xVx1因此当且仅当x 时，f (x)3min9.16 .x, y, zR，且xyz3,求x2 y2 z2的最小值.解法一：注意到x, y,z R,且xyz 3为定值，利用柯西不等式得到(x2 y2 z2)(12 12 12)(x 1 y 1 z 1)29,从而x2y2 z23，当且仅当x y z 1时取 二号，所以x2解法二：可考虑利用根本不等式a2 b2 2ab 进行求解,由x2y2 z2 = (x y z)2 (2xy 2xz 2yz)9 (x2y2 x2z2z2)从而求得x2y2 z23，当且仅当x y z 1时取z号,所以x2y2 z2的最小值为3.17. a2+b2+c2=1(a,

14、 b, c R)，求 a+b+c的最大值. (法一)解：T a， b， c R， a2 b2 c21,(a b c)22 2 2 2 2 2(a b c )(111 )3.(法二)解:c时，a bc取得最大值3 .32 ab22ab,b2c2 2bc, a22c 2ac2 ab2c22ab2bc 2ac(a 1 b 1 c 1)2当且仅当a b(a b c)2c寸时等号成立,2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c (a b ) (b c ) (a c ) 2 2 2-a b c 1,二(a b c)23，当且仅当a b'a b c的最大值为 3 .18.实数a，b，c，d满足a

15、 bed2 2 2 23, a 2b 3c 6d5，求a的最大值和最小值.解：由柯西不等式得1(2b 3c 6d )(2(a b c)即 2b2 3c2 6d2 (a b c)2由条件可得，5 a22(3 a)，解得1 a 2当且仅当丄 3c_6dJ/31/6时等号成立，代入2,c 1,d236 时 amax1,c13 时，amin19.函数f(x)x 4的最小值为实数2 2a,b,c,n,p,q 满足 a b(I)求m的值;(n)求证:4 q_ c2x解：(I)法一:f(x)2x(x(26 (x4)x 4)，可得函数的最小值为2)2.故m2.法二：f (x)(x2)(x4)2，当且仅当4时，等号成立，故m2.2(n) (-)2a2p)2(b20)2 (a2cb2c2)c)24 即：(J a4Pb2(n22、2 q4“ n4,故2a4Pb24 q2 c2.20.a, b,c为实数，且a2m0, am 10.(I)求证：a2!b24(a14 匚(II)求实数m的取值范围.解：由柯西不等式得a1(2b)12 2(严12232(a b c)2即(a21b241 2、9c)14(a bc)2,a2-b4(a b c)214当且仅当|a|14|b|1|c|取得等号.9由得a2m 2 a21b2，41c914(1 m)(2m 2)2 即 2m23m52b、c的线段,1.2 1