苏教版五年级数学下册公因数、公倍数讲义

1、-12 -公因数和公倍数【知识要点】1、一个数最小的因数是 1,最大的因数是它本身，一个数因数的个数是有限的。一个数最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。一个数倍数的个数是无限的。一个数最大的因数等于这个数最小的倍数。2、几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数， 其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数， 用符号, 表示。几个数的公倍数也是无限的。3、两个数公有的因数，叫做这两个数的公因数，其中最大的一个，叫做这两个数的最大公因数，用符号(,)。两个数的公因数也是有限的。4、两个素数的积一定是合数。举例：3x5=15, 15是合数。6, 8=24 , (6, 8) =2, 24 是 2 的倍数。

2、5、两个数的最小公倍数一定是它们的最大公因数的倍数。举例:6、求最大公因数和最小公倍数的方法：15 和 5, 15 , 5=15 ,倍数关系的两个数，最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。举例:(15, 5) =53 , 7=21 , (3, 7) =15 ， 8=40 , (5, 8) =19 ， 8=72, (9, 8) =1素数关系的两个数，最大公因数是1 ,最小公倍数是它们的乘积。举例:一个素数和一个合数，最大公因数是1,最小公倍数是它们的乘积。相邻关系的两个数，最大公因数是1 ,最小公倍数是它们的乘积。特殊关系的数(两个都是合数，一个是奇数，一个是偶数，但他们之间只有一个公因数

3、1),比如4和9、4和15、10和21,最大公因数是1 ,最小公倍数是它们的乘积。一般关系的两个数，求最大公因数用列举法或短除法，求最小公倍数用大数翻倍法或短除法。【例题讲解】例1、一张长方形纸，长 60厘米，宽36厘米，要把它截成同样大小的长方形，并使它们的面积尽可能大,截完后又正好没有剩余，正方形的边长可以是多少厘米？能截多少正方形？要使截成的正方形面积尽可能大，也就是说，正方形的边长要尽可能大，截完后又正好没有剩余，这样正方形边长一定是 60和36的最大公约数。(36、60) = 12(60+ 12) x ( 36+12) = 15 个 例2、用96朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做花束。如每

4、个花束里的红玫瑰花的朵数相同，白玫瑰花的朵数也相同，最多可以做多少个花束？每个花束里至少要有几朵花？要把96朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做花束，每束花里的红白花朵数同样多，那么做成花束的的个数一定是96和72的公约数，又要求花束的个数要最多，所以花束的个数应是96和72的最大公约数。1、 最多可以做多少个花束(96、72) =242、 每个花束里有几朵红玫瑰花96+24= 4朵3、每个花束里有几朵白玫瑰花72+24= 3 朵每个花束里最少有几朵花4+3 = 7朵例3、一个植树小组原计划在 96米长的一段土地上每隔 4米栽一棵树，并且已经挖好坑。后来改为每隔 6 米栽一棵树。求重新挖树坑时可以少挖

5、几个？解：这一段地全长 96米，从一端每隔 4米挖一个坑，一共要挖树坑：96+4+1=25 （个） 后来，改为每隔6米栽一棵树，原来挖的坑有的正好赶在6米一棵的坑位上，可不重新挖。由于 4和6的最小公倍数是12,所以从第一个坑开始，每隔12米的那个坑不必挖。96+ 12+1=9 （个）96米中有8个12米，有8个坑是已挖好的，再加上已挖好的第一个坑，一共有9个坑不必重新挖。知识点：公因数和最大公因数练习：1、写出下面每组数的最大公因数。3 和 5（）4 和 8（）1 和 13（） 13 和 26（）4 和 9（）17 和 51（） 21 和 36（）22 和 55（）2、m + n =5（ m

6、、n都是非零的自然数），m和n的最大公因数是（）。3、m和n是相邻的两个非零的自然数，m和n的最大公因数是（）。4、把一张长18cm,宽12cm的长方形纸，分成同样大小的正方形且没有剩余，每个小正方形边长最大是 （）厘米，最少可分成（）个。5、两根钢管，甲管长36分米，乙管长40分米，把它们截成同样长的小段而且没有剩余，每小段最长（）分米，最少可截成（）段。知识点：公倍数与最小公倍数练习：1、写出下面每组数的最小公倍数。3 和 5（）4 和 8（）1 和 13（） 13 和 26（）4 和 9（）17 和 51（） 21 和 36（）22 和 55（）、2、m + n =5 （ m、n都是非零

7、的自然数），m和n的最小公倍数是（）。3、m和n是相邻的两个非零的自然数，m和n的最小公倍数是（）。4、一种长方形的地砖长 8厘米，宽6厘米，用这种地砖铺成一块正方形，至少需要（）块地砖。正方形的面积最少是（）平方厘米。5、暑假期间，小林和小军都去参加游泳训练。小林每6天去一次，小军每 8天去一次。7月31日两人同时参加游泳训练，（）月（）日他们又再次相遇。6、暑假期间，小林和小军都去参加游泳训练。小林每6天去一次，小军每 8天去一次。8月1日两人同时参加游泳训练，（）月（）日他们又再次相遇。7、3和7是21的（）因数公因数倍数8、8是24和64的（）因数 最大公因数【综合练习】 一、填空（共

