信号与系统第四章傅里叶变换和系统的频域分析II

1、信号与线性系统信号与线性系统第四章 傅里叶变换和系统的频域分析第第第2 2 2页页页0102211( )( )tTnNNtEtt dtT方均误差：0111( )cos()sin()NNnnnStaantbnt有限项傅里叶级数：( )( )( )(f(t)NNtf tSt其中为逼近的误差函数）实际应用中，经常采用有限项级数来代替无限项级数。显然，有限项数是一种近似的方法，所选项数愈多，有限项级数愈逼近原函数，其方均误差愈小。傅里叶有限级数与最小方均误差傅里叶有限级数与最小方均误差第第第3 3 3页页页设周期信号f(t)，其周期为T，角频率=2/T，当满足狄里赫利(Dirichlet)条件时，它可

2、分解为如下三角级数 称为f(t)的傅里叶级数 011( )cos()sin()2nnnnaf tan tbn t系数an , bn称为傅里叶系数 222( )cos()dTTnaf tn ttT222( )sin()dTTnbf tn ttT可见， an 是n的偶函数， bn是n的奇函数。第第第4 4 4页页页01( )cos()2nnnAf tAn t 式中，A0 = a022nnnAabarctannnnba 上式表明，周期信号可分解为直流和许多余弦分量。其中A0/2为直流分量；A1cos(t+1)称为基波或一次谐波，它的角频率与原周期信号相同；A2cos(2t+2)称为二次谐波，它的频率

3、是基波的2倍；一般而言，Ancos(nt+n)称为n次谐波。 可见An是n的偶函数， n是n的奇函数。an = Ancosn， bn = Ansin n，n=1,2,将上式同频率项合并，可写为第第第5 5 5页页页u例子：例子：以下为对称方波，注意不同的项数，有限级数对原函数的逼近情况，并计算由此引起的方均误差。t)(tf2E041T41T2Et)(tf)cos(21twE041T41T2E只取基波分量一项)5cos(51)3cos(31)cos(2)(111twtwtwEtf解解：其傅里叶级数表达式为：第第第6 6 6页页页t)(tf)cos(21twE041T41T2E取基波分量和三次谐波

4、分量)3cos(321twE取基波、三次谐波分量和五次谐波分量t)(tf)cos(21twE041T41T2E)cos(21twE12cos(5)5Ewt第第第7 7 7页页页从上面例子看出：o (1) n愈大，则愈逼近原信号f(t)。o (2) 当信号f(t)是脉冲信号时，其高频分量主要影响脉冲的跳变沿；低频分量影响脉冲的顶部。f(t)波形变化愈剧烈，所含的高频分量愈丰富；f(t)变化愈缓慢，所含的低频分量愈丰富。o (3)当信号中任一频谱分量的幅度或相位发生相对变化时，输出波形一般要发生失真。第第第8 8 8页页页当选取傅里叶有限级数的项数N很大时，该峰起值趋于一个常数，它大约等于总跳变值

5、的9%，并从不连续点开始以起伏振荡的形式逐渐衰减下去。此现象称为吉布斯现象。吉布斯（吉布斯（Gibbs）现象）现象105 .0t)(tf1n %99n3n第第第9 9 9页页页二、波形的对称性与谐波特性二、波形的对称性与谐波特性1 . .f(t)为偶函数为偶函数对称纵坐标对称纵坐标22d)cos()(2TTnttntfTa22d)sin()(2TTnttntfTbbn =0，展开为余弦级数。，展开为余弦级数。2 . .f(t)为奇函数为奇函数对称于原点对称于原点an =0，展开为正弦级数。，展开为正弦级数。实际上，任意函数实际上，任意函数f(t)都可分解为奇函数和偶函数两部分，都可分解为奇函数

6、和偶函数两部分，即即 f(t) = fod(t) + fev(t) 由于由于f(-t) = fod(-t) + fev(-t) = -fod(t) + fev(t) 所以所以 第第第101010页页页2)()()(tftftfod2)()()(tftftfve3 . .f(t)为奇谐函数为奇谐函数f(t) = f(tT/2)f(t)t0TT/2此时此时 其傅里叶级数中只含奇次谐波其傅里叶级数中只含奇次谐波分量，而不含偶次谐波分量即分量，而不含偶次谐波分量即 a0=a2=b2=b4=0 三、傅里叶级数的指数形式三、傅里叶级数的指数形式三角形式三角形式的傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便，的

7、傅里叶级数，含义比较明确，但运算常感不便，因而经常采用因而经常采用指数形式指数形式的傅里叶级数。可从三角形式推出：的傅里叶级数。可从三角形式推出：利用利用 cosx=(ejx + ejx)/2 第第第111111页页页其傅里叶级数三角展开式中 直流项 仅含和余弦项，112014cos( )( )()0()nnTtanf tdtTf tfbt1)偶函数信号：t)(tfE021T21T例如：周期三角波信号例如：周期三角波信号是一偶函数是一偶函数1112411( )cos()cos(3)cos(5)2925EEf twtwtwt其傅里叶级数表达式为：其傅里叶级数表达式为：第第第121212页页页其傅

