九年级数学下册小专题(八)构造基本图形解直角三角形的实际问题(新版)新人教版

1、1 构造基本图形解直角三角形的实际问题 一、母子三角形 1 如图，某数学兴趣小组想测量一棵树 CD 的高度，他们先在点 A 处测得树顶 C 的仰角为 30。，然后沿 AD 方向前 行 10 m,到达 B 点，在 B 处测得树顶 C 的仰角高度为 60 （A、B D 三点在同一直线上）.请你根据他们测量数据计 算这棵树CD 的高度.（结果精确到 0.1 m，参考数据：.2 1.414 , 3疋1.732） 2. 一艘观光游船从港口 A 以北偏东 60的方向出港观光， 航行 80 海里至 C 处时发生了侧翻沉船事故， 立即发出了 求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北

2、偏东 37方向，马上以 40 海里每小 时的速度前往救援，求海警 船到大事故船 C 处所需的大约时间.（参考数据：sin53 0.8 , cos53 疋0.6） 3“中国益阳”网上消息，益阳市为了改善市区交通状况，计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥女口 图，新大桥的两端位于 A B 两点，小张为了测量 A、B 之间的河宽，在垂直于新大桥 AB 的直线型道路 l 上测得如 下数据：/ BDA= 76.1 ,Z BCA= 68.2 , CD= 82 米.求 AB 的长.（精确到 0.1 米，参考数据：sin76.1 0.97 , cos76.1 0.24 , tan 76.1 4.0 ;

3、sin 68.2 0.93 , cos68.2 0.37 , tan 68.2 2.5） 有一艘渔船遇险，要求马上前去救援此时 C 地位于 A 地北偏西 30方向上，A 地位于 B 地北偏西 75方向上，A、 B 两地之间的距离为 12 海里.求 A、C 两地之间的距离.（参考数据： 2 1.41 , .3 1.73 , 6 2.45，结果精确 、背靠背三角形4.如A 地巡航，这时接到 B 地海上指挥中心紧急通知：在指挥中心北偏西 60方向的 C 地, 2 BD tan30 =6 .6（海里），/ AC= 6 .6 6 .2 6.2（海里）.答: A C 两地之间的距离为 6.2 海里. 5.

4、 A、B 两市相距 150 千米，分别从 A、B 处测得国家级风景区中心 C 处的方位角如图所示，风景区区域是以 C 为圆 心，45 千米为半径的圆，tan a = 1.627 , tan 3 = 1.373.为了开发旅游，有关部门设计修建连接 AB 两市的高速公路.问 连接 AB 高速公路是否穿过风景区，请说明理由. 6如图，一艘海轮在 A 点时测得灯塔 C 在它的北偏东 42方向上，它沿正东方向航行 80 海里后到达 B 处，此时灯 塔 C 在它的北偏西 55。方向上. （1）求海轮在航行过程中与灯塔 C 的最短距离（结果精确到 0.1）； 求海轮在 B 处时与灯塔 C 的距离（结果保留整

5、数）. （参考数据：sin55 0.819 , cos55 0.574 , tan55 1.428 , tan42 0.900 , tan35 0.700 , tan48 1.111） 参考答案 1. vZ CBD=Z A+Z ACB /-Z ACB=Z CBD-Z A= 60 30 = 30 . /-Z A=Z ACB.A BC= AB= 10 米.在 Rt BCD 中，CD= BC- sin Z CBD= 10X- = 5.3 5 X 1.732 疋 8.7（米）.答：这棵树 CD 的高度为 8.7 米. 1 2.过点 C 作 CD 丄 AB 交 AB 延长线于 D.在 Rt ACD 中,

6、 vZ ADC= 90 ,Z CAD= 30, AC= 80 海里，/ CD= ?AC= 40 5 到大事故船 C 处所需的时间大约为：50- 40=皐小时） 546.7（米）.答：AB 的长约为 546.7 米. 4. 过点 B 作 BD 丄 CA 交 CA 延长线于点 D.由题意得，Z ACB= 60 30= 30 , Z ABC= 75 60= 15 , /Z DAB =Z DBA= 45 .在 Rt ABD 中, AB= 12,Z DAB= 45,/ BD= AD= ABcos45= 6 ,2（海里）.在 Rt CBD 中, CD= 海里.在 Rt CBD 中，vZ CD= 90 ,Z

7、 CBD= 90 37 = 53 / BC= CD 40 sin Z CBD 0.8 =50（海里）. /海警3. 设 AD= x 米，贝 U AC= （x + 82）米.在 Rt ABC 中，tan Z BCA= AC / AB= AC- tan Z BCA= 2.5（x + 82）（米）.在 Rt ABD 中, AB tan Z BDA= AD / AB= AD- tan Z BDA= 4x. / 2.5（x + 82） = 4x.解得 410 410 x =三.I AB= 4x = 4 X 3 5. AB 不穿过风景区.理由如下：过 C 作 CD AB 于点 D,根据题意得： / ACD

8、= a， / BCD= 3，则在 Rt ACD 中， 亠 亠 AB AD= CD tan a，在 Rt BCD 中，BD= CD tan 3 , - AD+ DB= AB,. CD tan a + CD ta n 3 = AB. - - CD= tan a + tan 3 6. （1）过 C 作 CDL AB 于点 D.根据题意易得：/ ACD= 42 , / BCD= 55,设 CD 的长为 x海里，在 Rt ACD 中, tan 80 海里. x -tan42 + x -tan55 = 80.解得 x疋34.4.答：海轮在航行过程中与灯塔 C 的最短距离是 34.4 海里. CD CD 在 Rt BCD 中, cos55= 寸二 BC= 沁60（海里）.答：海轮在 B 处时与灯塔 C 的距离是 60 海里. BC cos55 150 1.627 + 1.373 150