8、 20分）1、最小的素数是（），最小的合数是（2、18的因数有（）,24的因数有（3、在120的自然数中，既不是素数又不是合数的数有（ ）。4、自然数按因数个数的多少可以分成（）、（5、1082至少加上（）是3的倍数，至少减去（6、一个数的最大因数是 13,这个数的最小倍数是（）。）,它们的公因数有（）。）,既是素数又是偶数的有）和（）。）才是5的倍数。）。7、两个自然数a、b的最大公因数是1,它们的最小公倍数是（）。8、如果a= 2x2x 3, b=2x3x 3,那么它们的最大公因数是（），最小公倍数是（9、一个数是3的倍数，又是5的倍数，还有因数 7。这个数最小是（）。10、一个数既是30

9、的因数、又是45的因数，最大的是（）。11、用0、1、2三个数字排成的所有三位数中，同时是2、3、5的倍数的数有二、判断题（共5分）1、两个连续自然数（0除外）它们的最大公因数是1。2、在24的因数中，是素数的只有 2和3。3、5和7没有公因数，但 5和7有公倍数。4、所有的偶数都是合数。5、两个数的公倍数一定比这两个数都大。三、选择题（共5分）1、任何两个奇数的和是（a奇数b2、两个素数的积一定是（a素数b3、任何两个自然数的（a公倍数）。合数c）。合数）的个数是无限的。b 公因数c( )( )( )()()偶数c奇数倍数12、如果两个数的最大公因数是1,它们最小公倍数是 91,那么这两个数

10、的和最大是（4、a是b倍数，那么它们的最小公倍数是（a ab5、两个数的最大公因数是15,最小公倍数是 90,这两个数一定不是（a 15 和 90四、写出每组数的最大公因数b（共45 和 90c12分）45 和 3032 和 112和1872 和 4878 和 11723 和 6012 和 60五、写出每组数的最小公倍数（共12分）4和155和790 和 309和1513 和 396和13六、列式计算（共 8分）1、一个自然数被 3、5除都余1,这个数最小是多少？2、五个连续奇数的和是 425,最小的一个是多少？七、解决问题（共 38分，第8题3分，其余每题5分）1、一枝钢笔的价钱是18.6元

11、，比一枝圆珠笔贵10.9元，一枝圆珠笔多少元？（列方程解答）2、小明的妈妈比小明大26岁，爸爸今年38岁,比妈妈大4岁，小明今年多大了？（列方程解答）3、甲、乙两人到图书馆去借书，甲每4天去一次，乙每5天去一次，如果 7月1日他们两人在图书馆相遇，那么他们下一次同时到图书馆是几月几日？4、有两根小棒分别长 20分米，28分米。要把它们都截成同样长的小棒，不许剩余，每根小棒最长能有多少分米？5、一个长方形的面积是 24厘米，它的长和宽都是整厘米数，这样的长方形有多少种？6、在一张长40厘米，宽32厘米的长方形红纸上裁出同样大小，面积最大的正方形，并且没有剩余。一共可以裁出多少个这样的正方形？7、

12、五（1）班学生人数不超过 50人，在分小组做游戏时，可以分为每组6人或者每组8人，两种分法都刚好分完。这个班的学生可能有多少人？8、园林工人在一段公路的一边每隔 4米栽一棵树，一共栽了 17棵。现在要改成每隔6米栽一棵树。那么, 不用移栽的树有多少棵？【解决问题】1、甲、乙两人到图书馆去借书 ，甲每4天去一次，乙每5天去一次，如果7月1日他们两人在图书馆相 遇，那么他们下一次同时到图书馆是几月几日？2、一块长方形纸片，长18厘米，宽12厘米，把它剪成同样大小的边长是整厘米数的正方形且没有剩余 最少可以剪多少个？3、同学们做了 24朵红花和56朵黄花，把这些花分成相同的若干束，最多可以分成几束？

13、每束里红花和黄花各有几朵？4、五（1）班学生做早操，每行 12人或16人都正好站成整行，这个班不到50人，这个班究竟有多少人？5、一块砖长42厘米，宽26厘米，用这样的砖铺成一块正方形地，至少要多少块？6、有一筐苹果，无论是平均分给8个人，还是平均分给18人，结果都剩下3个，这筐苹果至少有多少个？【拓展练习】1、学校操场长96米，从一端起到另一端每隔 4米插有一面小红旗。现在要改成每隔6米插一面红旗。问可以不必拔出来的小红旗有多少面？2、某校同学们做操，把学生分为10人一组，14人一组，18人一组，都恰好分完，这个学校至少有多少个 学生？3、有一列数1,1,2,3,5,8,13,21,34,5