8、里叶级数三角展开式中 仅含正弦项102011004( )()( sin()Tnnaf tftf tabtTtnd2)奇函数信号：，)3sin(31)2sin(21)sin()(111twtwtwEtf其傅里叶级数表达式为：其傅里叶级数表达式为：t)(tf2E021T21T例如：周期锯齿波信号是一奇函数2E第第第131313页页页指数形式的傅里叶级数指数形式的傅里叶级数 00*0() ()tTjn tjm tteedtTnmnm式中，式中，T=2/为指数函数公共周期为指数函数公共周期(即任意周期信号的周即任意周期信号的周期），期），m、n为整数。任意函数为整数。任意函数f(t)可在区间可在区间(

9、t0, t0+T)内用此函内用此函数集表示为数集表示为 ( )jtnnnFf te第第第141414页页页1)()(0ee22ntnjtnjnnnAA110ee21ee212ntjnjnntjnjnnnAAA10)cos(2)(nnntnAAtf上式中第三项的上式中第三项的n用用n代换，代换，A n=An， n= n，则上式，则上式写为写为 110ee21ee212ntjnjnntjnjnnnAAA令令A0=A0ej 0ej0 t ， 0=0 ntjnjnnAtfee21)(所以所以第第第151515页页页令复数令复数1ee2nnjjnnnAFF称其为称其为复傅里叶系数复傅里叶系数，简称傅里叶

10、系数。，简称傅里叶系数。 )(21)sincos(2121nnnnnnjnnjbajAAeAFn222222de)(1d)sin()(1d)cos()(1TTtjnTTTTttfTttntfTjttntfTntjnnFtfe)( n = 0, 1, 2， 22de)(1TTtjnnttfTF表明：任意周期信号表明：任意周期信号f(t)可分解为许多不同频率的虚指数信号之可分解为许多不同频率的虚指数信号之和。和。 F0 = A0/2为直流分量。为直流分量。第第第161616页页页4.34.3周期信号周期信号的频谱的频谱第第第171717页页页一、信号频谱的概念一、信号频谱的概念 从广义上说，信号的

11、某种从广义上说，信号的某种特征量特征量随信号频率变随信号频率变化的关系，称为化的关系，称为信号的频谱信号的频谱，所画出的图形称为信，所画出的图形称为信号的号的频谱图频谱图。 周期信号的频谱周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、是指周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系，即相位随频率的变化关系，即 将将An和和 n的关系分别画在以的关系分别画在以为横轴的平为横轴的平面上得到的两个图，分别称为面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图振幅频谱图和和相位频相位频谱图谱图。因为。因为n0，所以称这种频谱为，所以称这种频谱为单边谱单边谱。 也可画也可画|Fn|和和 n的关系，称为的关系，称为双边谱双

12、边谱。若。若Fn为实数，也可直接画为实数，也可直接画Fn 。第第第181818页页页关系曲线称为幅度频谱图。关系曲线称为幅度频谱图。周期信号频谱具有周期信号频谱具有离散性、谐波性、收敛性离散性、谐波性、收敛性 。 nA的的线线性性组组合合。基基波波角角频频率率的的整整数数倍倍）（）和和各各次次谐谐波波，基基波波（周周期期信信号号可可分分解解为为直直流流:11 nn关系曲线称为相位频谱图。关系曲线称为相位频谱图。可画出频谱图；可画出频谱图；第第第191919页页页 幅度频谱幅度频谱相位频谱相位频谱1 13 nc0c1c3cO1 13 n O离散谱，谱线离散谱，谱线nA曲线曲线 n单边频谱图单边频

13、谱图第第第202020页页页指数形式表示的信号频谱指数形式表示的信号频谱-复数频谱复数频谱11nnnnF双边频谱图：复函数幅度谱，复函数相位谱具有、（负频率的结离散果仅性谐波性收敛性是数学处理）Fn一般是复函数，所以称这种频谱为复数频谱。1w0Anc112A212A1nww01w1nw0n1nww1nw1w0AnF112A212A1nww01w1nw幅度谱与相位谱合并幅度谱与相位谱合并第第第212121页页页 总结（1）周期信号）周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式的傅里叶级数有两种形式（3）周期信号的频谱是离散谱，三个性质）周期信号的频谱是离散谱，三个性质（2）两种频谱图的关系）两种频谱图

14、的关系（4）引入负频率）引入负频率第第第222222页页页(1)周期信号f(t)的傅里叶级数有两种形式三角形式三角形式指数形式指数形式 1110sincos)(nnntnbtnaatf 1j( )entnnf tF第第第232323页页页000102nnFAncAa(2)两种频谱图的关系)()( 11 nn 相相位位频频谱谱为为奇奇函函数数nnA三角函数形式：，单边频谱单边频谱nnF指数函数形式：，双边频谱双边频谱其中其中 nncc指数形式的幅度频谱为偶函数第第第242424页页页(3)三个性质1,( )nncnf t收敛性：谐波性： （离散性），频率只出现在处惟一性：的谱线唯一(4)引入负频

15、率对对于于双双边边频频谱谱，负负频频率率)(1 n，只只有有数数学学意意义义，而而无无物物理理意意义义。为为什什么么引引入入负负频频率率? ? 的的实实函函数数的的性性质质不不变变。，才才能能保保证证和和数数，必必须须有有共共轭轭对对是是实实函函数数，分分解解成成虚虚指指)(ee11jjtftfnn 注意：冲激函数序列的频谱不满足收敛性注意：冲激函数序列的频谱不满足收敛性第第第252525页页页例：例：周期信号周期信号 f(t) =试求该周期信号的基波周期试求该周期信号的基波周期T，基波角频率，基波角频率，画出它的单，画出它的单边频谱图，并求边频谱图，并求f(t) 的平均功率。的平均功率。63

