平面向量数量积的物理背景及其含义课件(人教A版必修四)

1、2.4 平面向量的数量积2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义一、向量的数量积及其几何意义一、向量的数量积及其几何意义 定义定义两个非零向量两个非零向量a与与b的数量积的数量积数量数量_叫做叫做a与与b的数量积的数量积( (或内积或内积),),其中其中是是a与与b的夹角的夹角记法记法记作记作: :ab, ,即即ab=_=_规定规定零向量与任一向量的数量积为零向量与任一向量的数量积为_几何意义几何意义投影投影向量向量a在在b方向上的投影方向上的投影:_:_向量向量b在在a方向上的投影方向上的投影:_:_几何意义几何意义数量积数量积ab等于等于a的长度的长度| |a| |与与b在在a方向方向

2、上的投影上的投影_的乘积的乘积| |a|b|cos|cos| |a|b|cos|cos0 0| |a|cos|cos| |b|cos|cos| |b|cos|cos思考思考: :两个向量的数量积什么时候为正数两个向量的数量积什么时候为正数, ,什么时候为零什么时候为零, ,什么什么时候为负数时候为负数? ?提示：提示：设向量设向量a, ,b的夹角为的夹角为,当当0 0900,0,即数量积为正数即数量积为正数, ,当当=90=90, ,ab=0,=0,即数量积为即数量积为0;0;当当9090180180时时, ,ab0,0,即数量积为负数即数量积为负数. .二、向量数量积的性质和运算律二、向量数

3、量积的性质和运算律1.1.向量数量积的性质向量数量积的性质设向量设向量a与与b都是非零向量，它们的夹角为都是非零向量，它们的夹角为,(1)(1)ab_._.(2)(2)当当ab时，时，ab= =(3)(3)aa=_=_或或_._.(4)cos =_.(4)cos =_.(5)|(5)|ab|_|_|a|b|.|.ab=0=0_,_,.abab当 ， 同向时，当 ， 反向时a b| a b| |a| |2 2aa aa ba b2.2.向量数量积的运算律向量数量积的运算律 交换律交换律_对数乘的结合律对数乘的结合律_分配律分配律_ab= =ba(a) )b=(=(ab)=)=a(b) )( (a

4、+ +b) )c= =ac+ +bc判断判断:(:(正确正确的打的打“”,”,错误的打错误的打“”)”)(1)(1)若若ab= =0, ,则则a, ,b至少有一个为至少有一个为0.(0.() )(2)(2)若若a0, ,ab= =bc, ,则则a= =c.(.() )(3)(3)(ab) )c= =a( (bc).().() )提示：提示：(1)(1)错误错误. .当当a与与b垂直时垂直时, ,也有也有ab=0.=0.(2)(2)错误错误. .ab= =bc推不出推不出a= =c. .理由如下理由如下: :如图如图, ,ab=|=|a|b|cos|cos=|=|b|OA|OA|,|,bc=|=

5、|b|c|cos|cos=|=|b|OA|OA|,|,所以所以ab= =bc但是但是ac. .(3)(3)错误错误. .若若( (ab) )c0, ,其方向与其方向与c c相同或相反相同或相反, ,而而a( (bc)0时其方向与时其方向与a a相同或相反相同或相反, ,而而a与与c方向不一定方向不一定相同相同, ,故该等式不一定成立故该等式不一定成立. .答案答案: :(1)(1)(2)(2)(3)(3) 【知识点拨【知识点拨】1.1.对数量积概念的理解对数量积概念的理解(1)(1)从定义上看：两向量的数量积是一个数量，而不是向量，从定义上看：两向量的数量积是一个数量，而不是向量，其数值可正、

6、可负、可为零，其决定因素为两向量的夹角其数值可正、可负、可为零，其决定因素为两向量的夹角. .(2)(2)从运算上看：两向量从运算上看：两向量a，b的数量积称作内积，写成的数量积称作内积，写成ab，其中其中“”是一种运算符号，不同于实数的乘法符号，也不是一种运算符号，不同于实数的乘法符号，也不可省略可省略. .(3)(3)两向量的数量积有明确的物理和几何意义，学习时注意两向量的数量积有明确的物理和几何意义，学习时注意掌握掌握. .2 2正确理解正确理解“投影投影”的概念的概念(1)(1)投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可投影是一个数量，不是向量，其值可为正，可为负，也可为零为零

