建筑力学静定平面桁架

1、结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:11第第五五章章 静定平面桁架静定平面桁架 5-1 平面桁架的计算简图平面桁架的计算简图5-2 结点法结点法5-3 截面法截面法5-4 截面法与截面法与结点法的联合应用结点法的联合应用5-5 各式桁架比较各式桁架比较5-6 组合结构的计算组合结构的计算结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:11 桁架是由杆件相互连接组成的桁架是由杆件相互连接组成的格构状体系格构状体系，它，它的结点均为的结点均为完全铰结完全铰结的结点，它受力合理用料省，的结点，它受力合理用料省，在建筑工程中得到广泛的应用。在建筑工程中得到广泛的应用。1 1、桁架的计算简图、桁架的计算简图

2、(truss structure)(truss structure)128m64m16m武汉长江大桥所采用的桁架型式武汉长江大桥所采用的桁架型式屋架屋架计算简图计算简图 5-1 平面桁架的计算简图平面桁架的计算简图结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:11纵梁纵梁主桁架主桁架 横梁横梁空间桁架荷载传递途径：空间桁架荷载传递途径：荷载传递荷载传递: : 轨枕轨枕- - 纵梁纵梁- - 结点横梁结点横梁- - 主桁架主桁架 5-1 平面桁架的计算简图平面桁架的计算简图结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:11Top chardBottom chardVertical chardDiagonal

3、 chard 桁架各部分名称：桁架各部分名称： 5-1 平面桁架的计算简图平面桁架的计算简图结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:11桁架计算简图假定：桁架计算简图假定：(1) 各杆在两端用绝对光滑而无摩擦的铰（理想铰）相互联结。各杆在两端用绝对光滑而无摩擦的铰（理想铰）相互联结。 (2) 各杆的轴线都是直线各杆的轴线都是直线, ,而且处在同一平面内，并且通过铰而且处在同一平面内，并且通过铰的几何中心。的几何中心。 (3) 荷载和支座反力都作用在结点上荷载和支座反力都作用在结点上, ,其作用线都在桁架平面其作用线都在桁架平面内。内。思考思考: : 实际桁架是否完全符合上述假定实际桁架是否完全

4、符合上述假定? ? 按理想桁架算出的内力，各杆只有轴力按理想桁架算出的内力，各杆只有轴力。 实际桁架不完全符合上述假定实际桁架不完全符合上述假定, , 但但次内力的次内力的影响是次要的。影响是次要的。 5-1 平面桁架的计算简图平面桁架的计算简图实际桁架与理想桁架之间的差异引起的杆件弯曲，实际桁架与理想桁架之间的差异引起的杆件弯曲，由此引起的内力。由此引起的内力。结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:112 2、桁架的分类、桁架的分类 5-1 平面桁架的计算简图平面桁架的计算简图结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:11 5-1 平面桁架的计算简图平面桁架的计算简图结构力学中南大学中南大学

5、返 回退 出3:11 5-1 平面桁架的计算简图平面桁架的计算简图结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:11（combined truss）（complicated truss） 5-1 平面桁架的计算简图平面桁架的计算简图 （simple truss）结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:11 5-1 平面桁架的计算简图平面桁架的计算简图结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:11二、桁架的内力计算二、桁架的内力计算1. 结点法结点法和和截面法截面法结点法结点法最适用于计算简单桁架。最适用于计算简单桁架。 取结点为隔离体，建立（汇交力系）平衡方程求解。取结点为隔离体，建立（汇交力系）平衡

6、方程求解。原则上应使每一结点只有两根未知内力的杆件。原则上应使每一结点只有两根未知内力的杆件。 通常假定未知的轴力为拉力，计算结果得负值表示轴通常假定未知的轴力为拉力，计算结果得负值表示轴力为压力。力为压力。 5-2 结点法结点法结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:11ABCDEFGH2 m 4=8 m2 m10 kN10 kN10 kN5 kN5 kN20 kN20 kN例例5-1 试用结点法求三角形桁架各杆轴力。试用结点法求三角形桁架各杆轴力。解解: (1) 求支座反力。求支座反力。 0 xAFkN 02yAFkN 02yBF()() () () (2) 依次截取结点依次截取结点A，G

7、，E，C，画出受力图，画出受力图，由平衡条件求其未知轴力。由平衡条件求其未知轴力。5-2 结点法结点法结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:11取取A点为隔离体，由点为隔离体，由 0X0cosNNAGAEFF0Y0coskN 5kN 20NAEF（拉）（拉） kN 305233.5cosNNAEAGFF所以所以 5 kNAFFNNAEAG20 kNABCDEFGH2 m 4=8 m2 m10 kN10 kN10 kN5 kN5 kN20 kN20 kN（压）（压）kN 33.545kN 15NAEF有有5-2 结点法结点法结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:11取取G点为隔离体点为隔离体

8、0XkN 30NNGAGDFF0Y0NGEFFFFGNGEGAGDNNABCDEFGH2 m 4=8 m2 m10 kN10 kN10 kN5 kN5 kN20 kN20 kN5-2 结点法结点法结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:11ABCDEFGH2 m 4=8 m2 m10 kN10 kN10 kN5 kN5 kN20 kN20 kN取取E点为隔离体，由点为隔离体，由0X0coscoscosNNNEAEDECFFFkN .5433NNEDECFF0Y0kN 10sinsin-sinNNNEAEDECFFF5 .33510NNEDECFFE10 kNFFFNEANECNED联立解出联立