14、5，从第三个数开始，每个数是都前面两个数的和，前100个数中偶数有多少个？4、1路、2路和5路车都从东站发车，1路车每隔10分钟发一辆，2路车每隔15分钟发一辆，而5路车 每隔20分钟发一辆。当这三种路线的车同时发车后，至少要过多少分钟又有这三种路线同时发车？5、从小明家到学校原来每隔50米安装一根电线杆，加上两端的两根一共是55根电线杆，现在改成每隔60米安装一根电线杆，除两端的两根不用移动外，中途还有多少根不必移动？6、在一根长100厘米的木棍上，自左到右每隔6厘米染一个红点，同时自右到左每隔5厘米染一个红点,染后沿红点将木棍逐段锯开，那么长度是1厘米的短木棍有多少根？【挑战奥数】【例题讲

15、解】在求18与12的最大公约数与最小公倍数时，由短除法可知，(18, 12) =2x3=6, 18, 12=2x 3x3x2=36。如果把 18与12的最大公约数与最小公倍数相乘，那么(18, 12) x18, 12= (2x3) x (2x3x3x2)=(2x3x3) x (2x3x2) =18x 12。也就是说，18与12的最大公约数与最小公倍数的乘积，等于18与12的乘积。当把18,12换成其它自然数时，依然有类似的结论。从而得出一个重要结论：两个自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积，等于这两个自然数的乘积。即，(a, b) x a , b=a x b。例1、两个自然数的最大公约数是6,

16、最小公倍数是72。已知其中一个自然数是18,求另一个自然数。解：由上面的结论，另一个自然数是(6x72) + 18=24。例2、两个自然数的最大公约数是7,最小公倍数是210。这两个自然数的和是 77,求这两个自然数。分析与解：如果将两个自然数都除以7,则原题变为：“两个自然数的最大公约数是1,最小公倍数是30。这两个自然数的和是11,求这两个自然数。”改变以后的两个数的乘积是1x30=30,和是11。30=1x30=2x 15=3x 10=5x 6,由上式知，两个因数的和是11的只有5x6,且5与6互质。因此改变后的两个数是5和6,故原来的两个自然数是7x5=35 和 7x6=42。例3、已

17、知a与b, a与c的最大公约数分别是12和15, a, b, c的最小公倍数是 120,求a, b, c。分析与解：因为12, 15都是a的约数，所以a应当是12与15的公倍数，即是12 , 15=60的倍数。 再由a ,b,c=120知，a只能是60或120。a , c=15 ,说明c没有质因数 2,又因为a , b, c=120=2 3x 3x 5, 所以c=15。因为a是c的倍数，所以求 a, b的问题可以简化为：“a 是60或120, (a, b) =12, a , b=120 , 求 a, b。“当 a=60 时， b= (a, b) x a , b+a =12 x120+ 60=2

18、4;当 a=120 时， b= (a, b) x a , b+a =12 x120+ 120=12。所以 a, b, c 为 60, 24, 15 或 120, 12, 15。【练习】1、两个自然数的最大公约数是2、两个自然数的最大公约数是6,最小公倍数是72。已知其中一个自然数是 18。求另一个自然数。7,最小公倍数是210。这两个自然数的和是 77。求这两个自然数。3、两个数的最大公因数是 9,最小公倍数是90,求这两个数分别是多少?4、已知两个数的积是 3072,最大公因数是16,求这两个数。5、已知a与b的最大公约数为 6,最小公倍数为84,且ax b= 42,求b。6、两个数的最大公

19、约数为 12,最小公倍数为180,且较大数不能被较小数整除，求这两个数。7、甲乙两数的最大公约数为 75,最小公倍数为450,当这两个数分别为何值时，它们差最小。【课后练习】一、填空1、（7,9）在平面图上表示是第（）列第（）行的位置。2、30以内3的倍数有（），4的倍数有（），3和4的公倍数有（）,是（）。3、在12、15、36、64、450、950六个数中，是 3的倍数有（），是5的倍数的有（的倍数的有（）；是2和5的公倍数的有（），是2和3的公倍数的有（是3和5的公倍数的有（）;同时是2、3和5的公倍数的数是（4、18的因数有（），60的因数有（因数是（）。）,18和60的公因数有（5、

20、一个合数的因数至少有（）个，例如：（6、如果a=2x 3x7, b=2x5x7,那么a和b的最大公因数是（），最小公倍数是（7、用0、3、5、7四个数组成一个同时是 2和5的倍数的四位数，最大是（），最小是（8、要使601 口既是2的倍数，又是3的倍数，那么口里可以填（）。9、身份证上数字编码的头两位数字表示的是（）。二、判断1、如果a+ b=4 （a、b为整数）那么a和b的最大公因数是 4。（）2、一个数最小的倍数与它最大的因数相等。（）3、任何一个自然数的因数至少有 2个。（）4、1和任何自然数（0除外）都没有公因数。（）5、两个素数的最小公倍数是它们的乘积。（）最小公倍数），是2）,）。）,最大公）。）。、选择1、1、2、4、8 是 8 的（a、因数b、公因数c、素数2、12是（）的最大公因数。a 、 1 和 12 b 、 12 和 24c 、 3 和 43、一个两位数个位和十位上都是合数，并且它们的最大公因数是1,那么这两位数可能是（）a、49b、59c、694、a是一个素数，则a