7、. .(2)(2)夹角与投影的联系夹角与投影的联系向量向量a与与b都是非零向量，它们的夹角为都是非零向量，它们的夹角为，向量，向量b在在a的方向的方向上的投影上的投影| |b|cos|cos 与与取值的关系如表取值的关系如表. .(2)(2)夹角与投影的联系夹角与投影的联系向量向量a与与b都是非零向量，它们的夹角为都是非零向量，它们的夹角为，向量，向量b在在a的方向的方向上的投影上的投影| |b|cos|cos 与与取值的关系如表取值的关系如表. .的的取值取值0 0 投影投影的值的值| |b| |-|-|b| |正值正值负值负值零零图示图示(0,)2(, )223.3.实数中成立，向量中不成

8、立的结论实数中成立，向量中不成立的结论(1)a(1)ab=0b=0可推出可推出a=0a=0或或b=0b=0；但是；但是ab=0=0推不出推不出a= =0或或b= =0. .(2)a(2)ab=cb=cb b，b0b0可推出可推出a=ca=c；但是但是ab= =cb，b0推不出推不出a= =c. .(3) (3) 可推出可推出 但是但是 推不出推不出(4)|a|=|b|(4)|a|=|b|可推出可推出|a|ac|=|bc|=|bc c| |但是但是| |a|=|=|b| |推不出推不出| |ac|=|=|bc|.|.(5)(a(5)(ab)b)2 2=a=a2 2b b2 2但是但是( (ab)

9、 )2 2a2 2b2 2. .2a bb ab ；2 a bb. ab类型类型 一一 数量积及其几何意义数量积及其几何意义 【典型例题【典型例题】1.1.已知已知| |a| |6 6，| |b| |3 3，ab-12-12，则向量，则向量a在向量在向量b方向方向上的投影是上的投影是( )( )A.-4 B.4 C.-2 D.2A.-4 B.4 C.-2 D.22.(20132.(2013唐山高一检测唐山高一检测) )若等腰若等腰ABCABC的底边的底边BCBC长为长为4 4，则，则 的值为的值为_._.BA BC 3.3.在平行四边形在平行四边形ABCDABCD中，已知中，已知ABAB2 2

10、，ADAD1 1，BADBAD6060，E E为为CDCD的中点，设的中点，设(1)(1)试用试用a，b表示表示 和和 (2)(2)求求AB,AD ，abAEBD. AE BD. 【解题探究【解题探究】1.1.如何用如何用| |a| |，| |b| |，ab表示向量表示向量a在向量在向量b方向上的投影？方向上的投影？2.2.向量向量 与向量与向量 的夹角是什么？的夹角是什么？3.(1)3.(1)用用a，b表示表示 的依据是什么？的依据是什么？用用a，b表示表示 的依据是什么？的依据是什么？(2)(2)利用第利用第(1)(1)问的结论，求问的结论，求 可以转化为求什么？可以转化为求什么？BABC

11、 AE BD AE BD 探究提示：探究提示：1.1.向量向量a在向量在向量b方向上的投影可表示为方向上的投影可表示为2.2.向量向量 与向量与向量 的夹角是的夹角是ABCABC，是锐角，是锐角. .3.(1)3.(1)用用a，b表示表示 的依据是向量加法的三角形法则和数的依据是向量加法的三角形法则和数乘向量的几何意义乘向量的几何意义. .用用a，b表示表示 的依据是向量减法的几的依据是向量减法的几何意义何意义. .(2)(2)利用第利用第(1)(1)问的结论，求问的结论，求 可以转化为求可以转化为求ab，a2 2，b2 2. .a bbBABC AE BD AE BD 【解析【解析】1.1.

