正弦定量和余弦定理

1、5.5 5.5 正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理 要点梳理要点梳理1.1.正弦定理正弦定理: : , ,其中其中R R是三角形是三角形 外接圆的半径外接圆的半径. .由正弦定理可以变形为由正弦定理可以变形为: : （1 1）a ab bc c=sin =sin A Asin sin B Bsin sin C C; ; （2 2）a a=2=2R Rsin sin A A, ,b b=2=2R Rsin sin B B, , ; ; （3 3） 等形式等形式, ,以以 解决不同的三角形问题解决不同的三角形问题. .RCcBbAa2sinsinsinc c=2=2R Rsin sin C CR

2、cCRbBRaA2sin,2sin,2sin基础知识基础知识 自主学习自主学习2.2.余弦定理余弦定理: :a a2 2= = , ,b b2 2= = , , c c2 2= = . .余弦定理可以变形为余弦定理可以变形为:cos :cos A A ,cos ,cos B B= = ,cos ,cos C C= = . .3.3. r r（r r是三角形内切圆的半径）是三角形内切圆的半径）, ,并可由此计算并可由此计算R R、r r. .b b2 2+ +c c2 2-2-2bcbccos cos A Aa a2 2+ +c c2 2-2-2acaccos cos B Ba a2 2+ +b

3、 b2 2-2-2ababcos cos C Cbcacb2222acbca2222abcba2222)(214sin21sin21sin21cbaRabcBacAbcCabSABC4.4.在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：在解三角形时，正弦定理可解决两类问题： （1 1）已知两角及任一边，求其它边或角；）已知两角及任一边，求其它边或角； （2 2）已知两边及一边的对角，求其它边或角）已知两边及一边的对角，求其它边或角. . 情况（情况（2 2）中结果可能有一解、二解、无解，）中结果可能有一解、二解、无解， 应注意区分应注意区分. . 余弦定理可解决两类问题：余弦定理可解决两类问题： （1

4、 1）已知两边及夹角或两边及一边对角的问题；）已知两边及夹角或两边及一边对角的问题； （2 2）已知三边问题）已知三边问题. .5.5.解三角形的类型解三角形的类型 在在ABCABC中，已知中，已知a a、b b和和A A时，解的情况如下：时，解的情况如下： A A为锐角为锐角A A为钝角为钝角或直角或直角 图形图形关系式关系式 解的解的个数个数 一解一解 两解两解 一解一解 一解一解AbasinbaAbsinba ba 基础自测基础自测1.1.（20082008陕西）陕西）ABCABC的内角的内角A A、B B、C C的的 对边分别为对边分别为a a、b b、c c, ,若若c c= ,=

5、,b b= ,= ,B B=120=120, , 则则a a等于（等于（ ） A. B.2 C. D. A. B.2 C. D. 解析解析26632,sinsinCcBb由正弦定理得. 2.3030120180,30,216120sin2sinsincaACbBcCD2.2.ABCABC的内角的内角A A、B B、C C的对边分别为的对边分别为a a、b b、c c. .若若 a a、b b、c c成等比数列，且成等比数列，且c c=2=2a a, ,则则cos cos B B等于等于( )( ) A. B. C. D. A. B. C. D. 解析解析 由已知得由已知得b b2 2= =ac

6、ac, ,c c=2=2a a, ,41434232.434252cos222222aaaacbcaBB3.3.在在ABCABC中，中，A A=60=60, ,a a=4 ,=4 ,b b=4 ,=4 ,则则B B等等 于于（ ） A.45 A.45或或135135 B.135 B.135 C.45 C.45 D. D.以上答案都不对以上答案都不对 解析解析 由正弦定理得由正弦定理得 又又a a b b, ,A A=60=60,B B=45=45. .32,sinsinBbAa.2260sin3424sin,sin2460sin34BB即C4.4.已知圆的半径为已知圆的半径为4 4，a a、b

7、 b、c c为该圆的内接三角形的三为该圆的内接三角形的三边，若边，若abcabc=16 =16 ，则三角形的面积为，则三角形的面积为 （ ） A. B. C. D. A. B. C. D. 解析解析22228222, 82sinsinsinRCcBbAa. 2216161161sin21,8sinabcCabScCABCC5.5.在在ABCABC中，角中，角A A，B B，C C所对的边分别为所对的边分别为a a，b b，c c. . 若若B B=45=45，b b= = ，a a=1=1，则，则C C= = . . 解析解析 a a b b,A A=60=60或或A A=120=120. .