16、sin41324cos211tt解解 首先应用三角公式改写首先应用三角公式改写f(t)的表达式，即的表达式，即263cos41324cos211)(tttf显然显然1是该信号的直流分量。是该信号的直流分量。34cos21t的周期的周期T1 = 8323cos41的周期的周期T2 = 6所以所以f(t)的周期的周期T = 24，基波角频率，基波角频率=2/T = /12根据帕斯瓦尔等式，其功率为根据帕斯瓦尔等式，其功率为 P= 323741212121122第第第262626页页页34cos21t是是f(t)的的/4/12 =3次谐波分量；次谐波分量； 323cos41是是f(t)的的/3/12

17、 =4次谐波分量；次谐波分量；画出画出f(t)的单边振幅频谱图、相位频谱图如图的单边振幅频谱图、相位频谱图如图(a)(b)oAn1264320A2141o33461232n1第第第272727页页页举例：有一幅度为举例：有一幅度为1，脉冲宽度为，脉冲宽度为 的周期矩形脉冲，其周期为的周期矩形脉冲，其周期为T，如，如图所示。求频谱。图所示。求频谱。 f(t)t0T-T122tTttfTFtjnTTtjnnde1de)(1222222sinnnT令令Sa(x)=sin(x)/x (取样函数）取样函数） nnTjnTtjn)2sin(2e122第第第282828页页页)()2(TnSaTnSaTFn

18、, n = 0 ,1，2， Fn为实数，可直接画成一个频谱图。设为实数，可直接画成一个频谱图。设T = 4画图。画图。零点为零点为mn2所以所以mn2，m为整数。为整数。Fn022441特点特点： (1)周期信号的频谱具有谐波周期信号的频谱具有谐波(离散离散)性。谱线位置是性。谱线位置是基频基频的整数倍；的整数倍；(2)一般具有收敛性。总趋势减小。一般具有收敛性。总趋势减小。第第第292929页页页谱线的结构与波形参数的关系：谱线的结构与波形参数的关系：(a) T一定，一定， 变小，此时变小，此时 （谱线间隔）不变。两零点之间的（谱线间隔）不变。两零点之间的谱线数目：谱线数目： 1/ =（2

19、/ ）/(2 /T)=T/ 增多。增多。(b) 一定，一定，T增大，间隔增大，间隔 减小，频谱变密。幅度减小。减小，频谱变密。幅度减小。 如果周期如果周期T无限增长（这时就成为非周期信号），那么，无限增长（这时就成为非周期信号），那么，谱线间隔将趋近于零，周期信号的谱线间隔将趋近于零，周期信号的离散频谱离散频谱就过渡到非周期就过渡到非周期信号的信号的连续频谱连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷小。各频率分量的幅度也趋近于无穷小。 第第第303030页页页周期信号的功率周期信号的功率Parseval等式等式nnnnTFAAdttfT2122002|21)2()(1直流和直流和n次谐波分量在次谐

20、波分量在1 电阻上消耗的平均功率之和。电阻上消耗的平均功率之和。 n0时，时， |Fn| = An/2。周期信号一般是功率信号，其平均功率为周期信号一般是功率信号，其平均功率为第第第313131页页页4.4 4.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱傅里叶变换傅里叶变换一、傅里叶变换一、傅里叶变换 非周期信号非周期信号f(t)可看成是周期可看成是周期T时的周期信号。时的周期信号。 前已前已指出当周期指出当周期T趋近于无穷大时，谱线间隔趋近于无穷大时，谱线间隔 趋近于无穷小，从趋近于无穷小，从而信号的频谱变为连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无而信号的频谱变为连续频谱。各频率分量的幅度也趋近于无穷

21、小，不过，这些无穷小量之间仍有差别。为了描述非周期穷小，不过，这些无穷小量之间仍有差别。为了描述非周期信号的频谱特性，引入频谱密度的概念。令信号的频谱特性，引入频谱密度的概念。令 TFTFjFnTnTlim/1lim)(单位频率上的频谱）单位频率上的频谱） 称称F(j)为频谱密度函数。为频谱密度函数。第第第323232页页页22de)(TTtjnnttfTFntjnnTTFtf1e)(考虑到：考虑到：T，无穷小，记为无穷小，记为d； n （由离散量变为连续量），而（由离散量变为连续量），而2d21T同时，同时， 于是，于是，ttfTFjFtjnTde)(lim)(de)(21)(tjjFtf傅

22、里叶变换式傅里叶变换式傅里叶反变换式傅里叶反变换式F(j)称为称为f(t)的的傅里叶变换傅里叶变换或或频谱密度函数频谱密度函数，简称，简称频谱频谱。f(t)称为称为F(j)的的傅里叶反变换傅里叶反变换或或原函数原函数。根据傅里叶级数根据傅里叶级数第第第333333页页页也可简记为也可简记为F(j) = F f(t) f(t) = F 1F(j)或或 f(t) F(j)F(j)一般是复函数，写为一般是复函数，写为 F(j) = | F(j)|e j () = R() + jX() 说明说明 (1)前面推导并未遵循严格的数学步骤。可证明，函数前面推导并未遵循严格的数学步骤。可证明，函数f(t)的傅

