高中数学排列组合题型总结与易错点提示

1、排列组合复习稳固1. 分类计数原理加法原理完成一件事，有 n类方法，在第1类方法中有 mi种不同的方法，在第 2类方法中有 m2种不同的方法，在第 n类方法中 有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：Nmi mt Lm*种不同的方法.2. 分步计数原理乘法原理完成一件事，需要分成 n个步骤，做第1步有种不同的方法，做第 2步有m2种不同的方法，做第 n步有mn种不同 的方法，那么完成这件事共有：Nmi m2 Lmn种不同的方法.3. 分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事

2、件.一. 特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置 一先排末位共有c3然后排首位共有C：t JJ1最后排其它位置共有A'1C4 3A411C3由分步计数原理得 c4c3a4288练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里，假设两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法?二. 相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元

3、素进行排列，同时对相邻元522素内部进行自排。由分步计数原理可得共有As A2A2480种不同的排法要求某几个元素必须排在一起的问题，可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素，再与其它元素 一起作排列，同时要注意合并元素内部也必须排列.练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为20三. 不相邻问题插空策略例3. 一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱，舞蹈节目不能连续岀场，那么节目的岀场顺序有多少种？解:分两步进行第一步排 2个相声和3个独唱共有 A5种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种A6不同的方法，由分

4、步计数原理，节目的不同顺序共有 A：A：种元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端练习题：某班新年联欢会原定的 5个节目已排成节目单， 开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为30四. 定序问题倍缩空位插入策略例4. 7 人排队，其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:倍缩法对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一起进行排列，然后用总排列数除以这几个元素73之间的全排列数，那么共有不同排法种数是：a；/a；空位法设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有A；种方法，其余的三个位

5、置甲乙丙共有 丄种坐法，那么共有 A；种方法。思考：可以先让甲乙丙就坐吗？插入法先排甲乙丙三个人，共有1种排法，再把其余4四人依次插入共有 方法定序问题可以用倍缩法，还可转化为占位插空模型处理练习题:10人身高各不相等，排成前后排，每排5人，要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？C10五. 重排问题求幂策略例5.把6名实习生分配到7个车间实习，共有多少种不同的分法解：完成此事共分六步：把第一名实习生分配到车间有7_种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推，由分步计数原6理共有7种不同的排法允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一

6、般地n不同的元素没有限制地安排在 m个位置上的排列数为 mn种练习题：1. 某班新年联欢会原定的 5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插 法的种数为_42_2. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人，他们到各自的一层下电梯，下电梯的方法78六. 环排问题线排策略例6. 8人围桌而坐，共有多少种坐法？解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人A：并从此位置把圆形展成直线其余7人共有(8-1 ) !种排法即7 !CEA-.ABCDEFGHA1一般地,n个不同元素作圆形排列，共有(n-1)!种排法.如果从n个不同元素中取出

7、m个元素作圆形排列共有A：n练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈120七. 多排问题直排策略例7.8人排成前后两排，每排4人，其中甲乙在前排，丙在后排，共有多少排法解：8人排前后两排，相当于8人坐8把椅子，可以把椅子排成一排.个特殊元素有 A2种，再排后4个位置上的特殊元素丙有a4种,其余的5人在5个位置上任意排列有 A：种,那么共有a4a；a：种排 “"后排"一般地,元素分成多排的排列问题，可归结为一排考虑，再分段研究练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的 3个座位不能坐，并且这 2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 34

8、6八. 排列组合混合问题先选后排策略例8.有5个不同的小球，装入4个不同的盒内，每盒至少装一个球，共有多少不同的装法.解：第一步从5个球中选出2个组成复合元共有C；种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有 A：种 方法，根据分步计数原理装球的方法共有C；A：解决排列组合混合问题，先选后排是最根本的指导思想.此法与相邻元素捆绑策略相似吗？练习题：一个班有 6名战士，其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务，每人完成一种任务，且正副班长有且只有1人参加，那么不同的选法有192种九. 小集团问题先整体后局部策略例9.用1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数其中恰有两

