高中数学椭圆经典例题详解2

1、椭圆标准方程典型例题例1椭圆mx2 3y2 6m 0的一个焦点为0, 2求m的值.分析：把椭圆的方程化为标准方程，由 c2，根据关系a2 b22c2可求出m的值.2 2解：方程变形为- L 1 .因为焦点在6 2my轴上，所以2m 6,解得m 3.又c 2，所以2m 622, m 5适合.例2椭圆的中心在原点，且经过点P 3,0,a 3b，求椭圆的标准方程.分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况.根据题设条件，运用待定系数法,求出参数a和b或 a2和b2的值，即可求得椭圆的标准方程.解：当焦点在x轴上时,设其方程为由椭圆过点P 3,0，知3b，代入得b21 , a29，故椭圆的方程为

2、y2 1.当焦点在y轴上时，设其方程为2y2ax2b290由椭圆过点P 3,0 ,知一02a b3b,联立解得281 , b29 ,故椭圆的方程为 812X-1 .930,求此三角形重心 G的轨迹和顶点 A的轨迹.例3 ABC的底边BC 16 , AC和AB两边上中线长之和为分析：1由可得 GC GB 20，再利用椭圆定义求解.设G点坐标为x, y，由GC GB 20,2由G的轨迹方程G、A坐标的关系，利用代入法求 A的轨迹方程.x由题意有yx3，3代入，得A的轨迹方程为y2x9002y3241 y 0，其轨迹是椭圆除去x轴上两点知G点的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，且除去轴上两点.因a 10

3、, c 8，有 b 6 ,2故其方程为X2y_1 y 0 .10036(2)设 A x, y,G2x, y，那么 x£1 y 0 .10036解：1 以BC所在的直线为x轴，BC中点为原点建立直角坐标系.例4P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为 5和，过P点作焦点所在轴33的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程.解：设两焦点为F1、F2，且PF1从 PFiPF?知PF?可求出PFiF24.53,PF22 5-.从椭圆定义知2a |PF. |PF2 2 5 .即a . 5 .垂直焦点所在的对称轴，所以在RtPF2F1 中,sinPF1F2PF2 lPF.2，2c

4、 PF. cos6晋，从而b21032所求椭圆方程为53y2101或眩102x例5椭圆方程a长轴端点为Ai， A，焦点为Fi，F2，椭圆上一点,APA2F1PF2.求：FiPF2的面积用a、b、表示.分析：求面积要结合余弦定理及定义求角的两邻边，从而利用 Slabsi nC求面积.2解：如图，设x, y，由椭圆的对称性,不妨设 P在第一象限.由余弦定理知:F1F2PFi2 PF22 PF. PF2 cos4c2.由椭圆定义知:故 S f.,PF2PFiPF22a ，那么2得PF2 sin1 2b2sin2 1 cosPFib2 tan .2PF22b21 cos例6动圆P过定点A 3,0，且在

5、定圆B:x 3 2 y2 64的内部与其相内切, 分析：关键是根据题意，列出点 P满足的关系式.解：如下图，设动圆 P和定圆B内切于点M .动点P到两定点，即定点A 3,0和定圆圆心B 3,0距离之和恰好等于定圆半径，即PA PB PM PB BM|8.二点P的轨迹是以 A, B为两焦点,i 2 2半长轴为4,半短轴长为b . 42 32 .7的椭圆的方程：- 1 .167说明：此题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程.这是求轨迹方程的一种重要思想方法.X22例7椭圆-y 1，(1 )求过点P -，-且被P平分的弦所在直线的方程；2 2(2) 求斜率为2的平

6、行弦的中点轨迹方程；(3) 过A 2,1引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；1(4) 椭圆上有两点 P、Q，O为原点，且有直线 OP、OQ斜率满足kOP kOQ1-，故所求直线方程为：2x 4y 3 02求线段PQ中点M的轨迹方程.分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法.解:设弦两端点分别为M xby1 , n X2,y，线段MN的中点R x, y ,那么2为2y22得X1X2 X1X22 y1y2 y1y20 .2冷2y；2y2 y1y2 0,x冷2x,由题意知x1X2，那么上式两端冋除以X1X2 ,有X1X2 2 y1X1X2%y22y,将代入得X 2yy1 y2

7、0 .X1x2(1 )将x - , y丄代入，得22x1 x20,136 4 6 -40符合题意，2x 4y 30为所求x 4y0 .(椭圆内局部)x2 2y2 2x2y 0 .(椭圆内局部)，将平方并整理得2 2 2y1 y2 4y 2y°2,将代入椭圆方程 X2 2y22得6y2 6y -(2 )将 里上 2代入得所求轨迹方程为：X-I x2(3 )将 丄2 山代入得所求轨迹方程为：% X2 x 22 2(4)由+得：凶亞 y； y2 2,22 2 2x( x2 4x 2x1x2,，将代入得:4x22捲 x244y2 2y22，2x2 x-|X2 4y222即 x21 .121再