23、里叶变换存在的的傅里叶变换存在的充分条件充分条件:ttfd)(2)用下列关系还可方便计算一些积分用下列关系还可方便计算一些积分dttfF)()0(d)(21)0(jFf第第第343434页页页 单个矩形脉冲信号的傅里叶变换单个矩形脉冲信号的傅里叶变换 图图 4.4-1 (a)所示矩形脉冲一般称为门函数。其宽度为所示矩形脉冲一般称为门函数。其宽度为，高度为，高度为1，通常用符号，通常用符号g(t)来表示。试求其频谱函数来表示。试求其频谱函数。 解：解： 门函数门函数g(t)可表示为可表示为 第第第353535页页页图图4.4-1 门函数及其频谱门函数及其频谱(a) 门函数；门函数； (b) 门函

24、数的频谱；门函数的频谱； (c) 幅度谱；幅度谱； (d) 相位谱相位谱 F(j)2424(b)og(t)t221(a)F()24(c)24o ()24(d)24oo第第第363636页页页(1)( )()0)atf teu ta单边指数：（复函数）22()1()1),aFarctFaajg 其傅里叶变换为：一、单边指数信号的傅里叶变换一、单边指数信号的傅里叶变换第第第373737页页页0()()00( )( )(0)11()jwtatjwtajtajtFf t edtaeedtedteajaj 解：代入傅里叶变换定义公式中解：代入傅里叶变换定义公式中单边指数信号的频谱如下：单边指数信号的频谱

25、如下：第第第383838页页页02w)()(awarctgw2( )(0()atufttae01t时域波形时域波形频域频谱频域频谱221( )Fa0a1wa21a3第第第393939页页页(2)( )(0)a tf tea偶双边指：数（正实函数）二、双边指数信号的傅里叶变换二、双边指数信号的傅里叶变换222222( )( ),0(aFaaaF 其傅里叶变换为：其傅里叶变换为：第第第404040页页页代入傅里叶变换定义公式中代入傅里叶变换定义公式中220)(0)(00211)(1)(1)0()()(waajwajwaejwaejwadteedteedteeadtetfwFtjwatjwajwta

26、tjwtatjwttajwt解：解：双边指数信号的频谱如下：双边指数信号的频谱如下：第第第414141页页页频域频谱频域频谱( )(0)a tf tea01t时域波形时域波形222( )aFa0a2wa1a3相位等相位等0第第第424242页页页(3) 冲激函数冲激函数 时域冲激函数时域冲激函数(t)的变换可由定义直接得到的变换可由定义直接得到1)()(dtetFtj由式可知，时域冲激函数由式可知，时域冲激函数(t)频谱的所有频率分量均匀分频谱的所有频率分量均匀分布（为常数布（为常数1），这样的频谱也称白色谱。），这样的频谱也称白色谱。 冲激函数冲激函数(t)、 频谱函数如图所示。频谱函数如图

27、所示。第第第434343页页页图图4.4-6 冲激函数及其频谱冲激函数及其频谱第第第444444页页页解：解： 1)()(dtetjFtjdetftj121)(可见，冲激函数可见，冲激函数(t)的频谱是常数的频谱是常数1。也就是说，。也就是说，(t)中包含中包含了所有的频率分量，了所有的频率分量， 而各频率分量的频谱密度都相等。而各频率分量的频谱密度都相等。 显显然，然， 信号信号(t)实际上是无法实现的。实际上是无法实现的。 第第第454545页页页(4). 门函数门函数(矩形脉冲矩形脉冲)2, 02, 1)(tttg10tg(t)22jtjFjjtj222/2/eede)()2Sa()2s

28、in(2(5). 冲激函数冲激函数 (t)、 (t)1de)()(ttttjjttttttjtj0eddde)( )( 第第第464646页页页(6). 常数常数有一些函数不满足绝对可积这一充分条件，如有一些函数不满足绝对可积这一充分条件，如1， (t) 等，但等，但傅里叶变换却存在。直接用定义式不好求解。傅里叶变换却存在。直接用定义式不好求解。可构造一函数序列可构造一函数序列fn(t)逼近逼近f (t) ，即，即而而fn(t)满足绝对可积条件，并且满足绝对可积条件，并且fn(t)的傅里叶变换所形成的的傅里叶变换所形成的序列序列Fn(j )是极限收敛的。则可定义是极限收敛的。则可定义f(t)的

29、傅里叶变换的傅里叶变换F (j )为为)(lim)(tftfnn)(lim)(jFjFnn这样定义的傅里叶变换也称为这样定义的傅里叶变换也称为广义傅里叶变换广义傅里叶变换。 第第第474747页页页构造构造 f (t)=e- -t ， 0 222)(jF)(lim1)(0tftf所以所以22000,02()lim()lim,0F jFj显然是冲激函数又又2arctan2lim12lim2lim020220dd因此，因此， 1212( ( ) ) 另一种求法另一种求法： (t)1(t)1代入反变换定义式，有代入反变换定义式，有)(de21ttj将将 t t，t-t- )(de21ttj再根据傅里

30、叶变换定义式，得再根据傅里叶变换定义式，得)(2)(2de1ttj第第第484848页页页(7). 符号函数符号函数0, 10, 1)sgn(ttt10tsgn(t)-100,e0,e)(tttftt)(lim)sgn(0tft22211)()(jjjjFtfjjjFt22lim)(lim)sgn(2200(8). 阶跃函数阶跃函数 (t)jtt1)()sgn(2121)(10t(t)第第第494949页页页归纳记忆：1. F 变换对变换对2. 常用函数常用函数 F 变换对：变换对：t域域域域tetfjFtjd)()(tejFtftjd)(21)(t)(t) 1( )j e - - t (t)