12、选选A.A.设向量设向量a与向量与向量b的夹角为的夹角为，则向量，则向量a在向量在向量b方向上的投影为方向上的投影为2.2.如图，过如图，过A A作作ADBCADBC，垂足为，垂足为D D，因为因为AB=ACAB=AC，所以，所以BD= BC=2BD= BC=2，于是于是所以所以答案：答案：8 8cos4. a bab1211BA cos ABCBDBC4222 ，BA BCBA BC cos ABC428. 3.(1)3.(1)因为因为E E为为CDCD的中点，的中点，所以所以所以所以(2)(2)111 DEDCAB22211 AEADDEADAB22BDADAB. ，aabba222211

13、1 AE BD) 2221111 2 1 cos 602122223.2 （）（abbaa ba ab bb aa bab【互动探究【互动探究】在题在题2 2的条件下求的条件下求【解析【解析】如图，作如图，作 向量向量 与向量与向量 的夹角是的夹角是ABCABC的补角的补角. .于是于是AB BC. AEBC ，ABBC AB BCAB BC cosABCAB BC cos ABC8. 【拓展提升【拓展提升】求平面向量数量积的两个方法求平面向量数量积的两个方法(1)(1)定义法：若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式定义法：若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式ab= =abcoscos .

14、.运用此法计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条运用此法计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件合以上条件. .(2)(2)几何意义法：若已知一向量的模及另一向量在该向量上的几何意义法：若已知一向量的模及另一向量在该向量上的射影，可利用数量积的几何意义求射影，可利用数量积的几何意义求ab. .【变式训练【变式训练】已知已知| |a| |3 3，| |b| |6 6，(1)(1)当当ab时，求时，求ab. .(2)(2)ab时，求时，求ab. . (3)(3)a与与b的夹角

15、是的夹角是6060时，求时，求ab. .【解析【解析】(1)(1)当当ab时，若时，若a与与b同向，则它们的夹角同向，则它们的夹角0 0，所以所以ab| |a|b|cos|cos 0 03 36 61 11818；若若a与与b反向，则它们的夹角反向，则它们的夹角180180，所以所以ab| |a|b|cos|cos 180 1803 36 6(-1)(-1)-18.-18.(2)(2)当当ab时，它们的夹角时，它们的夹角9090，所以，所以ab0.0.(3)(3)当当a与与b的夹角是的夹角是6060时，时，有有ab| |a|b|cos|cos 60 603 36 6 9.9.12类型类型 二二

16、 与向量的模有关的问题与向量的模有关的问题 【典型例题【典型例题】1.1.设向量设向量a, ,b满足满足| |a|=|=|b|=1,|3|=1,|3a-2-2b|=3|=3，则，则|3|3a+ +b|=_.|=_.2.(20132.(2013曲阜高一检测曲阜高一检测) )已知向量已知向量a，b的夹角为的夹角为6060，且，且| |a|=2|=2，| |b|=1|=1，若，若c=2=2a- -b，d= =a+2+2b，求：，求：(1)(1)cd. (2)|. (2)|c+2+2d|.|.【解题探究【解题探究】1.1.求向量的模的依据是什么？基本步骤是什么？求向量的模的依据是什么？基本步骤是什么？

17、2.2.解答第解答第2 2题的步骤是什么？题的步骤是什么？探究提示：探究提示：1.1.求向量的模的依据是求向量的模的依据是| |a| |2 2= =a2 2. .基本步骤是先求基本步骤是先求a2 2，再由再由| |a|= |= 求求a的模的模. .2.2.先求先求ab，再求，再求cd和和( (c+2+2d) )2 2，最后求，最后求| |c+2+2d|.|.2a【解析【解析】1.1.因为因为|3|3a-2-2b|=3|=3，所以所以|3|3a-2-2b| |2 2=(3=(3a-2-2b) )2 2=9=9a2 2-12-12ab+4+4b2 2=9=9，所以所以9|9|a| |2 2-12-