9、解出kN 22.36NECFkN .1811NEDF，5-2 结点法结点法结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:11ABCDEFGH2 m 4=8 m2 m10 kN10 kN10 kN5 kN5 kN20 kN20 kN取取C点为隔离体，由点为隔离体，由FCFFCDFNCCENN10 kNkN 1022.36kN)(512kN 10NCDFkN 63 .22NNCECHFF得得0X0NNCHCEFF，0Y0sin210kNNNCDCEFF，5-2 结点法结点法结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:11 可以看出，桁架在对称轴右边各杆的内力与左可以看出，桁架在对称轴右边各杆的内力与左边是对

10、称相等的。边是对称相等的。 结论：对称结构，荷载也对称，则内力也结论：对称结构，荷载也对称，则内力也是对称的。是对称的。ABCDEFGH2 m 4=8 m2 m10 kN10 kN10 kN5 kN5 kN20 kN20 kN5-2 结点法结点法结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:11以结点作为平衡对象，结点承受汇交力系作用。以结点作为平衡对象，结点承受汇交力系作用。按与按与“组成顺序相反组成顺序相反”的原则，逐次建立各结点的原则，逐次建立各结点的平衡方程，则桁架各结点未知内力数目一定不超的平衡方程，则桁架各结点未知内力数目一定不超过独立平衡方程数。过独立平衡方程数。由结点平衡方程可求得桁

11、架各杆内力。由结点平衡方程可求得桁架各杆内力。小结小结: :5-2 结点法结点法结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:11 1. 1. 对于一些特殊的结点，可以应用平衡条件直对于一些特殊的结点，可以应用平衡条件直接判断该结点的某些杆件的内力为零。接判断该结点的某些杆件的内力为零。 零杆零杆 ( (1) ) 两杆交于一点，若两杆交于一点，若结点无荷载结点无荷载，则两杆的内力都，则两杆的内力都为为零零。0= F N1N2F= N1F N2F5-2 结点法结点法结点法计算简化的途径：结点法计算简化的途径：结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:11 ( (2) ) 三杆交于一点，其中两杆共线，若三

12、杆交于一点，其中两杆共线，若结点无荷载结点无荷载，则，则第三杆是零杆第三杆是零杆，而在直线上的两杆内力大小相等，且性质相，而在直线上的两杆内力大小相等，且性质相同（同为拉力或压力）同（同为拉力或压力）。FN 2FN 1N 3FFN 3= 0= FN 2N 1F 5-2 结点法结点法结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:11 ( (3) ) 四杆交于一点，其中两两共线，若四杆交于一点，其中两两共线，若结点无荷载结点无荷载，则，则在同一直线上的两杆内力大小相等，且性质相同。在同一直线上的两杆内力大小相等，且性质相同。 F F F= = FF FFF N1N4N2N1N2N3N4N2FF N1=

13、FN2N1F = F N3F N3F F N3F F F= = FF FFF N1N4N2N1N2N3N4N2FF N1= FN2N1F = F N3F N3F F N3 推论，推论，若将其中一杆换成外力若将其中一杆换成外力F，则与，则与F 在同一直在同一直线上的杆的内力大小为线上的杆的内力大小为F ，性质与，性质与F 相同。相同。5-2 结点法结点法结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:11 ( (4) ) 四杆交于一点，其中两两共线，若四杆交于一点，其中两两共线，若结点无荷载结点无荷载，则，则在同一直线上的两杆内力大小相等，且性质相同。在同一直线上的两杆内力大小相等，且性质相同。 F F

14、 F= = FF FFF N1N4N2N1N2N3N4N2FF N1= FN2N1F = F N3F N3F F N3F F F= = FF FFF N1N4N2N1N2N3N4N2FF N1= FN2N1F = F N3F N3F F N35-2 结点法结点法结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:11 值得注意：值得注意：若事先把零杆剔出后再进行计算，若事先把零杆剔出后再进行计算，可使计算大为简化。可使计算大为简化。5-2 结点法结点法FP/2FP/2FPFPFP结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:11零杆零杆: 轴力为零的杆轴力为零的杆0000PPP P练习练习: 试指出零杆试指出零

15、杆受力分析时可以去掉零杆受力分析时可以去掉零杆,是否说该杆在结构中是可是否说该杆在结构中是可有可无的有可无的?5-2 结点法结点法结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:110000P5-2 结点法结点法练习练习: 试指出试指出零杆零杆PPP结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:11PPPPPP返回5-2 结点法结点法练习练习: 试指出试指出零杆零杆0000P结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:11 下图示对称结构在正对称下图示对称结构在正对称荷载作用下，若荷载作用下，若A 点无外荷点无外荷载，则位于对称轴上的载，则位于对称轴上的杆杆1、2都是零杆都是零杆。FAF12P练习练习: 试指出

16、试指出零杆零杆5-2 结点法结点法为什么为什么?结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:11FAyFBy结点法计算简化的途径：结点法计算简化的途径： 2. 2.对称结构受对称荷载作用对称结构受对称荷载作用, , 内力和反力均为对称内力和反力均为对称: :受反对称荷载作用受反对称荷载作用, , 内力和反力均为反对称。内力和反力均为反对称。FAyFBy5-2 结点法结点法结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:11应用范围应用范围 1 1、求指定杆件的内力；、求指定杆件的内力； 2 2、计算联合桁架。、计算联合桁架。截面法定义截面法定义: : 作一截面将桁架分成两部分，然后任取一部分为隔离体作一截