9、个偶数夹1, 5在两个奇数之间，这样的五位数有多少个？、 2 2 2解：把1 , 5, 2 , 4当作一个小集团与3排队共有A；种排法，再排小集团内部共有A；A；种排法，由分步计数原理共有a2a；a2 种排法.练习题：1 .方案展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,4幅油画,5幅国画,排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起，并且水254彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为a2a5a42. 5男生和5女生站成一排照像，男生相邻，女生也相邻的排法有 A；A；a5种十.元素相同问题隔板策略例10.有10个运发动名额，分给 7个班，每班至少一个，有多少种分配方案？解：因为10个名额没有差异，把它们排

10、成一排。相邻名额之间形成9个空隙。在9个空档中选6个位置插个隔板，可把名额 分成7份，对应地分给7个班级，每一种插板方法对应一种分法共有C6种分法。将n个相同的元素分成 m份(n，m为正整数)，每份至少一个元素，可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个 空隙中，所有分法数为cm,练习题：1. 10个相同的球装5个盒中，每盒至少一有多少装法？C；2 . x y z w 100求这个方程组的自然数解的组数G03十一.正难那么反总体淘汰策略例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数，不同的取法有多少种?解：这问题中如果直接求不小于 10

11、的偶数很困难，可用总体淘汰法。这十个数字中有5个偶数5个奇数，所取的三个数含有3个偶数的取法有c|,只含有1个偶数的取法有c5c|,和为偶数的取法共有 c；c； C；。再淘汰和小于10的偶数共9123种，符合条件的取法共有 C5C5 C59有些排列组合问题，正面直接考虑比拟复杂，而它的反面往往比拟简捷，可以先求岀它的反面，再从整体中淘汰.练习题：我们班里有 43位同学，从中任抽5人，正、副班长、团支部书记至少有一人在内的 抽法有多少种？十二.平均分组问题除法策略 例12. 6本不同的书平均分成 3堆，每堆2本共有多少分法？2 2 2解：分三步取书得C6C4C2种方法，但这里出现重复计数的现象，

12、不妨记6本书为ABCDEF假设第一步取 AB,第二步取CD,第三2 2 2步取 EF 该分法记为(AB,CD,EF),那么 C6C4C2 中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD) 共有32223A3种取法，而这些分法仅是(AB,CD,EF) 一种分法，故共有C6C4C2 / A3种分法。平均分成的组，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后要一定要除以 An (n为均分的组数)防止重复计数。练习题：1将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队，有多少分法？ ( c153c84c44/a2)2.10名学生分成3组,

13、其中一组4人，另两组3人但正副班长不能分在同一组，有多少种不同的分组方法 (1540)3. 某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，那么不同的安排方案种数2 2 2 2为( C4C2A6/A2 90)十三.合理分类与分步策略例13.在一次演唱会上共10名演员，其中8人能能唱歌,5人会跳舞，现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目，有多少选派方法解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。选上唱歌人员为标准进行研究只会唱的5人中没有人选上唱2 2 112歌人员共有C3C3种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员C5C3C4种，只会唱的5人中只

14、有2人选上唱歌人员有cfc； 种，由分类计数原理共有c；c3c： cfcf种。解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次 清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。练习题:1. 从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，假设这4人中必须既有男生又有女生，那么不同的选法共有 342. 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人，2号船最多乘2人,3号船只能乘1人，他们任选2只船或3只船，但小孩不能单独乘 一只船，这3人共有多少乘船方法.27此题还有如下分类标准：*以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准 *以3个全能演员是否选

15、上跳舞人员为标准*以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准都可经得到正确结果十四.构造模型策略例14.马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯，现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏，求满足条件的关灯方法有多少种？解：把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有 C；种一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决练习题：某排共有10个座位，假设4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？120十五.实际操作穷举策略例15.设有编号1,2,3,4,5 的五个

16、球和编号1,2,3,4,5 的五个盒子，现将5个球投入这五个盒子内，要求每个盒子放一个球，并且 恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，有多少投法2解：从5个球中取出2个与盒子对号有 C5种还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际操作法，如果剩下3,4,5号球,3,4,5号盒3号球装4号盒时，那么4,5号球有只有1种装法，同理3号球装5号盒时,4,5号球有也只有1种装法，由分步计数原 理有2C；种3号盒 4 号盒 5 号盒对于条件比拟复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画岀树状图会收到意想不到的结果 练习题：1. 同一寝室4人每人写一张贺年卡集中起来，然后每人各拿一张别人的贺年卡，