18、12ab+4|+4|b| |2 2=9=9，又因为又因为| |a|=|=|b|=1|=1，所以，所以9-129-12ab+4=9+4=9，ab= =|3|3a+ +b| |2 2=(3=(3a+ +b) )2 2=9=9a2 2+6+6ab+ +b2 2，=9+6=9+6 +1=12 +1=12，所以所以|3|3a+ +b|=|=答案：答案：13，132 3.2 32.2.因为向量因为向量a与与b的夹角为的夹角为6060，| |a|=2|=2，| |b|=1|=1，所以所以ab=|=|a|b|cos|cos 60 60=1=1，因为，因为c=2=2a- -b，d= =a+2+2b，(1)(1)

19、cd=(2=(2a- -b) )( (a+2+2b)=2)=2a2 2+3+3ab-2-2b2 2=2|=2|a| |2 2+3+31-2|1-2|b| |2 2=2=22 22 2+3-2+3-21 12 2=9.=9.(2)(2)因为因为c+ +2 2d=(2=(2a- -b)+2()+2(a+2+2b)=4)=4a+3+3b, ,( (c+2+2d) )2 2=(4=(4a+3+3b) )2 2=16=16a2 2+24+24ab+9+9b2 2=16|=16|a| |2 2+24+241+9|1+9|b| |2 2=16=162 22 2+24+241+91+91=97,1=97,所以

20、所以| |c+2+2d| |2 2=97=97，所以，所以| |c+2+2d|=|=97【拓展提升【拓展提升】巧用公式求向量的模巧用公式求向量的模(1)(1)基本方法基本方法利用数量积求解模的问题，解决的方法是对向量进行平方，利用数量积求解模的问题，解决的方法是对向量进行平方，即利用公式：即利用公式：a2 2=|=|a| |2 2，从而达到将向量转化为实数的目的，从而达到将向量转化为实数的目的. .(2)(2)常用公式常用公式由于平面向量的数量积满足数乘结合律、交换律、分配律以由于平面向量的数量积满足数乘结合律、交换律、分配律以及具有性质及具有性质a2 2=|=|a| |2 2，因而向量的线性

21、运算与数量积的混合运，因而向量的线性运算与数量积的混合运算类似于实数的多项式运算算类似于实数的多项式运算. .常见的有以下公式：常见的有以下公式：( (a-b) )( (a+ +b)=)=a2-b2=|=|a| |2 2-|-|b| |2 2；| |ab| |2 2=(=(ab) )2 2= =a2 22 2ab+ +b2 2. .【变式训练【变式训练】已知已知| |a|=4|=4，| |b|=3|=3，(2(2a-3-3b)(2)(2a+ +b)=61,)=61,求求| |a+ +b|.|.【解题指南【解题指南】先由已知条件求出先由已知条件求出ab，然后利用然后利用| |a+ +b| |2

22、2=(=(a+ +b) )2 2求求| |a+ +b| |2 2，最后求，最后求| |a+ +b|.|.【解析】【解析】因为因为(2(2a-3-3b) )(2(2a+ +b)=61)=61，所以所以4 4a2 2+2+2ab-6-6ab-3-3b2 2=61=61，所以所以4|4|a| |2 2-4-4ab-3|-3|b| |2 2=61=61，又因为又因为| |a|=4|=4，| |b|=3|=3，所以所以4 44 42 2-4-4ab-3-33 32 2=61=61，ab=-6=-6，| |a+ +b| |2 2=(=(a+ +b) )2 2= =a2 2+2+2ab+ +b2 2=4=4

23、2 2+2+2(-6)+3(-6)+32 2=13=13，所以所以| |a+ +b|=|=13.类型类型 三三 向量的夹角和垂直问题向量的夹角和垂直问题 【典型例题】【典型例题】1.(20131.(2013沧州高一检测沧州高一检测) )平面内三个向量平面内三个向量a，b，c满足满足| |a| |=|=|b|=1|=1，| |c|= |= 且且a+ +b+ +c= =0, ,则向量则向量a，b的夹角大小是的夹角大小是_._.2.2.已知已知| |a|=1|=1，| |b|=2|=2，a- -b与与a垂直，求当垂直，求当k k为何值时，为何值时，(k(ka- -b)()(a+2+2b) )？3，【