8、当当A A=60=60时，时，C C=180=180-45-45-60-60=75=75, ,;226sinsinBCbc当当A A=120=120时，时，C C=180=180-45-45-120-120=15=15. .226sinsinBCbc.226,15,120.226,75,60cCAcCA或(2)(2)B B=60=60, ,C C=75=75,A A=45=45. .（3 3）a a，b b，c c成等比数列，成等比数列，b b2 2= =acac，又，又a a2 2- -c c2 2= =acac- -bcbc，b b2 2+ +c c2 2- -a a2 2= =bcbc.

9、 .在在ABCABC中，由余弦定理得中，由余弦定理得. 434sinsin, 64sinsinsinsinsinaACcaABbCcBbAa得由正弦定理.60,212cos222AbcacbA （1 1）已知两角一边可求第三角，解这）已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可. .（2 2）已知两边和一边对角，解三角形时，利用正）已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意解题的难点，应引起注意. .2360sin60sinsin

10、,60,.sinsin22acbcBbAacbaAbB，ABC由正弦定理得中在知能迁移知能迁移1 1 在在ABCABC中，若中，若b b= ,= ,c c=1,=1,B B=45=45, , 求求a a及及C C的值的值. . 解解 由正弦定理得由正弦定理得 因为因为c c b b, ,所以所以C C B B, ,故故C C一定是锐角，一定是锐角， 所以所以C C=30=30, ,所以所以A A=105=105，.21sin,sin145sin2CC所以.226105sin2,105sin30sin1aa所以所以2题型二题型二 余弦定理的应用余弦定理的应用 在在ABCABC中，中，a a、b

11、b、c c分别是角分别是角A A，B B，C C 的对边，且的对边，且 （1 1）求角）求角B B的大小；的大小； （2 2）若）若b b= = ，a a+ +c c=4=4，求，求ABCABC的面积的面积. . 由由 利用利用余弦定理余弦定理 转化为边的关系求解转化为边的关系求解. . 解解 （1 1）由余弦定理知：）由余弦定理知：.2coscoscabCB13,2coscoscabCB,2cos222acbcaB.2cos222abcbaC.32,2122cos:222:2coscos222222222222BBacacacbcaBacbcacabcbaabacbcacabCB为三角形的内

12、角整理得得将上式代入.433sin21. 3),211 (21613cos22)(,cos232, 4,13)2(22222BacSacacBacaccabBaccabBcabABC从而即代入将 (1)(1)根据所给等式的结构特点利用根据所给等式的结构特点利用余弦余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键键. .（2 2）熟练运用余弦定理及其推论，同时还）熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用整体思想、方程思想在解题过程中的运用. .知能迁移知能迁移2 2 已知已知ABCABC中，三个内角中，三个内角A A，B

13、B，C C的的 对边分别为对边分别为a a, ,b b, ,c c, ,若若ABCABC的面积为的面积为S S，且，且 2 2S S= =（a a+ +b b）2 2- -c c2 2，求，求tan tan C C的值的值. . 解解 依题意得依题意得ababsin sin C C= =a a2 2+ +b b2 2- -c c2 2+2+2abab, , 由余弦定理知由余弦定理知, ,a a2 2+ +b b2 2- -c c2 2=2=2ababcos cos C C. . 所以所以, ,ababsin sin C C=2=2abab(1+cos (1+cos C C),), 即即sin

14、sin C C=2+2cos =2+2cos C C, ,.342tan12tan2tan. 22tan:2cos42cos2sin222CCCCCCC从而化简得所以题型三题型三 三角形形状的判定三角形形状的判定 在在ABCABC中，中，a a、b b、c c分别表示三个内角分别表示三个内角 A A、B B、C C的对边，如果（的对边，如果（a a2 2+ +b b2 2）sinsin（A A- -B B）= = （a a2 2- -b b2 2）sinsin（A A+ +B B），判断三角形的形状），判断三角形的形状. . 利用正弦定理、余弦定理进行边角利用正弦定理、余弦定理进行边角 互化，