17、那么四张贺年卡不同的分配方式有多少种？92. 给图中区域涂色，要求相邻区 域不同色，现有4种可选颜色，那么不同的着色方法有 72种十六.分解与合成策略 例16. 30030能被多少个不同的偶数整除分析：先把30030分解成质因数的乘积形式 30030=2X 3 X 5 X 7 X 11X 13,依题意可知偶因数必先取 2,再从其余5个因 数中任取假设干个组成乘积，所有的偶因数为：c5c； c； c； cf练习：正方体的8个顶点可连成多少对异面直线4解：我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四体共有体共 C812 58 ,每个四面体有3对异面直线，正方体中的8个顶点可连成3 58 174对异面直线分

18、解与合成策略是排列组合问题的一种最根本的解题策略，把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决，然后依据问题分解后的结构，用分类计数原理和分步计数原理将问题合成，从而得到问题的答案，每个比拟复杂的问题都要用到这种解题策略十七.化归策略例17. 25人排成5 X 5方阵,现从中选3人，要求3人不在同一行也不在同一列，不同的选法有多少种？解:将这个问题退化成9人排成3 X 3方阵,现从中选3人，要求3人不在同一行也不在同一列，有多少选法.这样每行必有1人从其中的一行中选取1人后,把这人所在的行列都划掉，如此继续下去 .从3X 3方队中选3人的方法有 cQc； 种。再从5X 5方阵选出3X 3方阵便可解决

19、问题.从5 X 5方队中选取3行3列有 c；c； 选法所以从5 X 5方阵选不在同一行也不在同一列的3人有处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简要的问题，通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法，从而进下一步解决原来的问题练习题：某城市的街区由12个全等的矩形区组成其中实线表示马路，从A走到B的最短路径有多少种？ ( C； 35)A一 十八.数字排序问题查字典策略例18 .由0, 1, 2, 3, 4, 5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数？解:N 2A55 2A： A3 A A1297数字排序问题可用查字典法，查字典的法应从高位向低位查，依次求岀其符合要求的个数

20、，根据分类计数原理求岀其总数。练习:用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数，将这些数字从小到大排列起来，第71个数是3140十九.树图策略例19. 3人相互传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传求后，球仍回到甲的手中，那么不同的传球方式有 N 10对于条件比拟复杂的排列组合问题，不易用练习：分别编有1, 2, 3, 4, 5号码的人与椅，其中i号人不坐i号椅(i 1,2,3,4,5 )的不同坐法有多少种？N 44二十.复杂分类问题表格策略例20.有红、黄、兰色的球各 5只,分别标有A、B、C、D E五个字母，现从中取5只,要求各字母均有且三色齐备，那么共有多少种 不

21、同的取法解：红111223黄123121321211:取法c!c1c5c：c：c；clc!cfc"cfc2一些复杂的分类选 满足的条件，能到达取题，要满足 刖好的效果.的条件比拟多，尢从人手，经常出现重复遗漏甬的情况 ，用表格法，那么分类明确，能保证题中须二十一：住店法策略解决“允许重复排列问题要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客，能重复 的元素看作“店，再利用乘法原理直接求解.例21.七名学生争夺五项冠军，每项冠军只能由一人获得，获得冠军的可能的种数有分析：因同一学生可以同时夺得 n项冠军，故学生可重复排列，将七名学生看作7家“店，五项冠军

22、看作5名“客，每个“客 有7种住宿法，由乘法原理得 75种.排列组合易错题正误解析1没有理解两个根本原理岀错排列组合问题基于两个根本计数原理，即加法原理和乘法原理，故理解“分类用加、分步用乘是解决排列组合问题的前提.例1从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取 5台,其中至少有原装与组装计算机各两台 ，那么不同的取法有 _种.误解：因为可以取2台原装与3台组装计算机或是3台原装与2台组装计算机，所以只有 2种取法.错因分析：误解的原因在于没有意识到“选取2台原装与3台组装计算机或是3台原装与2台组装计算机是完成任务的两“类方法，每类方法中都还有不同的取法.正解：由分析，完成第一类方法还可以分