8、将yyx/2代入式得:2此即为所求轨迹方程当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决.2 2椭圆4x y 1及直线y x m .(1)当m为何值时，直线与椭圆有公共点?(2)假设直线被椭圆截得的弦长为乙丄0，求直线的方程.5解：1把直线方程y x m代入椭圆方程4x2y21得4xx m 1 ,即 5x2 2mx m2 102m 24 5m2116m220°，解得于2 设直线与椭圆的两个交点的横坐标为x1 ,x，由12mm2X2x-|x2根据弦长公式得 ：.1 122 22mm 1一 4 552 105.解得m0 .方程为y x .采用的方法与处理直线和圆的有所区别.说明：处理

9、有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题,这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式解决弦长问题，一般应用弦长公式.用弦长公式，假设能合理运用韦达定理即根与系数的关系，可大大简化运算过程.2 2例9以椭圆x -1的焦点为焦点，过直线123l: x y 90上一点M作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短,点M应在何处？并求出此时的椭圆方程.分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，此题实际上就是要在直线上找一点, 使该点到直线同侧的两点即两焦点的距离之和最小，只须利用对称就可解决.2 2解:如下图，椭圆 1的焦点为F1 3,0 , F2 3,0 .123点F1关于直线I: xy 9 0的对称点F的坐

10、标为一9, 6,直线FF?的方程为x 2y 3 0.解方程组x 2y 3 0得交点M的坐标为5, 4.此时MR MF2最小.x y 9 0所求椭圆的长轴：2a MF MF2 FF2 6J5 ,. a 3區，又c 3,2 2x y4536例 11 x2 siny2 cos1 (0表示焦点在y轴上的椭圆，求的取值范围.分析：依据条件确定的三角函数的大小关系再根据三角函数的单调性，求出的取值范围.解：方程可化为sin2y1cos1 因为焦点在y轴上，所以1cos1sin-2 23 532 36 因此，所求椭圆的方程为2 2例10 方程 y 1表示椭圆，求k的取值范围k 53 kk 50,解:由3 k

11、 0, 得3 k 5，且k4.k 53 k,满足条件的k的取值范围是3k 5，且 k 4.说明k:此题易出现如下错解：由50,得3 k 5，故k的取值范围是3 k5.3k0,出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中a b 0这个条件，当ab时，并不表示椭圆3因此sin 0且tan 1从而 一，.2 4说明：1由椭圆的标准方程知10,1sincos21.21由焦点在y轴上，知acos,bsin0,这是容易无视的地方.求 的取值范围时，应注意题目中的条件例12求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过AC. 3 , 2和B 2.3,1两点的椭圆方程.分析：由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情

12、形，为了计算简便起见，2 2可设其方程为mx ny 1m 0, n 0,且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求出方程.解：设所求椭圆方程为 mx2 ny20.由A.3,2和B 2、3,1两点在椭圆上可得m ( 3)2 n ( 2)21,即m ( 2 .3)2 n 121,1,所以m1,n -.故所求的椭圆方程为1552 2x y155例13 知圆x2y21,从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段，求线段中点M的轨迹.相关点求轨迹方程或轨迹.分析：此题是一些轨迹，求动点轨迹问题这种题目一般利用中间变量解:设点M的坐标为x , y，点P的坐标为x0 , y0，那么x 乂 , y y0.2因为 Pxo

13、 , yo在圆 x2 y2 1 上，所以 x02 y02 1 将x02x ,y0y代入方程x0y01得4x?y21 .所以点M的轨迹是一个椭圆4x?y21 .说明：此题是利用相关点法求轨迹方程的方法，这种方法具体做法如下：首先设动点的坐标为X , y,设轨迹上的点的坐标为 X。，y0，然后根据题目要求，使 x , y与x0 , y0建立等式关系,从而由这些等式关系求出 x0和y0代入的轨迹方程，就可以求出关于x , y的方程，化简后即我们所求的方程.这种方法是求轨迹方程的最根本的方法，必须掌握.例14长轴为12,短轴长为6,焦点在x轴上的椭圆，过它对的左焦点 F1作倾斜解为的直线交椭圆于 A