24、解题探究】【解题探究】1.1.依据向量数量积的定义，如何求向量依据向量数量积的定义，如何求向量a，b的夹角？的夹角？2.2.如果两个向量垂直，这两个向量数量积是多少？如果两个向量垂直，这两个向量数量积是多少？探究提示：探究提示：1.1.首先求两个向量首先求两个向量a，b夹角的余弦值，然后根据向量夹角的夹角的余弦值，然后根据向量夹角的取值范围求角取值范围求角. .2.2.如果两个向量垂直，这两个向量数量积是零如果两个向量垂直，这两个向量数量积是零. .【解析】【解析】1.1.由由a+ +b+ +c= =0, ,可得可得a+ +b=-=-c, ,则则( (a+ +b) )2 2=(-=(-c) )

25、2 2，得，得a2 2+ +b2 2+ +2 2ab= =c2 2，因为因为| |a|=|=|b|=1|=1，| |c|=|=设向量设向量a与与b的夹角为的夹角为，则有，则有1+1+21+1+21 11 1cos =cos =解得解得cos = cos = 又又0,0,，所以所以=答案：答案：3，2( 3) ，12，.332.2.因为因为a- -b与与a垂直，垂直，所以所以( (a- -b) )a=0=0，所以所以a2 2- -ab=0,=0,所以所以ab=|=|a| |2 2=1=1，要使得要使得(k(ka- -b)()(a+2+2b) )，只要只要(k(ka- -b) )( (a+2+2b

26、)=0)=0，即即k|k|a| |2 2+(2k-1)+(2k-1)ab-2|-2|b| |2 2=0=0，所以所以k+(2k-1)-2k+(2k-1)-22 22 2=0=0，所以所以k=3.k=3.【拓展提升】【拓展提升】1.1.求向量夹角的基本步骤求向量夹角的基本步骤2.2.注意事项注意事项在个别含有在个别含有| |a| |，| |b| |与与ab的等量关系式中，常利用消元思的等量关系式中，常利用消元思想计算想计算cos cos 的值的值. .【变式训练】【变式训练】已知已知| |a| |1 1，ab ( (a- -b)()(ab) )(1)(1)求求a与与b的夹角的夹角. .(2)(2

27、)求求a- -b与与ab的夹角的余弦值的夹角的余弦值. .12，1.2【解析】【解析】(1)(1)因为因为( (a- -b) )( (ab) )所以所以| |a| |2 2-|-|b| |2 2又因为又因为| |a| |1 1，所以所以| |b| |设设a与与b的夹角为的夹角为，则，则又因为又因为0 0，所以所以12，12，21222 ，a122cos2212，a ba b.4(2)(2)因为因为( (a- -b) )2 2a2 2-2-2abb2 2所以所以| |a- -b| |又又( (ab) )2 2a2 22 2abb2 2所以所以| |ab| |设设ab与与a- -b的夹角为的夹角为

28、，则则11112222 ，2.21151 2222 ，10.21()52cos.| |521022abababab【典型例题】【典型例题】1.1.在在ABCABC中，满足中，满足 ， 若若M M是是BCBC的中点，的中点，O O是线段是线段AMAM上任意一点，则上任意一点，则 的最小值为的最小值为_._.2.2.已知已知a, ,b是非零向量是非零向量. .(1)(1)若若ab，判断函数，判断函数f(x)=(xf(x)=(xa+ +b)(x)(xb- -a) )的奇偶性的奇偶性. .(2)(2)若若f(x)f(x)为奇函数，证明：为奇函数，证明：ab. .数量积的综合应用数量积的综合应用ABAC

29、2 ，OA OBOC OA ABAC 【解析】【解析】1.1.因为因为 M M是是BCBC的中点，的中点， 所以所以设设 则则 而而所以所以当且仅当当且仅当x= x= 时，时， 取最小值取最小值答案：答案：ABAC2, ABAC ，AM1. OAxOM1xOBOC2OM, ， ， 22 OA OBOC OAOA OBOC2OA OM112 OA OM cos 2x 1x2x2x.2(x).22 12OA OBOC OA 1.2122.(1)f(x)=x2.(1)f(x)=x2 2ab+(+(b2 2- -a2 2)x-)x-ab, ,因为因为ab, ,所以所以ab=0=0，所以，所以f(x)=