31、 1jg(t) 2Sasgn (t) 2je |t|222 1 12()第第第505050页页页4.5 4.5 傅里叶变换的性质傅里叶变换的性质一、线性一、线性(Linear Property)If f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j)thenProof: F a f1(t) + b f2(t)ttbftaftjde)()(21ttfttftjtjde)(bde)(a11= a F1(j) + b F2(j) a f1(t) + b f2(t) a F1(j) + b F2(j) 第第第515151页页页For example F(j) = ?0f ( t )t1-11Ans: f

32、 (t) = f1(t) g2(t)f1(t) = 1 2()g2(t) 2Sa() F(j) = 2() - - 2Sa()0f 1( t )t10g2 ( t )t1-11- -第第第525252页页页()( )( )( )cos( )sin( )( )( )( )j tjFf t edtf ttdtjf ttdtRjXFFe 2. 奇偶特性奇偶特性 f(t)为实函数时，其奇，偶对称性对傅里叶变换为实函数时，其奇，偶对称性对傅里叶变换影响。影响。 F(j)的模与幅角、的模与幅角、 实部与虚部表示形式为实部与虚部表示形式为第第第535353页页页)()()(arctan)()()()()(s

33、in)()()(cos)()(22RXXRFXtdttfjXRtdttfR其中其中第第第545454页页页0( )( )sin0( )( )2( )cosXf ttdtFRf ttdt 因此可以看到因此可以看到R()、|F()|是是的偶函数；的偶函数；X()、()是是的奇函数。特别地的奇函数。特别地f(t)为实偶函数，我们有为实偶函数，我们有即其频谱函数只有实部，是即其频谱函数只有实部，是的偶函数。的偶函数。第第第555555页页页( )( )cos0( )( )( )sinRf ttdtFjXjf ttdt 由式可知若由式可知若f(t)是是t的实奇函数，的实奇函数， 则则F()必为必为的的虚

34、奇函数。虚奇函数。 特别地特别地f(t)为实奇函数，为实奇函数， 我们有我们有第第第565656页页页()F(j )(t)()ffF jt与具相同表达式， 与具相同表达式）(3)(:f)FtF j 若对称性)2()FfF jt 则第第第575757页页页证证 ：deFtftj)(21)(deFtftj)(21)(则则 将变量将变量用用x代换，积分结果不变代换，积分结果不变xt2()()xt2()()jjtftF jx edxtfF jx edt将此式中的变量以 , 用 来替换，得第第第585858页页页w0)2()(w)(tf01tt0)1 ()(t)(wf01w举例：举例：第第第595959

35、页页页例：例： F(j) = ?211)(ttf解解:22| |2et若若=1,2| |12et|2e212 t|2e11t第第第606060页页页1()0()()j tf atFjaaaF f atf at edt证明：4. 尺度变换尺度变换 若若f(t)F(j)， 则则当当a0时，令时，令at=x, 则则 ，代入上式，代入上式axtdxadt,111()( )jxaF f atf x edxFjaaa第第第616161页页页当当a0、 a0两种情况，两种情况， 尺度变换特性表示为尺度变换特性表示为第第第626262页页页1()f atFjaa 特别地当特别地当a=-1时，时， 得到得到f(

36、t)的折叠函数的折叠函数f(-t)， 其频谱其频谱亦为原频谱的折叠，亦为原频谱的折叠， 即即 f(-t) F(-j) 尺度特性说明，尺度特性说明， 信号在时域中压缩，信号在时域中压缩， 频域中就扩展；频域中就扩展； 反之，反之， 信号在时域中扩展，信号在时域中扩展， 在频域中就一定压缩；在频域中就一定压缩； 即信即信号的脉宽与频宽成反比。号的脉宽与频宽成反比。 第第第636363页页页一般时宽有限的信号，其频宽无限，反之亦然。一般时宽有限的信号，其频宽无限，反之亦然。 由于由于信号在时域压缩（扩展）时，其能量成比例的减少（增信号在时域压缩（扩展）时，其能量成比例的减少（增加），因此其频谱幅度要

37、相应乘以系数加），因此其频谱幅度要相应乘以系数1/|a|。也可以。也可以理解为信号波形压缩（扩展）理解为信号波形压缩（扩展）a倍，信号随时间变化加倍，信号随时间变化加快（慢）快（慢）a倍，所以信号所包含的频率分量增加（减少）倍，所以信号所包含的频率分量增加（减少）a倍，频谱展宽（压缩）倍，频谱展宽（压缩）a倍。又因能量守恒原理，各频倍。又因能量守恒原理，各频率分量的大小减小（增加）率分量的大小减小（增加）a倍。下图表示了矩形脉冲及倍。下图表示了矩形脉冲及频谱的展缩情况。频谱的展缩情况。第第第646464页页页图图 矩形脉冲及频谱的展缩矩形脉冲及频谱的展缩0000Atf (t)A24)2Sa()