14、,3B两点，求弦AB的长.分析：可以利用弦长公式 AB V1 k2|x1 x2 J1 k2x1 x22 4x1x2求得，也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求. 解：法1利用直线与椭圆相交的弦长公式求解.ABV1k2 |x1x2<(1 k2)(x1x2)24x1x2.因为 a 6, b 3，所以 c33.因为焦点在 x轴上,1，左焦点F 3. 3,0，从而直线方程为 yx2所以椭圆方程为-36由直线方程与椭圆方程联立得：13x2 12 3x 36 8 0 .设x1 , x2为方程两根，所以X1 X212、. 313，x1x2从而 AB v'1 k |x1 x2.(1

15、 kgX2)24x1x24813法2利用椭圆的定义及余弦定理求解由题意可知椭圆方程为2236 七 1，设 AF1 m，BF1n ,那么 AF212 m ,BF212 n .在 af1f2 中，af2所以m64.3 .AFF1F22 2AF1IRF2cos3，即(12 m)2同理在 BF1F2中，用余弦定理得n 尸，所以AB48 n法3利用焦半径求解.先根据直线与椭圆联立的方程13x2 72 3x 36 8 0求出方程的两根 为,x2，它们分别是A , B的横坐标.再根据焦半径|AFj a exi, BR a e冷，从而求出|AB AFj BRx2 y例15椭圆 二 1上的点M到焦点R的距离为2

16、, N为MF!的中点，贝y 0N| O为坐标原点的值为2593A . 4B. 2C. 8D.-2解：如下图，设椭圆的另一个焦点为F2 ,由椭圆第一定义得MFj |MF2| 2a 10，所以 |MF2| 10 |MF10 2 8,1又因为ON为 MF1F2的中位线，所以|ON|MF2 4，故答案为A.说明：1椭圆定义：平面内与两定点的距离之和等于常数大于F1F2 的点的轨迹叫做椭圆.椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义，即MF1 MF2 2a，利用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点的有关距离.2 2例16椭圆C: L431，试确定m的取值范围，使得对于直线l: y 4x m，椭圆C上有不同的两点关于该

17、直线对称.分析：假设设椭圆上A , B两点关于直线I对称，那么条件等价于：1直线AB l ； 2弦AB的中点M在I 上. 利用上述条件建立 m的不等式即可求得 m的取值范围.解：法1设椭圆上Ax1,yj,Bx2,y2两点关于直线l对称，直线AB与l交于M x。,y。点.1T的斜率ki4 ,.设直线 AB的方程为y x42201113x 8nx 16n480。二论 x213即点M的坐标为如，回.点M在直线y 4x1313将式代入式得13 x2 26 mx 169 m2 48 0n .由方程组y4x n,消去y得22xy1,43%x4n112n于是X0,y0 一 x°n52134134n

18、13m上，.- n4m .解得nm .134A, B是椭圆上的两点,(26m)2 4 13(169m2 48) 0 .解得2 132 13m法2同解法1得出n13413m，二 x0 ( m) m ,413 41131y04X0 7m4 (m) 13m3m，即 M 点坐标为(m, 3m).4 A, B为椭圆上的两点， M点在椭圆的内部，皿4(3m)1 .解得2. 13132 13m13法3设Axi , yi , BX2，财是椭圆上关于l对称的两点，直线AB与I的交点的坐标为(xo , yo) A，B在椭圆上,3-，2X2两式相减得3(XiX2)(XiX2)4(%y2)(yiy2) 0，即 3 2

19、Xo(XiX2)2yo(yiy2) o.yiy2X-IX2严(Xi4y。X2) 又直线AB I ,kABki3x04y01，即 y0 3x0。又M点在直线I上，二y04X0 m。由,得M点的坐标为m,3m 以下同解法2.说明：涉及椭圆上两点A ,1利用直线AB与椭圆恒有两个交点， 通过直线方程与椭圆方程组成的方程组, 别式0，建立参数方程.B关于直线I恒对称，求有关参数的取值范围问题,可以采用列参数满足的不等式：消元后得到的一元二次方程的判2X0y0利用参数表示，建立参数不等式.利用弦AB的中点M x。，y。在椭圆内部，满足a1例17在面积为1的PMN中，tanM , tanN2，建立适当的坐标系，求出以M、N为焦点且过P2点的椭圆方程.解:那么以MN的中点为原点， MN所在直线为X轴建立直角坐标系，设P(x,y).所求椭圆方程为鉉15yX cyX c cy 1.2,53c5.即 P(2 3,2512a2a2 b243b23J41,得b21543.2y- 13l的方程.X2例18P4,2是直线l被椭圆一362仝 1所截得的线段的中点，求直线9y 或 X，得到关于x或 y分析：此题考查直线与椭圆的位置关系问题.通常将直线方程与椭圆方程联立消去的一元二次方程，再由根与系数的关系，直接求出X1 X2, X1X2 (或y1 y , Y1Y2)的值代入计算即得.