23、成两步：第一步在原装计算机中任意选取2台，有C62种方法；第二步是在组装计算机任意选取3台，有C3种方法，据乘法原理共有 C2 C53种方法.同理，完成第二类方法中有 C3 C2种方法.据加法原理完成 全部的选取过程共有C2 C； C： C350种方法.例2在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有()种.(A) A：(B) 43( C) 34(D) C：误解：把四个冠军，排在甲、乙、丙三个位置上，选A.正解：四项比赛的冠军依次在甲、乙、丙三人中选取，每项冠军都有3种选取方法，由乘法原理共有 3 3 3 3 34种.说明：此题还有同学这样误解，甲乙丙夺冠均有四

24、种情况，由乘法原理得43.这是由于没有考虑到某项冠军一旦被一人夺得后，其他人就不再有4种夺冠可能.2判断不岀是排列还是组合岀错在判断一个问题是排列还是组合问题时，主要看元素的组成有没有顺序性，有顺序的是排列，无顺序的是组合.例3有大小形状相同的3个红色小球和5个白色小球，排成一排，共有多少种不同的排列方法？误解：因为是8个小球的全排列，所以共有 府种方法错因分析：误解中没有考虑 3个红色小球是完全相同的，5个白色小球也是完全相同的，同色球之间互换位置是同一种排法正解：8个小球排好后对应着 8个位置，题中的排法相当于在8个位置中选出3个位置给红球，剩下的位置给白球，由于这33个红球完全相同，所以

25、没有顺序，是组合问题.这样共有：C8 56排法.3重复计算岀错在排列组合中常会遇到元素分配问题、平均分组问题等，这些问题要注意防止重复计数，产生错误。例45本不同的书全局部给 4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为A 480 种B 240 种C 120 种D 96 种误解：先从5本书中取4本分给4个人，有A54种方法，剩下的1本书可以给任意一个人有 4种分法，共有4 A； 480种不同 的分法，选A.错因分析：设5本书为a、b、c、d、e，四个人为甲、乙、丙、丁 .按照上述分法可能如下的表 1和表2：甲乙丙丁abcde甲乙丙丁ebcda表表表1是甲首先分得a、乙分得b、丙分得c、丁分得d

26、，最后一本书e给甲的情况；表2是甲首先分得e、乙分得b、丙分得c、 丁分得d，最后一本书a给甲的情况.这两种情况是完全相同的，而在误解中计算成了不同的情况。正好重复了一次正解：首先把5本书转化成4本书，然后分给4个人.第一步：从5本书中任意取岀2本捆绑成一本书，有 0,2种方法；第二 步：再把4本书分给4个学生，有 A种方法.由乘法原理，共有 o2 A： 240种方法，应选B.例5某交通岗共有3人，从周一到周日的七天中，每天安排一人值班，每人至少值2天，其不同的排法共有种.A 5040B 12600 210D 630误解：第一个人先挑选 2天，第二个人再挑选 2天，剩下的3天给第三个人，这三个

27、人再进行全排列.共有：C；Ca3 1260，选B.错因分析：这里是均匀分组问题.比方：第一人挑选的是周一、周二，第二人挑选的是周三、周四；也可能是第一个人挑选的是周三、周四，第二人挑选的是周一、周二，所以在全排列的过程中就重复计算了.正解:0；0利630 种.1,34遗漏计算出错在排列组合问题中还可能由于考虑问题不够全面，因为遗漏某些情况，而岀错。例6用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的比1000大的奇数共有A 36 个 B 48 个 0 66 个 D 72 个误解：如右图，最后一位只能是1或3有两种取法，又因为第1位不能是0，在最后一位取定后只有 3种取法，剩下3个数排中间两个位置有

28、A种排法，共有2 3 A孑36个.错因分析：误解只考虑了四位数的情况，而比1000大的奇数还可能是五位数.正解：任一个五位的奇数都符合要求，共有2 3 A3 36个，再由前面分析四位数个数和五位数个数之和共有72个，选D.5无视题设条件岀错在解决排列组合问题时一定要注意题目中的每一句话甚至每一个字和符号，不然就可能多解或者漏解53例7如图，一个地区分为 5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，那么不同的着色方法共有 种.以数字作答误解：先着色第一区域，有 4种方法，剩下3种颜色涂四个区域，即有一种颜色涂相对的 两块区域，有C； 2 A； 12种，由乘法原