17、面将桁架分成两部分，然后任取一部分为隔离体( (隔离体包含一个以上的结点隔离体包含一个以上的结点) )，根据平衡条件来计算所截，根据平衡条件来计算所截杆件的内力。杆件的内力。联合桁架联合桁架(联合杆件联合杆件)指定杆件指定杆件(如斜杆如斜杆) 5-3 截面法截面法结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:11截面法计算步骤截面法计算步骤 2. 作截面作截面( (用平截面，也可用曲截面用平截面，也可用曲截面) )截断桁架，取隔离体；截断桁架，取隔离体； 3. (1)选取矩心，列力矩平衡方程选取矩心，列力矩平衡方程(力矩法力矩法)(2)列投影方程列投影方程(投影法投影法)；4. 解方程。解方程。1.

18、 求反力求反力(同静定梁同静定梁)；注意事项注意事项1、尽量使所截断的杆件不超过三根、尽量使所截断的杆件不超过三根(隔离体上未知力不超过三个隔离体上未知力不超过三个)， 可一次性求出全部内力；可一次性求出全部内力；2、选择适宜的平衡方程，最好使每个方程中只包含一个未知力，、选择适宜的平衡方程，最好使每个方程中只包含一个未知力，避免求解联立方程。避免求解联立方程。3、若所作截面截断了三根以上的杆件，但只要在被截各杆中，、若所作截面截断了三根以上的杆件，但只要在被截各杆中，除一杆外，其余均汇交于一点除一杆外，其余均汇交于一点(力矩法力矩法)或均平行或均平行(投影法投影法)，则该杆，则该杆内力仍可首

19、先求得。内力仍可首先求得。分类分类 力矩法和投影法力矩法和投影法 5-3 截面法截面法结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:11示例示例1：试求图示桁架中杆试求图示桁架中杆EF、ED，CD，DG的内力。的内力。截面如何选择？截面如何选择？ 5-3 截面法截面法结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:11解解: : ( (1) ) 求出支座反力求出支座反力F FA A和和F FB B。 ( (2) ) 求下弦杆求下弦杆CDCD内力，利用内力，利用I-II-I截面截面 ，力矩法力矩法FAd-F1d-F20-FNCDh=0FNCD=(FAd-F1d-F20)/h与等代梁比较，得出：与等代梁比较，得

20、出：FNCD=M0E/h （自己总结）（自己总结） 当荷载向下时，当荷载向下时，M0E为正，为正，FNCD为拉力，即简支桁为拉力，即简支桁架下弦杆受拉。架下弦杆受拉。取取EFEF和和EDED杆的交点杆的交点E E为矩心，为矩心， CD杆内力臂为竖杆杆内力臂为竖杆高高h，由力矩平衡方程由力矩平衡方程ME=0，可求，可求CD杆内力。杆内力。 5-3 截面法截面法结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:11(3) 求求上弦杆上弦杆EF内力内力FA2d-F12d-F2d+FxEFH=0FxEF=-(FA2d-F12d-F2d)/H与等代梁比较，得出：与等代梁比较，得出： FxEF=-M0D/H，再由比

21、例关系求再由比例关系求FNEF。 当荷载向下时，当荷载向下时，M0D为正，为正，FNEF为压力，即简支桁为压力，即简支桁架上弦杆受压。架上弦杆受压。取取ED和和CD杆的交点杆的交点D为矩心，由力矩平衡方程为矩心，由力矩平衡方程MD=0，先求，先求EF杆的水平分力杆的水平分力FxEF，此时力臂即为桁，此时力臂即为桁高高H。 5-3 截面法截面法结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:11(4) 斜杆斜杆ED-FAa+F1a+F2(a+d)+FyED (a+2d) =0FyED=(FAa-F1a-F2(a+d)/ (a+2d) 再由比例关系求再由比例关系求FNED，其拉或压需视上式右端分子其拉或压

22、需视上式右端分子为正或为负而定。为正或为负而定。取取EF和和CD杆的延长线交点杆的延长线交点O为矩心，并将为矩心，并将FNED在在D点分解为水平和竖向分力点分解为水平和竖向分力FxED和和 FyED，由力矩平衡方，由力矩平衡方程程MO=0，先求，先求ED杆的竖向分力杆的竖向分力FyED，此时力臂即为，此时力臂即为a+2d。(5) DG杆如何求？杆如何求？利用利用II-IIII-II截面截面 ，投影法投影法 5-3 截面法截面法结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:11示例示例2：试求图示桁架试求图示桁架a 杆的内力。杆的内力。 解解 ( (1) ) 求支座反力。求支座反力。 ( (2) )直

23、接求出直接求出a 杆的位置困难。首先作截面杆的位置困难。首先作截面-，求出求出FNEC ，然后取结点然后取结点E 就可求出就可求出a 杆的轴力。杆的轴力。作截面作截面-，取截面左侧部份为隔离体，由，取截面左侧部份为隔离体，由0JM06530575NECF故故 kN 87.5NECF30 kN 30 kN 30 kN 30 kN 30 kN75 kN75 kN2 m4 m5 m 6=30 mABDEGJMC11a30 kN 30 kNADEGJM75 kNFaECN 5-3 截面法截面法结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:11( (3) ) 取结点取结点E 为隔离体，由为隔离体，由0X0co