38、(AFf (2t)AAtt044221F2A22tf214402A2422F()第第第656565页页页(5)f( )( )tF 若时移性：F000f()( ),0j tFttte则F 信号在时域中延时信号在时域中延时t-t0（沿时间轴右移），等效于（沿时间轴右移），等效于在频域中相位产生偏差（在频域中相位产生偏差（-wt0),其幅度谱不变。其幅度谱不变。000()0()( )( )()jx tj tj tj xj tf tt edtf x edxef x edxF je证明：第第第666666页页页图图 矩形脉冲信号图矩形脉冲信号图Et0f1(t) 例：例： 求如图所示信号求如图所示信号f1

39、(t)的频谱的频谱函数函数F1()， 并作频谱图。并作频谱图。 解解 f1(t)与门函数的关系为与门函数的关系为)2()(1tEftf由上节门函数的变换由上节门函数的变换 2)()(SaFtf第第第676767页页页2)()(2)()(2)()(11210SaEFEFeSaEeEFFjtj f1(t)的振幅、的振幅、 相位频谱函数相位频谱函数|F1()|、 1()如如图所示。图所示。 再由线性与时移性，再由线性与时移性， 得到得到第第第686868页页页图图 该矩形脉冲的振幅、该矩形脉冲的振幅、 相位频谱相位频谱00)(1F241()24E242/ 2(a)(b)4第第第696969页页页00

40、( )()jtf t eF证： 00()0( )( )()jtjtj tf t eedtf t edtF 频移特性表明信号在时域中与复因子频移特性表明信号在时域中与复因子 相乘，相乘， 则在频则在频域中将使整个频谱搬移域中将使整个频谱搬移0。实用中，通常不会把一时间。实用中，通常不会把一时间的实函数去乘以复指数函数，而与正弦函数来相乘。但的实函数去乘以复指数函数，而与正弦函数来相乘。但正弦函数总可以表示为复指数函数之和正弦函数总可以表示为复指数函数之和。 tje0 6. 频移性 若f(t)F(j),则：则：第第第707070页页页2sin,2cos000000jeeteettjtjtjtj这样

41、，这样， 若有若有f(t)F()， 则则)()(21sin)()()(21cos)(000000FFjttfFFttfo实际调制解调的载波实际调制解调的载波(本振本振)信号是正、信号是正、 余弦信号，余弦信号， 借助欧拉借助欧拉公式正、公式正、 余弦信号可以分别表示为余弦信号可以分别表示为第第第717171页页页1212121212( )( )( )()( )()( )( )()()j tjf tf tff tdedtff tddfFedF jFj(交换积分次序交换积分次序) (利用时延性利用时延性)7. 时域卷积定理时域卷积定理 若若f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j)， 则则

42、f1(t)*f2(t) F1(j)F2(j)证证: 第第第727272页页页)()(21)()(2121FFtftf证证 12121212121211()()( )()2211( )()2211( )()221( )( )( )( )2j tj tj tF jFjF u Fu duF u Fu du edF uFu edduF u f t eduf t f t 频域卷积定理频域卷积定理 若若 f1(t) F1(j)， f2(t) F2(j)， 第第第737373页页页8、时域的微分和积分、时域的微分和积分If f (t) F(j) then )()()()(jFjtfnnjjFFxxft)()

43、()0(d)(ttfjFFd)()()0(0( )( ),( )( )( )d ,()00() ( )(0) ( )2() ( )tg xf xg xg xf xxgF jF g xFgj 已知 求的傅里叶变换的话，上述假设隐含当，若不为 时，则第第第747474页页页f(t)= 1/t2 ?举例举例 1（微分性）（微分性）Ans:jt2)sgn()sgn(22jt)sgn(1jt)sgn()sgn()(1ddjjtt|)sgn(12t第第第757575页页页f(t)2- -20t t2Determine f (t) F (j)f (t)t t2- -20- -11t t2- -2(1)(1)

44、(-2)f (t)Ans: f ”(t) = (t+2) 2 (t) + (t 2)F2(j)= F f ” ”(t) = e j2 2 + e j2= 2cos(2) 2 F (j) =222)2cos(22)()(jjFNotice:d(t)/dt = (t) 1(t) 1/(j)第第第767676页页页九、频域的微分和积分九、频域的微分和积分(Differentiation and Integration in frequency domain)If f (t) F(j) then (jt)n f (t) F(n)(j) 1(0) ( )( )()dftf tF jxxjtwhered)

45、(21)0(jFfFor example 1Determine f (t) = t(t) F (j)=?jt1)()(Ans:jtjt1)(dd)(21)( )( jtt第第第777777页页页Notice: t(t) =(t) * (t) jj1)(1)(Its wrong. Because ( ) ( ) and (1/j ) ( ) is not defined.For example 2d)sin(aAns:)sin(2)(2atgade)sin(1de)sin(221)(2tjtjaaatgd)sin(1)0(2aga2d)sin(0a第第第787878页页页4.6 能量谱和功率谱能

46、量谱和功率谱一一. 能量谱能量谱 电压电压(电流电流)信号信号f(t)加于一欧姆电阻上所耗散的能量。加于一欧姆电阻上所耗散的能量。 dttfE)(2222011( )()()2Ef tdtF jdF jd 上式是上式是帕塞瓦尔定理帕塞瓦尔定理在非周期信号的能量等式，也叫在非周期信号的能量等式，也叫雷利定理。雷利定理。第第第797979页页页2( )Eft dt 一般来说，非周期信号不是功率信号，其平均功率为零，一般来说，非周期信号不是功率信号，其平均功率为零，但其能量为有限量，因而是一个能量信号。非周期信号的总但其能量为有限量，因而是一个能量信号。非周期信号的总能量能量E为为 非周期信号的帕塞