29、理共有：4 12 48种.错因分析：没有看清题设“有 4种颜色可供选择.不一定需要4种颜色全部使用，用3种也可以完成任务.正解：当使用四种颜色时，由前面的误解知有48种着色方法；当仅使用三种颜色时：从4种颜色中选取3种有c3种方法，先着色第一区域，有3种方法，剩下2种颜色涂四个区域，只能是一种颜色涂第2、4区域，另一种颜色涂第 3、5区域，有2种着色方法，由乘法原理有 03 3 224种.综上共有：48 24 72种.例8ax2 b 0是关于x的一元二次方程，其中a、b 1,2,3,4，求解集不同的一元二次方程的个数误解：从集合1,2,3,4中任意取两个元素作为 a、b ,方程有a2 个，当a

30、、b取同一个数时方程有1个，共有 A 1 13个.错因分析：误解中没有注意到题设中：“求解集不同的所以在上述解法中要去掉同解情况，由于a1和a2同解、.b2 b4a 2a 4和同解，故要减去2个。 正解：由分析，共有13 2 11个解集不同的一元二次方程.b 1b 26未考虑特殊情况岀错在排列组合中要特别注意一些特殊情况，一有疏漏就会岀错例9现有1角、2角、5角、1元、2元、5元、10元、50元人民币各一张，100元人民币2张，从中至少取一张，共可组成不同的币值种数是A1024 种B1023 种C1536 种D1535 种误：因为共有人民币10张，每张人民币都有取和不取 2种情况，减去全不取的

31、1种情况，共有21011023种.错因分析：这里100元面值比拟特殊有两张，在误解中被计算成4种情况，实际上只有不取、取一张和取二张3种情况.正解：除100元人民币以外每张均有取和不取2种情况，100元人民币的取法有3种情况，再减去全不取的1种情况，所以共有29 3 11535种.7题意的理解偏差岀错例10现有8个人排成一排照相，其中有甲、乙、丙三人不能相邻的排法有种.A A3 A5 B AsA A C A A D A A：误解：除了甲、乙、丙三人以外的 5人先排，有 A种排法，5人排好后产生6个空档，插入甲、乙、丙三人有a3种方法，这样共有a? A种排法，选a.错因分析：误解中没有理解“甲、

32、乙、丙三人不能相邻的含义，得到的结果是“甲、乙、丙三人互不相邻.的情况.“甲、 乙、丙三人不能相邻是指甲、乙、丙三人不能同时相邻，但允许其中有两人相邻正解：在8个人全排列的方法数中减去甲、乙、丙全相邻的方法数，就得到甲、乙、丙三人不相邻的方法数，即民 a6 a?， 应选B.8解题策略的选择不当岀错例10高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去何工厂可自由选择，那么不同的分配方案有.A 16 种B 18 种C 37 种D 48 种误解：甲工厂先派一个班去，有3种选派方法，剩下的2个班均有4种选择，这样共有3 4 4 48种方案错因分析：显然这里有重复计

33、算 .如：a班先派去了甲工厂，b班选择时也去了甲工厂，这与 b班先派去了甲工厂，a班选 择时也去了甲工厂是同一种情况，而在上述解法中当作了不一样的情况，并且这种重复很难排除正解：用间接法.先计算3个班自由选择去何工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的情况，即：4 4 4 3 3 3 37种方案.排列与组合习题1. 6个人分乘两辆不同的汽车,每辆车最多坐4人，那么不同的乘车方法数为A. 40B . 50C. 60D. 70解析先分组再排列，一组2人一组4人有C2= 15种不同的分法；两组各10种不同的分法，所以乘车方法数为25X 2= 50，应选 B.2 .有6个座位连成一排，现有36种B . 48种

34、A.3人就坐，那么恰有两个空座位相邻的不同坐法有C . 72 种D . 96 种解析恰有两个空座位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先排三个人,然后插空，从而共A?A2 = 72种排法，应选3.只用C . 18 个D . 36 个注意题中条件的要求，一是三个数字必须全部使用，二是相同的数字不能相邻，选四个数字共有解析1231,1232,1233，而每种选择有 AX C2= 6种排法，所以共有3 X 6= 18种情况，即这样的四位数有C = 3种选法，即18个.C.1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有4 .男女学生共有8人，从男