24、sNNECaFFkN .24945 .87592NaF思考：思考：是否还有不同的途径可以求出是否还有不同的途径可以求出FN？ EECNFNFaNFEG30 kN 30 kNADEGJM75 kNFaECN 5-3 截面法截面法结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:11用截面切开后，通过一个方程用截面切开后，通过一个方程可求出内力的杆可求出内力的杆.截面上被切断的未知轴力的截面上被切断的未知轴力的杆件只有三个杆件只有三个,三杆均为单杆三杆均为单杆.截面上被切断的未知轴力的截面上被切断的未知轴力的杆件除一个外交于一点杆件除一个外交于一点,该杆该杆为单杆为单杆.截面上被切断的未知轴力的截面上被切断

25、的未知轴力的杆件除一个均平行杆件除一个均平行, 该杆为单该杆为单杆杆.截面法技巧：截面法技巧： 5-3 截面法截面法结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:11 FPFPFPFPFPFP 5-3 截面法截面法结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:11平行情况平行情况FPFP 5-3 截面法截面法结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:11练习练习:求图示桁架指定杆件内力求图示桁架指定杆件内力( (只需指出所选截面即可只需指出所选截面即可) )PPbaPb 5-3 截面法截面法结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:11PcPPb 5-3 截面法截面法结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:1

26、1PaPbPcPb 5-3 截面法截面法结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:11PbPb 5-3 截面法截面法结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:11在桁架的计算中，结点法和截面法一般结合起来使用。在桁架的计算中，结点法和截面法一般结合起来使用。尤其当尤其当（）只求某几个杆力时；（）只求某几个杆力时； （）联合桁架或复杂桁架的计算。（）联合桁架或复杂桁架的计算。例例5-1 试求图示试求图示 K K 式桁架中式桁架中a 杆和杆和b b杆的内力。杆的内力。 如何合理选择截面？如何合理选择截面？ 杆件数大于杆件数大于3 5.4 截面法与截面法与结点法结点法的联合应用的联合应用结构力学中南大学

27、中南大学返 回退 出3:11截取结点截取结点K K为隔离体，为隔离体，由由K K形结点的特性可知形结点的特性可知( (结点法结点法) ) FNa=-FNc 或或 Fya=-Fyc 由截面由截面I-II-I(截面法截面法)根据根据Fy=0有有 3F-F/2-F-F+Fya-Fyc=0即即 F/2+2Fya=0 得得Fya=-F/4 由比例关系得由比例关系得 FNa=-F/45/3=-F/12截面法不能直接求解截面法不能直接求解 5.4 截面法与截面法与结点法结点法的联合应用的联合应用结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:11由截面由截面I-II-I(截面法截面法)根据根据MC=0即可求得即可求

28、得FNb，FNb=-(3F8-F/28-F4)/6=-8F/3也可作截面也可作截面II-II(曲截面曲截面)并取左半边为隔离并取左半边为隔离体，体，(更简捷更简捷)由由MD=0FNb6+3F8-F/28-F4=0 5.4 截面法与截面法与结点法结点法的联合应用的联合应用结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:11例例5-2 试求图示桁架试求图示桁架HCHC 杆的内力。杆的内力。 支座反力如图。支座反力如图。 取截面取截面I-II-I以左为隔离体，由以左为隔离体，由MF=0可得可得FNDE=905/4=112.5kN(拉拉)(截面法截面法-力矩法力矩法)由结点由结点E E的平衡得的平衡得 FNE

29、C=FNED=112.5kN (拉拉) 5.4 截面法与截面法与结点法结点法的联合应用的联合应用结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:11再取截面再取截面II-IIII-II以右为隔离体，由以右为隔离体，由MG=0并将并将FNHC在在C点分解为水平和竖向分力，可得点分解为水平和竖向分力，可得FxHC=(3015-112.56)/6=-37.5kN(拉拉)FyHC过铰过铰G，不产生力矩，先求，不产生力矩，先求FxHC(截面法截面法-力矩法力矩法)由几何关系由几何关系 FNHC=-40.4kN 5.4 截面法与截面法与结点法结点法的联合应用的联合应用结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:11对

30、称结构对称结构:几何形状和支座对某轴对称的结构几何形状和支座对某轴对称的结构. .对称荷载对称荷载:作用在对称结构对称轴两侧作用在对称结构对称轴两侧, ,大小相等大小相等, ,方向和作方向和作 用点对称的荷载用点对称的荷载反对称荷载反对称荷载:作用在对称结构对称轴两侧作用在对称结构对称轴两侧, ,大小相等大小相等, ,作用点作用点 对称对称, ,方向反对称的荷载方向反对称的荷载PP对称荷载对称荷载PP反对称荷载反对称荷载对称性的利用对称性的利用 结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:11对称结构的受力特点对称结构的受力特点:在对称荷载作用下内力是对称的在对称荷载作用下内力是对称的, , 在反