47、瓦尔定理表明，对非周期信号，在时域非周期信号的帕塞瓦尔定理表明，对非周期信号，在时域中求得的信号能量与频域中求得的信号能量相等。由于中求得的信号能量与频域中求得的信号能量相等。由于2)(jF是是 的偶函数，因而的偶函数，因而222011( )()()2Eft dtF jdF jd第第第808080页页页2( )()GF j 非周期信号是由无限多个振幅为无穷小的频率分量组成非周期信号是由无限多个振幅为无穷小的频率分量组成的，各频率分量的能量也为无穷小量。为了表明信号能量在的，各频率分量的能量也为无穷小量。为了表明信号能量在频率分量上的分布情况，与频谱密度函数相似，引入频率分量上的分布情况，与频谱

48、密度函数相似，引入 个能量个能量密度频谱函数，简称为能量谱。能量谱密度频谱函数，简称为能量谱。能量谱G（ ）为各频率点）为各频率点上单位频带中的信号能量，所以信号在整个频率范围的全部上单位频带中的信号能量，所以信号在整个频率范围的全部能量为能量为1( )2EGd可得到可得到其单位为焦耳其单位为焦耳/赫兹。赫兹。第第第818181页页页得到信号的自相关函数得到信号的自相关函数 与信号的能量谱与信号的能量谱 是一是一对傅氏变换对，对傅氏变换对， 即有即有 1( ) ( )( ) ( )GF RRFG( )R( )G第第第828282页页页二二. 功率谱功率谱 对功率信号而言最重要的参数是平均功率，

49、即信号的对功率信号而言最重要的参数是平均功率，即信号的均方值均方值(方均值方均值)。 用得到能量谱的方法，用得到能量谱的方法， 我们可以得到我们可以得到功率谱密度函数。功率谱密度函数。 1. 功率谱密度函数定义功率谱密度函数定义 令令fT(t)为为f(t)的截短函数如图所示，的截短函数如图所示， 即即2)(1lim)(2/2/0)()(TTTFTFTtTttftf第第第838383页页页 图 f(t)的截短函数 00f (t)fT (t)tt2T2T2T2T第第第848484页页页这样信号的平均功率可由功率谱密度表示这样信号的平均功率可由功率谱密度表示/222/2211( )lim( )( )

50、2()1lim2TTTTTPftft dtPdTFjdT功率谱的单位为功率谱的单位为W(瓦特瓦特)/Hz(赫兹赫兹)。 第第第858585页页页 2. P()与与R()的关系的关系 功率信号的自相关函数定义为功率信号的自相关函数定义为dttftfTRTTTTT)()(1lim)(2/2/1( ) ( )( ) ( )PF RRFP第第第868686页页页4.7周期信号的傅里叶周期信号的傅里叶变换变换第第第878787页页页周期信号周期信号-傅里叶级数傅里叶级数非周期信号非周期信号- 傅里叶变换傅里叶变换周期无穷大周期无穷大求和变求积分求和变求积分 周期信号不满足绝对可积条件，但在允许冲激函数周

51、期信号不满足绝对可积条件，但在允许冲激函数存在并认为它有意义的前提下，绝对可积条件就成为不存在并认为它有意义的前提下，绝对可积条件就成为不必要的限制。也就有周期信号的傅里叶变换。必要的限制。也就有周期信号的傅里叶变换。目的：目的：把周期信号与非周期信号的分析方法统一起来，把周期信号与非周期信号的分析方法统一起来，使傅里叶变换得到广泛应用。使傅里叶变换得到广泛应用。第第第888888页页页先讨论指数函数的傅里叶变换，已知常数先讨论指数函数的傅里叶变换，已知常数1的傅里的傅里叶变换为：叶变换为：00jt0-jt012( )e2()e2()F 根据频域特性可得：=第第第898989页页页正弦、余弦周

52、期信号的傅里叶变换正弦、余弦周期信号的傅里叶变换 111cos()()()t ：余弦信号F111sin()()()tj 正弦信号：F21( ) F002()jte 根据欧拉公式以及傅里叶变化的线性可得：F第第第909090页页页正弦、余弦周期信号的正弦、余弦周期信号的频谱频谱0ttwtf1cos)( 10ttwtf1sin)( 1w0w0w0)(wFw0w0w0)(wjF 第第第919191页页页一般周期信号的傅里叶变换一般周期信号的傅里叶变换 11( )2jntnnnnf tFFne 一般周：期信号F令周期信号f(t)的周期为T1，角频率为1=2f11112121F( )Tjnw tTnf

53、t edtT其中：其中：周期信号的频谱函数是一个冲激序列。第第第929292页页页v例例求周期单位冲激序列的傅里叶级数与傅里叶变换。求周期单位冲激序列的傅里叶级数与傅里叶变换。解：结果：解：结果： nTnTtt)()(1单位冲激函数的间隔为单位冲激函数的间隔为T T1 1，用符号，用符号 T T(t)(t)表示周期单位冲激序列：表示周期单位冲激序列：w0)(wF10t)(t10t)(t11T1T 0wnF11T1w 1w12w12w FS第第第939393页页页 可见，在周期单位冲激序列的傅里叶级数中只包含位于可见，在周期单位冲激序列的傅里叶级数中只包含位于 =0,1, 2 1, n 1, 的