35、生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有A. 2人或3人 B . 3人或4人 C. 3人 D . 4人解析设男生有n人，那么女生有8-n人，由题意可得CnC1-n = 30,解得n= 5或n = 6，代入验证，可知女生为 2人或3人.5. 某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，假设规定从二楼到三楼用8步走完，那么方法有A. 45 种B . 36 种 C. 28 种D. 25 种解析因为10充的余数为2,故可以肯定一步一个台阶的有6步，一步两个台阶的有 2步，那么共有C8= 28种走法.6. 某公司招聘来8名员工，平均分配给下属的甲、乙两

36、个部门，其中两名英语翻译人员不能分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，那么不同的分配方案共有A. 24 种B . 36 种 C. 38 种D. 108 种解析此题考查排列组合的综合应用，据题意可先将两名翻译人员分到两个部门，共有2种方法，第二步将3名电脑编程人员分成两组，一组1人另一组2人，共有C1种分法，然后再分到两部门去共有 c3a髀方法，第三步只需将其他 3人分成两组，一 组1人另一组2人即可，由于是每个部门各 4人，故分组后两人所去的部门就已确定，故第三步共有C1种方法，由分步乘法计数原理共有2C3a2c3= 36种.7. 集合A = 5，B= 1,2，C= 1,

37、3,4，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，那么确定的不同点的个数为A. 33B. 34C. 35D. 36解析所得空间直角坐标系中的点的坐标中不含1的有C2 A3= 12个； 所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有1个1的有C2 A3+ a3= 18个； 所得空间直角坐标系中的点的坐标中含有2个1的有C1= 3个.故共有符合条件的点的个数为12+ 18 + 3= 33个，应选A.8. 由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且 1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是A. 72B. 96 C. 108D. 144解析分两类：假设1与3相邻，有A2C3A2A2= 72个，假设1与

38、3不相邻有A3 a3= 36个 故共有72 + 36= 108个.9. 如果在一周内周一至周日安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，要求甲学校连续参观两天，其余学 校均只参观一天，那么不同的安排方法有A. 50 种B. 60 种 C. 120 种D. 210 种解析先安排甲学校的参观时间，一周内两天连排的方法一共有6种：1,2、2,3、3,4、4,5、5,6、6,7，甲任选一种为視，然后在剩下的5天中任选2天有序地安排其余两所学校参观，安排方法有A辭，按照分步乘法计数原理可知共有不同的安排方法C1 a5= 120种，应选C.10. 安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每

39、人值班一天，其中甲、乙二人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有种.用数字作答解析先安排甲、乙两人在后5天值班，有a5= 20种排法，其余5人再进行排列，有 a5= 120种排法，所以共有20X 120=2400种安排方法.11今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这 9个球排成一列有 种不同的排法.用数字作答解析由题意可知，因同色球不加以区分，实际上是一个组合问题，共有C4 C2 C3= 1260种排法.12.将6位志愿者分成4组，其中两个组各2人，另两个组各1人，分赴世博会的四个不同场馆效劳，不同的分配方案有 种用数字作答.有A#种c2c2解析先将6名志愿者分为4组

40、，共有CAC"种分法，再将4组人员分到4个不同场馆去，共分法，故所有分配方案有：CA乎A4= 1 080种.13要在如下图的花圃中的5个区域中种入 4种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，有种不同的种法用数字作答.解析5有4种种法，1有3种种法，4有2种种法.假设1、3同色，2有2种种法，假设1、3不同色，2有1种种法，.有4 X 3X 2 X(1 X 2 + 1 X 1) = 72 种.14. 将标号为1，2，3, 4，5, 6的6张卡片放入3个不同的信封中假设每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，那么不同的方法共有种方法，共有(A) 12 种(B) 18 种(C) 3

41、6 种(D) 54 种【解析】标号 1,2的卡片放入同一封信有3种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有算鱼心is种，应选B.15. 某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，假设7位员工中的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，那么不同的安排方案共有A. 504 种B.960 种 C.1008 种D. 1108 种解析：分两类：甲乙排1、2号或6、7号 共有2 a；a4a4种方法甲乙排中间，丙排7号或不排7号，共有4a；(a4 a3a3a；)种方法故共有1008种不同的排法16. 由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻

42、的六位偶数的个数是(A) 72(B) 96( C) 108( D) 144 w_w_w.k*s 5*u.c o*m解析：先选一个偶数字排个位，有3种选法w_w_w.k*s 5*u.c o*m2 2 假设5在十位或十万位，那么1、3有三个位置可排，3 Aj A2 = 24个 假设5排在百位、千位或万位，那么1、3只有两个位置可排，共 3 a|a| = 12个算上个位偶数字的排法，共计 3(24+ 12) = 108个答案：C17. 在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列(数字允许重复)表示一个信息，不同排列表示不同信息，假设所用数字只有0和1,那么与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同

43、的信息个数为A.10B.11C.12D.15【答家】盼【解栃】与信0110至多有两个对应位置上的数字?同的信息包据三类 P第一舟 与信息肓两个肘应位置上的数字招同有c沽6 (个片第二赂 与信息ai】o頁一个对应位貫上的薮字相同頁(个卜勇三类没有一个对应上册数孚相同有CA1个片与信急Q1W至多育两个对应位上的纹孚相同的fiRS 6+4+1=11 (个人扳选氐2【命题意图】本題考査组合1可题与分粪加法计数原理.属中幽题.418. 现安排甲、乙、丙、丁、戌5名同学参加上海世博会志愿者效劳活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁

44、戌都能胜任四项工作，那么不同安排方案的种数是A. 152B.126C.90D.54【解析】分类讨论：假设有2人从事司机工作，那么方案有c| A 18 ；假设有1人从事司机工作，那么方案有c3 c： A 108种, 所以共有18+108=126种，故B正确19. 甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。假设从甲、乙两组中各选出2名同学，那么选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有(D )(A) 150 种(B) 180 种(C) 300 种 (D)345 种1 1 2解：分两类(1)甲组中选出一名女生有 C5 C3 C6225种选法；2 11(2)乙组中选出一名女生有 C5

45、C6 C2 120种选法.故共有345种选法.选D20. 将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，那么不同分精选法的种数为A.18B.24C.30D.36【解析】用间接法解答：四名学生中有两名学生分在一个班的种数是 以种数是clA3 a 3021.2位男生和3位女生共5位同学站成一排，假设男生甲不站两端,A. 60B. 48C. 42【解析】解法一、从3名女生中任取2人“捆在一起记作 生分别记作甲、乙；那么男生甲必须在A、B之间假设甲在时就不能满足男生甲不在两端的要求此时共有 位置插入乙，所以，共有 12X 4= 48种不同排法。 解

46、法二；同解法一，从3名女生中任取2人“捆在一起记作C：，顺序有 A种，而甲乙被分在同一个班的有 A种，所3位女生中有且只有两位女生相邻，那么不同排法的种数是D. 362 26种不同排法，剩下一名女生记作 B,两名男 A、B之间，此B，两名A，A共有CA、B两端。那么为使A、B不相邻，只有把男生乙排在6X 2= 12种排法A左B右和A右B左最后再在排好的三个元素中选出四个A，A共有CA； 6种不同排法，剩下一名女生记作男生分别记作甲、乙；为使男生甲不在两端可分三类情况：第一类：女生A、B在两端，男生甲、乙在中间，共有6A|A；=24种排法；第二类：“捆绑 A和男生乙在两端，那么中间女生 B和男生

47、甲只有一种排法，此时共有6A； = 12种排法第三类：女生B和男生乙在两端，同样中间“捆绑A和男生甲也只有一种排法。此时共有6A| = 12种排法三类之和为24+ 12 + 12 = 48种。22.从10名大学生毕业生中选 3个人担任村长助理，那么甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数位CA 85B 56C 49D 28【解析】解析由条件可分为两类：一类是甲乙两人只去一个的选法有: 所以共有42+7=49，即选C项。23. 3位男生和3位女生共6位同学站成一排，假设男生甲不站两端，1 2 2 1C2 C7 42，另一类是甲乙都去的选法有 C2 C7 =7，3位女生中有且只有两位女生