31、对称荷载作用下内力是反对称的在反对称荷载作用下内力是反对称的.PP0PPEACDB对称对称平衡平衡0NCDNCEFFPPEACDB反对称反对称ED平衡平衡ED0NEDF对称性的利用对称性的利用 结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:11例例:试求图示桁架试求图示桁架A支座反力支座反力.0对称荷载对称荷载P/2P/2反对称荷反对称荷载载P/2P/2a10PAa20)(10/30325, 0 PYaPaYMAAC反反对AY反AY)(6/023, 0 PYaPaYMAAB对对00BC0)(15/7PYYYAA反对AY对称性的利用对称性的利用 结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:11例例:试求图

32、示桁架各杆内力试求图示桁架各杆内力.PPP/2P/2P/2P/2P/2P/2P/2P/2对称性的利用对称性的利用 结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:11D3dFPFP3dCAHGEKB(a) 例例 3 : 3 : 试对图试对图(a)(a)所示桁架，所示桁架，1)1)分析并确定求解整个分析并确定求解整个桁架内力的路径；桁架内力的路径；2)2)寻找只计算杆寻找只计算杆a a轴力时的简捷方法，轴力时的简捷方法，并求出杆并求出杆a a轴力轴力 5.4 截面法与截面法与结点法结点法的联合应用的联合应用DFPFPCBAHGEKaIFPFPIIIII (b) v解：先求出支座反力，见图(b) 结构力学

33、中南大学中南大学返 回退 出3:11FNGEDFPAGKFPFNKHFNDC (c) 由图由图(c)(c)所示截面左侧隔离体求出截面截断的所示截面左侧隔离体求出截面截断的三根杆的轴力后，即可依次按结点法求出所三根杆的轴力后，即可依次按结点法求出所有杆的轴力。有杆的轴力。 利用截面利用截面I II I截开两简单桁架的连接处，取截截开两简单桁架的连接处，取截面任一侧为隔离体，见图面任一侧为隔离体，见图(c) (c) 5.4 截面法与截面法与结点法结点法的联合应用的联合应用结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:11见图见图(d) (d) ，由结点，由结点H H的结点单杆的结点单杆EHEH上的轴力，

34、再上的轴力，再由结点由结点E E（当杆（当杆EHEH轴力已知时，杆轴力已知时，杆a a既是结点既是结点E E上上的结点单杆）可求出杆的结点单杆）可求出杆a a的轴力。的轴力。 v 方法1： 5.4 截面法与截面法与结点法结点法的联合应用的联合应用FXaAHEFNEGFNECFPBFYa (d) 结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:11取截面取截面IIIIIIII下为隔离体，见图下为隔离体，见图(e)(e) BFXaAEFNEGFNECFPFNHBHFNHKFYa(e) v 方法2： 5.4 截面法与截面法与结点法结点法的联合应用的联合应用该隔离体上有该隔离体上有5 5根被截断的杆件，但有根

35、被截断的杆件，但有4 4根是交于一根是交于一点点A A的，因此利用以铰的，因此利用以铰A A为矩心的力矩方程，可直接为矩心的力矩方程，可直接求出杆求出杆a a的轴力。的轴力。 结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:11将杆将杆a a轴力在轴力在B B点分解，由点分解，由 0AMPPYaFdFdF32)2(31PPYaYaaNaFFFlLF35)32(25 5.4 截面法与截面法与结点法结点法的联合应用的联合应用结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:11dFPddd(a) 例例4 4 5.4 截面法与截面法与结点法结点法的联合应用的联合应用v 解：由上部结构的整体解：由上部结构的整体平衡条件

36、，求的支座反力如平衡条件，求的支座反力如图图(b)(b)所示。所示。 IIF=F /2ByPF =F /2AyPF=FAxP (b) 结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:11 0YF022222PNKAFF2PFNKAFv取截面取截面I II I右，可求该截面上的单杆右，可求该截面上的单杆AKAK的轴的轴力（当不利用结构的对称性时，这一步是解题力（当不利用结构的对称性时，这一步是解题的关键）。计算如下：的关键）。计算如下： 5.4 截面法与截面法与结点法结点法的联合应用的联合应用返回结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:11一、桁架的外形对内力的影响一、桁架的外形对内力的影响 桁架的外形

37、对桁架内力的分布有比较大的影响，桁架的外形对桁架内力的分布有比较大的影响，在设计时应根据这些影响来选择合适的桁架外型。在设计时应根据这些影响来选择合适的桁架外型。平行弦桁架平行弦桁架三角形桁架三角形桁架梯形桁架梯形桁架抛物线形桁架抛物线形桁架 hlFFFFFF/F/22hlFFFFFF/F/22hlFFFFFF/F/22hlFFFFFF/F/22 5.5 各式桁架比较各式桁架比较结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:11 1. 桁架的外形对弦杆内力的影响桁架的外形对弦杆内力的影响 等代梁等代梁 平行弦桁架，由截面平行弦桁架，由截面-截断桁架，取左侧部份为隔离截断桁架，取左侧部份为隔离体体,

38、, 对对结结点点7 取力矩求得取力矩求得hdFdFdFFFyA23)2(68NhF/2FFFFFF/26dFFB33h6dAB1234567822F/FFFFFF/F33F 5.5 各式桁架比较各式桁架比较结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:11 FN68的的分子相当于此桁架的等代梁上与结点分子相当于此桁架的等代梁上与结点7对应对应处截面的弯矩处截面的弯矩M70，分母分母h则为则为FN68对矩心的力臂。上对矩心的力臂。上式可写为式可写为:hMF0768NhdFdFdFFFyA23)2(68N M 0为等代梁上对应截面的弯矩。下弦杆受拉，为等代梁上对应截面的弯矩。下弦杆受拉，取正号；上弦受压