15、转化为边边关系或角角关系互化，转化为边边关系或角角关系. . 解解 方法一方法一 已知等式可化为已知等式可化为 a a2 2sinsin（A A- -B B）-sin-sin（A A+ +B B） = =b b2 2-sin-sin（A A+ +B B）-sin(-sin(A A- -B B) ) 2 2a a2 2cos cos A Asin sin B B=2=2b b2 2cos cos B Bsin sin A A 由正弦定理可知上式可化为：由正弦定理可知上式可化为： sin sin2 2A Acos cos A Asin sin B B=sin=sin2 2B Bcos cos B

16、Bsin sin A Asin sin A Asin sin B B(sin (sin A Acos cos A A-sin -sin B Bcos cos B B)=0)=0sin 2sin 2A A=sin 2=sin 2B B, ,由由0202A A,2,2B B20;0;若若A A为直角，则为直角，则b b2 2+ +c c2 2- -a a2 2=0=0；若；若A A为钝角，为钝角，则则b b2 2+ +c c2 2- -a a2 20.0.（2 2）利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的）利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得三角函数间的关

17、系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用要注意应用A A+ +B B+ +C C=这个结论这个结论. .知能迁移知能迁移3 3 在在ABCABC中，已知中，已知2sin 2sin A Acos cos B B= = sin sin C C，那么，那么ABCABC一定是（一定是（ ） A. A.直角三角形直角三角形 B. B.等腰三角形等腰三角形 C. C.等腰直角三角形等腰直角三角形 D. D.正三角形正三角形 分析分析 本题是判定三角形形状的问题，在解斜本题是判定三角形形状的问题，在解斜 三角形中，这是常见的题

18、型之一三角形中，这是常见的题型之一. . 解析解析 方法一方法一 因为在因为在ABCABC中，中，A A+ +B B+ +C C=， 即即C C=-=-（A A+ +B B），所以），所以sin sin C C=sin(=sin(A A+ +B B).). 由由2sin 2sin A Acos cos B B=sin =sin C C, , 得得2sin 2sin A Acos cos B B=sin =sin A Acos cos B B+cos +cos A Asin sin B B, , 即即sin sin A Acos cos B B-cos -cos A Asin sin B B=0

19、,=0,即即sin(sin(A A- -B B)=0.)=0.又因为又因为-A A- -B B,0,2cos 0,2cos B B=1,=1,B B是三角形的内角，是三角形的内角，B B=60=60. 6. 6分分 （2 2）在）在ABCABC中，由余弦定理得中，由余弦定理得b b2 2= =a a2 2+ +c c2 2-2-2acaccos cos B B=(=(a a+ +c c) )2 2-2-2acac-2-2acaccos cos B B, 8, 8分分 将将b b= ,= ,a a+ +c c=4=4代入整理，得代入整理，得acac=3. 1=3. 10 0分分 7.43360s

20、in23sin21BacSABC故1212分分 在求角问题中，一般都是用正、余弦定在求角问题中，一般都是用正、余弦定理将边化为角理将边化为角. .由三角函数值求角时，要注意角的由三角函数值求角时，要注意角的范围范围. .在应用余弦定理时，要注意配方这一小技在应用余弦定理时，要注意配方这一小技巧，通过配方，使之出现（巧，通过配方，使之出现（a a+ +b b）2 2或（或（a a- -b b）2 2. .将将a a+ +b b或或a a- -b b作为一个整体，可以带来非常好的效果作为一个整体，可以带来非常好的效果. .知能迁移知能迁移4 4 （20082008辽宁）辽宁）在在ABCABC中，中

21、， 内角内角A A、B B、C C对边的边长分别是对边的边长分别是a a、b b、c c. . 已知已知c c=2,=2, （1 1）若）若ABCABC的面积等于的面积等于 ，求，求a a、b b的值；的值； （2 2）若）若sin sin C C+sin(+sin(B B- -A A)=2sin 2)=2sin 2A A, ,求求ABCABC的的 面积面积. . 解解 (1)(1)由余弦定理及已知条件由余弦定理及已知条件, ,得得a a2 2+ +b b2 2- -abab=4.=4. 又因为又因为ABCABC的面积等于的面积等于 ， 所以所以 ababsin sin C C= ,= ,所以