48、相邻，那么不同排法的种数是A. 360B. 188C. 216D. 96解析：6位同学站成一排,3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有A；C；A；A；332种，其中男生甲站两端的有AfAjcfAfA；144，符合条件的排法故共有188解析 2：由题意有 2A2C； a； c2 c3 a c； a2a224. 12个篮球队中有3个强队，将这12个队任意分成3个组每组4个队，那么3个强队恰好被分在同一组的概率为)1311A.B .C.-D.-555543188,选 B。44解析因为将12个组分成4个组的分法有c：2c：c种,而3个强队恰好被分在同一组分法有c3c；c：c故个强队恰好被分3在同一组的

49、概率为 c3c；c4c：a2c42C4c：a3=-。5525. 甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，假设每级台阶最多站 2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，那么不同的站法种数是用数字作答312【解析】对于7个台阶上每一个只站一人，那么有 Az种；假设有一个台阶有2人，另一个是1人，那么共有C3A7种，因此共有不同的站法种数是336种.4个汤圆,26. 锅中煮有芝麻馅汤圆 6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同。从中任意舀取 那么每种汤圆都至少取到 1个的概率为8254860A.B.C.D.91919191； 1, 2,一4【解析】因为总的滔法 C15,而所求事件的

50、取法分为三类，即芝麻馅汤圆、花生馅汤圆。豆沙馅汤圆取得个数分别按1； 2，1，1三类，故所求概率为489127. 将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，那么不同的分配方案有 种用数字作答【解析】分两步完成：第一步将4名大学生按，2, 1 , 1分成三组，其分法有C4 C2 C1 ；第二步将分好的三组分配到 3个乡镇, AC2 C1 C1其分法有A所以满足条件得分配的方案有42 - A3 36A28. 将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，那么不同的放球方法有A. 10 种B. 20 种C. 36 种D. 52 种

51、解析：将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，分情况讨论：1号盒子中放1个球，其余3个放入2号盒子，有C4 4种方法；1号盒子中放2个球，其余2个放入2号盒子， 有C4 6种方法；那么不同的放球方法有10种，选A.29. 将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，那么不同的分配方案有A3 0 种B9 0 种0180 种D 2 7 0 种解析：将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，那么将5名教师分成三组，一组 1人，另两组都C1 C23是2人，有 5 2 415种方法，再将3组分到

52、3个班，共有15 A 90种不同的分配方案，选 B.A30. 某校从8名教师中选派4名教师同时去4个遥远地区支教每地1人,其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，那么不同的选派方案共有种解析：某校从"8名教师中选派4名教师同时去4个遥远地区支教每地1人，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，可243 4以分情况讨论， 甲、丙同去，那么乙不去，有 C5 A4 =240种选法；甲、丙同不去，乙去，有C5 A4 =240种选法；甲、4乙、丙都不去，有 A 120种选法，共有600种不同的选派方案.31. 用数字0，1，2, 3，4组成没有重复数字的五位数，那么其中数字1，2相邻的偶数

53、有个用数字作答.解析：可以分情况讨论： 假设末位数字为0,那么1，2,为一组，且可以交换位置，3,4，各为1个数字，共可以组成2A3122个五位数； 假设末位数字为2,那么1与它相邻，其余3个数字排列，且0不是首位数字，那么有 2 A2 4个五位数； 假设末位 数字为4,那么1, 2，为一组，且可以交换位置，3, 0,各为1个数字，且0不是首位数字，那么有 2 2 A=8个五位数，所以全部合理的五位数共有 24个。32有一排8个发光二极管，每个二极管点亮时可发岀红光或绿光，假设每次恰有3个二极管点亮，但相邻的两个二极管不能同时点亮，根据这三个点亮的二极管的不同位置和不同颜色来表示不同的信息，求这排二极管能表示的信息种数共有多少种？解析因为相邻的两个二极管不能同时点亮， 所以需要把3个点亮的二极管插放在未点亮的 5个二极管之间及两端的 6个空上， 共有C6种亮灯方法然后分步确定每个二极管发光颜色有2 X 2X 2 = 8种方法，所以这排二极管能表示的信息种数共有C3X 2X 2 X 2= 160种.33. 按以下要求把12个人分成3个小组，各有多少种不同的分法？1各组人数分别为2,4,6个；2平均分成3个小组；3平均分成3个小组，进入3个不同车间.2 4 6C42C8c4代解析1C22C1oC