39、，取负号。取正号；上弦受压，取负号。同理，其他弦杆的力可以表示成类似的公式同理，其他弦杆的力可以表示成类似的公式hMFU0N 5.5 各式桁架比较各式桁架比较结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:11等代梁等代梁2.54.04.5M0FdFdFd 平行弦桁架平行弦桁架, ,h 为常数，弦杆的内力与为常数，弦杆的内力与M 0成比成比例变化。例变化。弦杆内力分的规律是：弦杆内力分的规律是：中间弦杆的内力较中间弦杆的内力较大而靠近支座处的弦杆内力较小。大而靠近支座处的弦杆内力较小。h6dAB1234567822F/FFFFFF/F33FhMFU0N结论：结论：hF/2FFFFFF/26dFFB33

40、 5.5 各式桁架比较各式桁架比较结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:11 三角形桁架三角形桁架，力臂，力臂h 值由两端向中间按直线规律递增，值由两端向中间按直线规律递增，而各结点对应的而各结点对应的M 0值按抛物线规律变化。力臂的增长比值按抛物线规律变化。力臂的增长比弯矩的增大来得快。弯矩的增大来得快。弦杆内力变化的是：弦杆内力变化的是：靠近支座处弦杆靠近支座处弦杆的内力较大而逐渐向跨中递减。的内力较大而逐渐向跨中递减。 梯形桁架梯形桁架，其形状介于平行弦桁架和三角形桁架之间，其形状介于平行弦桁架和三角形桁架之间，其内力相对比较均匀。其内力相对比较均匀。 抛物线桁架抛物线桁架，当计算下弦

41、杆的内力时，当计算下弦杆的内力时，M 0和和h 均按抛均按抛物线变化。下弦杆的内力为一常数。上弦杆内力的水平分物线变化。下弦杆的内力为一常数。上弦杆内力的水平分力也相等。整个桁架的上下弦杆的内力分布比较均匀。力也相等。整个桁架的上下弦杆的内力分布比较均匀。hF/FFFFFF/22lhMFU0N 5.5 各式桁架比较各式桁架比较结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:112. .桁架的外形对腹杆（竖杆或斜杆）内力的影响桁架的外形对腹杆（竖杆或斜杆）内力的影响 竖杆竖杆6-5( (或斜或斜杆杆6-7) )的内力可由的内力可由截面截面-( (或或-) )以左部份平衡以左部份平衡条件条件Y=0 求得。

42、求得。 竖杆的内力和竖杆的内力和斜杆内力的竖向分斜杆内力的竖向分力力, ,分别等于代梁对分别等于代梁对应 结 间 处 的 剪 力应 结 间 处 的 剪 力FS0 ，即，即 0SNyFF2.51.50.5-0.5-1.5-2.5F0sFFFFFFh6dAB1234567822F/FFFFFF/F33FhF/2FFFFFF/26dFFB33 5.5 各式桁架比较各式桁架比较结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:11由由 可见：可见： 腹杆的内力可正可负，其数值与代梁的剪力有关。腹杆的内力可正可负，其数值与代梁的剪力有关。 靠近支座外腹杆的内力较大，跨中的腹杆内力靠近支座外腹杆的内力较大，跨中的腹

43、杆内力较小。较小。 桁架的弦杆主要是承担弯矩而腹杆则主要承担桁架的弦杆主要是承担弯矩而腹杆则主要承担剪力。剪力。问：抛物线形桁架其腹杆的内力为零吗？问：抛物线形桁架其腹杆的内力为零吗？ 对于抛物线形桁架由于各结间的下弦杆内力均对于抛物线形桁架由于各结间的下弦杆内力均相等，故可判断其腹杆的内力均为零。相等，故可判断其腹杆的内力均为零。 上述几种类型的桁架中，抛物线形桁架的内上述几种类型的桁架中，抛物线形桁架的内力最为均匀，但构造复杂。在大跨度的结构中采力最为均匀，但构造复杂。在大跨度的结构中采用抛物线型桁架是一种比较合理的选择。用抛物线型桁架是一种比较合理的选择。0SNyFF 5.5 各式桁架比

44、较各式桁架比较结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:11二、桁架的应用二、桁架的应用（1）平行弦桁架有利于标准化，便于制作和施工拼平行弦桁架有利于标准化，便于制作和施工拼装；适用于轻型桁架，采用一致截面的弦杆而不至装；适用于轻型桁架，采用一致截面的弦杆而不至于有很大的浪费。于有很大的浪费。（2）三角形桁架符合屋顶构造需要，常在屋架中采三角形桁架符合屋顶构造需要，常在屋架中采用，其端结点构造布置较为困难。用，其端结点构造布置较为困难。（3）抛物线形桁架内力分布均匀，材料使用较为经抛物线形桁架内力分布均匀，材料使用较为经济，但结点构造复杂，适合于跨度较大的桥梁和屋济，但结点构造复杂，适合于跨度较

45、大的桥梁和屋架。架。 5.5 各式桁架比较各式桁架比较结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:11FP如何如何 计算？计算？结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:11比较内力比较内力结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:11 组合结构定义：组合结构定义： 链杆只受轴力，受弯杆件同时受有弯矩和剪力。链杆只受轴力，受弯杆件同时受有弯矩和剪力。 受力特点：受力特点： 组合结构是指由链杆和受弯杆件混合组成的结构。组合结构是指由链杆和受弯杆件混合组成的结构。 5.6 组合结构的计算组合结构的计算结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:11 分析步骤：分析步骤：先求反力，然后计算各链杆轴力，最后分析受