22、所以abab=4.=4.3C32133. 2, 2, 4, 422baababba解得联立方程组(2)(2)由题意得由题意得sin(sin(B B+ +A A)+sin()+sin(B B- -A A)=4sin )=4sin A Acos cos A A, ,即即sin sin B Bcos cos A A=2sin =2sin A Acos cos A A, ,当当cos cos A A00时，得时，得sin sin B B=2sin =2sin A A, ,由正弦定理得由正弦定理得b b=2=2a a, ,.332,334,6,2,0cosbaBA时当.332sin21.334,332,

23、2, 422CabSABCbaababba的面积所以解得联立方程组方法与技巧方法与技巧1.1.正、余弦定理和三角形面积公式是本节课的正、余弦定理和三角形面积公式是本节课的 重点重点, ,利用三角形内角和、边、角之间的关系利用三角形内角和、边、角之间的关系, , 三角函数的变形公式去判断三角形的形状，求三角函数的变形公式去判断三角形的形状，求 解三角形，以及利用它们解决一些实际问题解三角形，以及利用它们解决一些实际问题. .2.2.应熟练掌握和运用内角和定理应熟练掌握和运用内角和定理: : A A+ +B B+ +C C=, =, 中互补和互余的情况中互补和互余的情况, , 结合诱导公式可以减少

24、角的种数结合诱导公式可以减少角的种数. .2222CBA思想方法思想方法 感悟总结感悟总结3.3.正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由 正、余弦定理结合得正、余弦定理结合得sinsin2 2A A=sin=sin2 2B B+sin+sin2 2C C- - 2sin 2sin B Bsin sin C Ccos cos A A, ,可以进行化简或证明可以进行化简或证明. .4.4.根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种 途径：途径： （1 1）化边为角；（）化边为角；（2 2）化角为边，并常用正弦）化角为边，并

25、常用正弦 （余弦）定理实施边、角转换（余弦）定理实施边、角转换. .失误与防范失误与防范在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角的对角求另一边的对角, ,进而求出其他的边和角进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两解，所以要进行分类时，有时可能出现一解、两解，所以要进行分类讨论讨论. .定时检测定时检测 一、选择题一、选择题1.1.ABCABC的三边分别为的三边分别为a a，b b，c c且满足且满足b b2 2= =acac， 2 2b b= =a a+ +c c，则此三角形是，则此三角形是 （ ） A. A.等腰三角形等腰

26、三角形 B.B.直角三角形直角三角形 C. C.等腰直角三角形等腰直角三角形 D.D.等边三角形等边三角形 解析解析 2 2b b= =a a+ +c c，4 4b b2 2= =（a a+ +c c）2 2， 又又b b2 2= =acac,(,(a a- -c c) )2 2=0.=0.a a= =c c. . 2 2b b= =a a+ +c c=2=2a a.b b= =a a，即，即a a= =b b= =c c. .D2.2.ABCABC中中, ,a a, ,b b, ,c c分别是内角分别是内角A A, ,B B, ,C C的对边的对边, ,且且 cos 2 cos 2B B+3

27、cos(+3cos(A A+ +C C)+2=0)+2=0，b b= ,= ,则则c csin sin C C 等于等于 （ ） A.31 B. 1 A.31 B. 1 C. 1 D.21 C. 1 D.21 解析解析 cos 2cos 2B B+3cos(+3cos(A A+ +C C)+2=2cos)+2=2cos2 2B B- - 3cos 3cos B B+1=0,cos +1=0,cos B B= = 或或cos cos B B=1(=1(舍舍).). 33221. 2233sinsin.3BbCcBD3.3.ABCABC中，中，ABAB= ,= ,ACAC=1,=1,B B=30=

28、30，则，则ABCABC的的 面积等于（面积等于（ ） A. B. C. D. A. B. C. D. 解析解析 C C=60=60或或120120. . (1) (1)当当C C=60=60时时, ,A A=90=90,BCBC=2,=2,此时此时, , （2 2）当）当C C=120=120时，时，A A=30=30，2343323或4323或.23sin,sin330sin1CC;23ABCS.4330sin1321ABCSD3,1800C4.4.（20082008四川）四川）ABCABC的三内角的三内角A A、B B、C C 的对边边长分别为的对边边长分别为a a、b b、c c. .