30、(f(x)=(b2 2- -a2 2)x.)x.当当| |a|b| |时，时，f(x)f(x)为奇函数为奇函数. .当当| |a|=|=|b| |时，时，f(x)f(x)既是奇函数又是偶函数既是奇函数又是偶函数. .(2)(2)因为因为f(x)f(x)为奇函数，为奇函数，所以所以f(-x)=- f(x)f(-x)=- f(x)对于对于xRxR恒成立，恒成立，所以所以f(0)=0,f(0)=0,即即- -ab=0, ,又又a, , b是非零向量，故是非零向量，故ab. .【拓展提升】【拓展提升】平面向量的综合应用平面向量的综合应用平面向量的代数与几何双重身份必然成为知识的交汇点平面向量的代数与几

31、何双重身份必然成为知识的交汇点. .平面平面向量作为一种运算工具，经常与函数、不等式、三角函数等向量作为一种运算工具，经常与函数、不等式、三角函数等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的条件可以得到关于该未知数的关系式平行或垂直的条件可以得到关于该未知数的关系式. .在此基础在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数的综合问题上，可以求解有关函数、不等式、三角函数的综合问题. .【易错误区】【易错误区】不清楚两个向量夹角的概念和数量积运算律致误不清楚两个向量夹角的概念和数量积运算律致误【典例】【典例】(2013(

32、2013牡丹江高一检测牡丹江高一检测) )在在ABCABC中，已知中，已知A=120A=120，B=C=30B=C=30，AB=AC=1AB=AC=1，则，则AB BCBC CACA AB_. 【解析】【解析】过过A A作作ADBCADBC，垂足为，垂足为D D，因为因为AB=ACAB=AC，所以，所以BC=2BD=2BC=2BD=2ABABcos B=cos B=方法一：方法一：所以所以32 132 ，33AB BCAB BC13()2233BC CABC CA3 1 ()cos 18030cos 182211CA ABCA AB1 1030cos 18022 AB BCBC CACA AB

33、120 ，3315.2222 方法二：方法二：答案：答案：BC (ABCAAB BCBC CACA ABCA ABBC CBCA AB33cos 0)BC BC1 1 cos 1201A53.2C AB2 52【误区警示】【误区警示】【防范措施】【防范措施】1.1.正确理解向量夹角的概念正确理解向量夹角的概念在以平面图形为背景的数量积问题中，关键是求向量夹角，在以平面图形为背景的数量积问题中，关键是求向量夹角，此时要注意让两个向量共起点才能找准向量的夹角此时要注意让两个向量共起点才能找准向量的夹角. .如本例如本例中中 与与 的夹角是角的夹角是角B B的补角而不是角的补角而不是角B.B.ABB

34、C 2.2.巧用数量积的运算律简化运算巧用数量积的运算律简化运算数量积运算过程中，逆用和巧用的运算律可以凑出满足向量数量积运算过程中，逆用和巧用的运算律可以凑出满足向量加法加法( (减法减法) )三角形法则的形式，从而实现简化运算三角形法则的形式，从而实现简化运算. .如本例如本例中，经过中，经过 的变形后，的变形后， 可可用向量加法的三角形法则简化为用向量加法的三角形法则简化为 进而只要计算进而只要计算 即可即可. .AB BCBC CABC (ABCA) ABCA CB ，2BC 【类题试解】【类题试解】(2013(2013天津高考天津高考) )在平行四边形在平行四边形ABCDABCD中中,AD=1,BAD=60,AD=1,BAD=60,E,E为为CDCD的中点的中点. .若若 则则ABAB的长为的长为_._.【解题指南】【解题指南】根据向量的加法及平面向量的基本定理由根据向量的加法及平面向量的基本定理由 表示表示 再由再由 求求ABAB的长的长. .AC BE1, AD ABAC BE, ， ，AC BE1 ，【解析】【解析】因为因为所以所以所以所以 解得解得答案：答案：11BEBAADD