46、弯杆件。先求反力，然后计算各链杆轴力，最后分析受弯杆件。选择恰当方法解决关键杆内力计算选择恰当方法解决关键杆内力计算选择截面时，必须注意区分两类杆选择截面时，必须注意区分两类杆求解的关键点求解的关键点: : 求解此类结构的方法应与求解梁的方法和求解桁求解此类结构的方法应与求解梁的方法和求解桁架的方法结合应用。架的方法结合应用。 5.6 组合结构的计算组合结构的计算结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:11例例5-3 试分析图示组合结构的内力。试分析图示组合结构的内力。 1 1）首先求出反力）首先求出反力 8 kN2 m2 m2 m4 m4 m4 mABCDEGF5 kNII3 kN 2 2）

47、一般情况下应先计算链杆的轴力一般情况下应先计算链杆的轴力取隔离体时宜尽量避免截断受弯杆件取隔离体时宜尽量避免截断受弯杆件56-612-656 5.6 组合结构的计算组合结构的计算下一页上一页结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:11作截面作截面I-II-I拆开铰拆开铰C C并截断拉杆并截断拉杆DEDE，取右边为隔离体，取右边为隔离体，由由MC=0 有有3kN8m-FNDE2=0 得得FNDE=12kN(拉力拉力) 分别取结点分别取结点D D、E = E = F FNFDNFD 、 F FNADNAD 、F FNEG NEG 、 F FNEBNEB 3 3）分析受弯杆件分析受弯杆件 取取AC杆

48、为隔离体，考虑其平衡可得杆为隔离体，考虑其平衡可得FCH=12kN()， FCV=3kN()绘制内力图绘制内力图 5.6 组合结构的计算组合结构的计算下一页上一页结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:11例例5-4 组合结构如图示，试求组合结构如图示，试求AC 杆的内力图。杆的内力图。 解解: AC杆、杆、CB杆是承受弯曲的杆件。杆是承受弯曲的杆件。0 xAF(1) 求支座反力求支座反力ddddABCEDGF21.751.25FFFdFHxA)(47FFyA)(45FFyB, , 5.6 组合结构的计算组合结构的计算结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:11(2) 作截面作截面-，考虑左半

49、部分平衡。，考虑左半部分平衡。由由 ， ， 得得0Y0247NCYFFFFFCY41NFNFF21.75AEDCCXCYNNFFEHddddABCEHDGF21.751.25FFFd02247NdFdFdFEH0cM由由FFEH23N得得由由 ， ，得，得0NNEHCXFFFFCX23N0X 5.6 组合结构的计算组合结构的计算结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:11由由 ， ，得，得02345cosNFFEA0X(3) 取铰取铰E为隔离体为隔离体(压）FFEA223N(拉）FFFED2321223NEFFNNEDEA1.5FFNFF21.75AEDCCXCYNNFFEH由由 ， ， 得得

50、045sinNNEDEAFF0Y 5.6 组合结构的计算组合结构的计算结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:11(4) 作作AC 杆的内力图。杆的内力图。 考虑截面考虑截面-右侧部分平衡，可以作用类似右侧部分平衡，可以作用类似方法和步骤求得方法和步骤求得CB 杆的内力图。杆的内力图。FNFN21.75ADCEDAEFFF1.5F0.25M0.25Fd 0.25 F 0.25 FFS1.5FNF 5.6 组合结构的计算组合结构的计算结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:11 思考：思考：取隔离体时取隔离体时,可否用截面可否用截面-将结构截断？将结构截断？ 注意：注意：准确判断哪些杆件是梁式杆

51、，哪些杆准确判断哪些杆件是梁式杆，哪些杆件是链杆，是计算的关键。件是链杆，是计算的关键。ddddABCENDGF21.751.25FFFd 5.6 组合结构的计算组合结构的计算结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:11例例 可不求出反力，直接作出受弯杆可不求出反力，直接作出受弯杆M M图，再由此图，再由此M M图及对称性、结点法求出所有二力杆轴力。图及对称性、结点法求出所有二力杆轴力。 5.6 组合结构的计算组合结构的计算结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:11A Summary of Statically A Summary of Statically Determinate Stru

52、cture Determinate Structure 基本要求：基本要求：了解静定结构受力分析的方法及简化计算了解静定结构受力分析的方法及简化计算 方法；掌握方法；掌握 静定结构的一般性质；理解静定结构的一般性质；理解 梁、梁、 拱、刚架和桁架的受力特点。拱、刚架和桁架的受力特点。教学内容：教学内容：静定结构受力分析方法静定结构受力分析方法 静定结构的一般性质静定结构的一般性质 各种结构型式的受力特点各种结构型式的受力特点 5.7 静定结构总论静定结构总论结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:11 对静定结构来说，所能建立的独立的平衡方程的数目对静定结构来说，所能建立的独立的平衡方程的数目