29、若若 A A=2=2B B， 则则cos cos B B等于（等于（ ） A. B. C. D. A. B. C. D. 解析解析 由正弦定理得由正弦定理得,25ba 35455565,sinsinBAba.45cos,25sin2sin2.25sinsin25BBBB，ABAba又可化为B5.5.（20082008福建）福建）在在ABCABC中中, ,角角A A、B B、C C 的对边分别为的对边分别为a a、b b、c c，若（，若（a a2 2+ +c c2 2- -b b2 2）tan tan B B = = acac，则角，则角B B的值为的值为（ ） A. B. A. B. C.

30、D. C. D. 解析解析 ( (a a2 2+ +c c2 2- -b b2 2)tan )tan B B= = acac, ,63656或323或3.323,0.23sintancos,23tan2222或的值为角即BBBBBBacbcaD36.6.在在ABCABC中，角中，角A A、B B、C C所对的边分别是所对的边分别是a a, ,b b, ,c c, , 若若b b2 2+ +c c2 2- -bcbc= =a a2 2, ,且且 , ,则角则角C C的值为（的值为（ ） A.45A.45 B.60B.60 C.90C.90 D.120D.120 解析解析 由由b b2 2+ +c

31、 c2 2- -bcbc= =a a2 2, ,得得b b2 2+ +c c2 2- -a a2 2= =bcbc, ,3ba.90180,30,212333sin33sin, 3sinsin, 3.60,212cos222BACBABBAbaAbcacbA又C二、填空题二、填空题7.7.在在ABCABC中，若中，若ABAB=3,=3,ABCABC=75=75,ACBACB=60=60， 则则BCBC= = . . 解析解析 根据三角形内角和定理知根据三角形内角和定理知 BACBAC=180=180-75-75-60-60=45=45. . 根据正弦定理得根据正弦定理得,sinsinACBAB

32、BACBC. 62322360sin45sin3,60sin345sinBCBC即68.8.在在ABCABC中中, ,ABAB=2,=2,ACAC= ,= ,BCBC=1+ =1+ ，ADAD为边为边BCBC 上的高，则上的高，则ADAD的长是的长是 . . 解析解析63.22sin,222cos222CabcbaC. 3.21sin21ADADaCabSABC39.9.在在ABCABC中，角中，角A A，B B，C C所对的边分别为所对的边分别为a a，b b， c c，若其面积，若其面积 （b b2 2+ +c c2 2- -a a2 2），则），则A A= = . . 解析解析 41S)

33、cos2(41)(41222AbcacbS.4,. 1tan,cossin,sin21,cos21AABCAAAAAbcSAbcABC的内角为又即又4三、解答题三、解答题10.10.在在ABCABC中，若中，若 试判断试判断ABCABC的形状的形状. . 解解 方法一方法一 利用正弦定理边化角利用正弦定理边化角. . 即即sin sin C Ccos cos C C=sin =sin B Bcos cos B B, ,即即sin 2sin 2C C=sin 2=sin 2B B. . 因为因为B B、C C均为均为ABCABC的内角，的内角， 所以所以2 2C C=2=2B B或或2 2C C

34、+2+2B B=180=180, ,BcCbcoscos,coscoscoscoscos2cos22cos12cos12222BcCbBCBCBC由已知.coscoscbBC所以,sinsincoscos,sinsin,CBBCCBcb所以得由正弦定理,2cos12cos1BC所以所以B B= =C C或或B B+ +C C=90=90，所以所以ABCABC为等腰三角形或直角三角形为等腰三角形或直角三角形. .方法二方法二 由余弦定理，得由余弦定理，得即即( (a a2 2+ +b b2 2- -c c2 2) )c c2 2= =b b2 2( (a a2 2+ +c c2 2- -b b2 2),),所以所