54、的频率分量频率分量，且分量大小相等，且分量大小相等，均等于均等于1/T1。1( )jnw tTnntc e0t)(t11T1T 0w)(wF1w1w 1w12w12w FT T T(t)(t)是周期函数，求其是周期函数，求其傅里叶级数傅里叶级数：11211211( )TjwtTnFf t edtTT111( )jnw tTnteT该周期函数的傅里叶级数为第第第949494页页页再求再求 T T(t)(t)的的傅里叶变换傅里叶变换。1( )2F()FTTnnftwnw 11nFT又11( )( )()FTTTnfttn 可见，在周期单位冲激序列的可见，在周期单位冲激序列的傅里叶变换傅里叶变换中只

55、包含位于中只包含位于 =0,1, 2 1, n 1, 频率频率处的处的冲激函数冲激函数，其强度大，其强度大小相等，均等于小相等，均等于 1 。第第第959595页页页利用单脉冲信号的傅里叶变换求周期信号的利用单脉冲信号的傅里叶变换求周期信号的傅里叶变换傅里叶变换式）（单脉冲的傅里叶变换单脉冲信号：从周期脉冲信号单脉冲信号：从周期脉冲信号f(t)中截取一个周中截取一个周期，得到单脉冲信号期，得到单脉冲信号f0(t)。周期信号为周期信号为T T的信号可以看成的信号可以看成f0(t)与周期为与周期为T的冲的冲激序列激序列 T(t)的卷积，即的卷积，即112002()( )TjwtTFjwft edt

56、单脉冲的傅里叶变换单脉冲的傅里叶变换F0():为非周期信号直接用傅里为非周期信号直接用傅里叶变换定义公式。叶变换定义公式。0( )( )( )TTftftt第第第969696页页页按照时域卷积定理，可以直接求得周期信号的按照时域卷积定理，可以直接求得周期信号的傅里叶变换傅里叶变换。1101111011( )()( )()() () ()FTTnTnntnF ftFjnFjn 可见，利用可见，利用单脉冲信号的傅里叶变换可以很方便地求得单脉冲信号的傅里叶变换可以很方便地求得周期信号的傅里叶变换。周期信号的傅里叶变换。第第第979797页页页周期信号的傅里叶级数的系数周期信号的傅里叶级数的系数FnF

57、n等于单脉冲信号的傅里等于单脉冲信号的傅里叶变换叶变换F0( )在在n 1 1频率点的值乘以频率点的值乘以1/T1。1112121( )TjwtTnw nwFf t edtT或写成或写成1011()nw nwFFjwT 还可利用单脉冲的傅里叶变换求周期性信号的傅里叶级还可利用单脉冲的傅里叶变换求周期性信号的傅里叶级数的系数。数的系数。第第第989898页页页求周期矩形脉冲信号的傅里叶级数和傅里叶变换求周期矩形脉冲信号的傅里叶级数和傅里叶变换0)(tfE22TTt解：先求矩形单脉冲信号解：先求矩形单脉冲信号f0(t)的傅里叶变换的傅里叶变换F0(w)0t)(0tf122)2()(0wSaEwF0

58、w22)(0wFE第第第999999页页页再求周期矩形脉冲信号的傅里叶级数再求周期矩形脉冲信号的傅里叶级数Fn0)(tfE22TTtw12T022nF1TE110111()()2nwnwnwEFFwSaTT ntjnwenwSaTEtf1)2()(11求得周期矩形脉冲信号的求得周期矩形脉冲信号的傅里叶级数傅里叶级数：第第第100100100页页页最后求周期矩形脉冲信号的傅里叶变换最后求周期矩形脉冲信号的傅里叶变换F(w)。 nnwwnwSawEwF)()2()(111看出：周期信号频谱是离散的；看出：周期信号频谱是离散的； 非周期信号的频谱是连续。非周期信号的频谱是连续。1( )2()FTTn

59、nftFwnw 第第第101101101页页页4.7 LTI4.7 LTI系统的频域分析系统的频域分析 傅里叶分析是将任意信号分解为无穷多项不同频傅里叶分析是将任意信号分解为无穷多项不同频率的虚指数函数之和。率的虚指数函数之和。ntjnnFtfe)(对周期信号：对周期信号：对非周期信号：对非周期信号：de)(21)(tjjFtf其其基本信号基本信号为为 ej t一、基本信号一、基本信号ej t作用于作用于LTI系统的响应系统的响应说明：频域分析中，信号的定义域为说明：频域分析中，信号的定义域为( ，)，而，而t= 总总可认为系统的状态为可认为系统的状态为0，因此本章的响应指零状态响应，常，因此

60、本章的响应指零状态响应，常写为写为y(t)。 第第第102102102页页页设设LTI系统的冲激响应为系统的冲激响应为h(t)，当激励是角频率，当激励是角频率的的基本信号基本信号ej t时，其响应时，其响应 tjjtjhhtyede)(de)()()(而上式积分而上式积分 正好是正好是h(t)的傅里叶变换，的傅里叶变换，记为记为H(j )，常称为系统的频率响应函数。，常称为系统的频率响应函数。de)(jhy(t) = H(j ) ej tH(j )反映了响应反映了响应y(t)的幅度和相位。的幅度和相位。y(t) = h(t)* ej t第第第103103103页页页二、一般信号二、一般信号f(