53、= =所含的未知力的数目。为了避免解联立方程应按一定的顺所含的未知力的数目。为了避免解联立方程应按一定的顺序截取单元，尽量使一个方程中只含一个未知量。序截取单元，尽量使一个方程中只含一个未知量。ABCDEFXCYCXDYDYCXCYDXDYAXAYBYFYE 静定结构的受力分析，主要是利用平衡方程确定支座静定结构的受力分析，主要是利用平衡方程确定支座反力和内力，作出内力图。反力和内力，作出内力图。PPABCDEFqCD1 静定结构受力分析的方法静定结构受力分析的方法结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:11结点：桁架的结点法、刚架计算中已知结点：桁架的结点法、刚架计算中已知Q求求N时取结点为

54、单元。时取结点为单元。杆件：静定梁的计算、刚架计算中已知杆件：静定梁的计算、刚架计算中已知M求求Q时取杆件为单元。时取杆件为单元。杆件体系：桁架、刚架计算的截面法取杆件体系为单元。杆件体系：桁架、刚架计算的截面法取杆件体系为单元。P2P1结点单元结点单元P杆件单元杆件单元P杆件体系杆件体系单元单元P2P1一、单元的形式及未知力一、单元的形式及未知力PP1 静定结构受力分析的方法静定结构受力分析的方法结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:11二、平衡方程的数目二、平衡方程的数目 单元平衡方程的数目单元平衡方程的数目= =单元的自由度数，不一定等单元的自由度数，不一定等于单元上未知力的数目。于单

55、元上未知力的数目。结点单元结点单元PPP2P1杆件体系杆件体系单元单元P2P11 静定结构受力分析的方法静定结构受力分析的方法结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:11 计算简化的原则：避免解联立方程，计算简化的原则：避免解联立方程，尽量使一个方程中只尽量使一个方程中只含一个未知量含一个未知量。a)a)根据结构的内力分布规律来简化计算根据结构的内力分布规律来简化计算在在桁架桁架计算中先找出计算中先找出零杆零杆, ,常可使简化计算常可使简化计算; ;对称结构在对称荷载作用下对称结构在对称荷载作用下, ,内力和反力也是对称的内力和反力也是对称的; ;对称结构在反对称荷载作用下对称结构在反对称荷载

56、作用下, ,内力和反力也是反对称的内力和反力也是反对称的。b)b)分析几何组成分析几何组成, ,合理地选择截取单元的次序合理地选择截取单元的次序主从结构主从结构, ,先算附属部分先算附属部分, ,后算基本部分后算基本部分; ;简单桁架简单桁架, ,按去除二元体的次序截取结点按去除二元体的次序截取结点; ;联合桁架联合桁架, ,先用截面法求出连接杆的轴力先用截面法求出连接杆的轴力, ,再计算其它杆。再计算其它杆。三、计算的简化与截取单元的次序三、计算的简化与截取单元的次序1 静定结构受力分析的方法静定结构受力分析的方法结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:11一、温度改变、支座移动和制造误差等

57、因素在静定结构一、温度改变、支座移动和制造误差等因素在静定结构 中不引起内力中不引起内力 静定结构是无多余约束的几何不变体系；其全部内力静定结构是无多余约束的几何不变体系；其全部内力和反力可由平衡方程唯一确定。和反力可由平衡方程唯一确定。CtCt2 静定结构的一般性质静定结构的一般性质结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:11二、静定结构的局部平衡特性二、静定结构的局部平衡特性在荷载作用下，如果静定结构中的某一局部可以与荷载平在荷载作用下，如果静定结构中的某一局部可以与荷载平衡，则其余部分的内力必为零。衡，则其余部分的内力必为零。局部平衡部分也可以是几何可变的局部平衡部分也可以是几何可变的只

58、要在特定荷载作用下可以维持平衡只要在特定荷载作用下可以维持平衡PPP2PPaaaaPP2 静定结构的一般性质静定结构的一般性质结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:11P2PPBA+荷载分布不同，但合力相同 当静定结构的一个几何不当静定结构的一个几何不变部分上的荷载作等效变换时，变部分上的荷载作等效变换时，其余部分的内力不变。其余部分的内力不变。三、静定结构的荷载三、静定结构的荷载等效特性等效特性仅仅ABAB杆受力，其余杆内力为零杆受力，其余杆内力为零除除AB杆内力不同，其杆内力不同，其余部分的内力相同。余部分的内力相同。 2PBAPPBA 结论：桁架在非结点荷载结论：桁架在非结点荷载作用下

59、的内力，等于桁架在等效作用下的内力，等于桁架在等效荷载作用下的内力，再叠加上在荷载作用下的内力，再叠加上在局部平衡荷载作用下所产生的局局部平衡荷载作用下所产生的局部内力（部内力（M、Q、N）。2 静定结构的一般性质静定结构的一般性质结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:11PABPAB四、静定结构的构造变换特性四、静定结构的构造变换特性PNABNABP/2P/2NABNABP/2P/2P+ 当静定结构的一个内部几何不变部分作构造变换时,其余部分的内力不变。NABNABP/2P/2ABNABNABP/2P/2AB2 静定结构的一般性质静定结构的一般性质结构力学中南大学中南大学返 回退 出3:11几种典型结构：梁、刚架、拱、桁架、组合结构。几种典型结构：梁、刚架、拱、桁架、组合结构。 无推力结构：梁、梁式桁架无推力结构：梁、梁式桁架有推力结构：三铰拱、三铰刚架、拱式桁架、组合结构有推力结构：三铰拱、三铰刚架、拱式桁架、组合结构