《数列的概念与简单表示法》(解析版)

1、§ 2.1 列的概念与简单表示法题组一思考辨析1 .判断下列结论是否正确(请在括号中打或“X”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.(X )(2)所有数列的第n项都能使用公式表达.(x )(3)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个.(V )(4)1,1,1,1,，不能构成一个数列.(X )(5)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.(X )(6)如果数列an的前n项和为Sn,则对？ nC N*,都有an+1= Sn+10.( V ) 题组二教材改编一-1 n 心2. P33A 组 T4在数列an中，a1=1, an= 1+(n>2),则 a5等于(

2、)an 13A.25 c 82B.3 C.5 D.3答案 D解析a2=1+ 上 2a1_ 1 3 1 a3=1+ a2 =2,a4= 1 += 3,a3a5 = 1 +a423.an =答案 5n 4题组三易错自纠4 .已知an=n2+入于且对于任意的 nC N*,数列 an是递增数列，则实数入的取值范围是 答案( 3, +8)解析 因为an是递增数列，所以对任意的nC N*,都有3n+i>an,即(n+1)2+沏+1)>n2+入9 整理，得 2n+1+Q0,即 Q (2n+1). (*)因为n> 1,所以一(2n+1)< -3,要使不等式(*)恒成立，只需 Q 3.5

3、 .数列an中，an=n2+11n(nC N*),则此数列最大项的值是 .答案 30解析 an= n2+11n= n ?2+号， 24,nCN*,.当n= 5或n= 6时，an取最大值30.6 .已知数列an的前n项和Sn=n2+1,则an =.2, n=1, *2n 1, n>2, nC N解析 当n=1时，a = S1 = 2,当n>2时，an= Sn- Sn 1 = n2+ 1 _ (n_ 1)2 + 1 = 2n 1,2, n= 1,故an*2n 1, n>2, nC N .题型一由数列的前几项求数列的通项公式1 .数列0, |,占f,的一个通项公式为（）n 13 5

4、 7B. an= 二(n C N )2n2n+1''D. an=7；(n N )2n+ 1''答案 C解析 注意到分子0,2,4,6都是偶数，对照选项排除即可.答案(-1)12X 3113X4 4X5的一个通项公式an =解析 这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加 1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为an= ( 1)n n+ 1思维升华由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略（1）常用方法：观察（观察规律）、比较（比较已知数列卜归纳、转化（转化为特殊数列卜联想（联 想常见的数列）等方法.（2）具体策略：分式中分子、分母的特征；相邻项

5、的变化特征； 拆项后的特征；各项的符号特征和绝对值特征；化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；对于符号交替出现的情况，可用 （1）k或（1）k+1, kCN*处理.（3）如果是选择题，可采用代入验证的方法.题型二 由an与Sn的关系求通项公式2, n =答案 an6n5,解析当n=1时,典例（1）已知数列an的前n项和Sn = 3n n>2, nC Na = S1 = 3X12 2X 1 + 1 = 2;当n>2时，an= Sn Sn-1= 3n2 2n + 1 3( n 1)2 2(n 1) + 1= 6n5,显然当n = 1时，不满足上式

6、. n= 1, 故数列的通项公式为 an= 6n 5 n>2 n N*(2)若数列an的前n项和$ = 2an+：(ne N*),则an的通项公式an=.33答案(-2)n 1解析 由Sn = |an + 1,得当n>2时，Sn 1=|an 1 + 4,两式相减，整理得 an = - 2an-1,又当 3333 - 2n + 1（n N*）,则其通项公式为n=1时，Si= ai= -ai +ai = 1, ，an是首项为1,公比为一 2的等比数列，故 an=( 332)n 1.思维升华已知Sn,求an的步骤(1)当 n= 1 时，ai = Si.(2)当 n>2 时，an=S

7、n-Sn 1.(3)对n= 1时的情况进行检验，若适合n> 2的通项则可以合并；若不适合则写成分段函数形式.跟踪训练(1)(2017河南八校一联)在数列an中，Sn是其前n项和，且Sn=2an+1,则数列的通项公式 an =.答案 2/1解析 由题意得 Sn+1=2an+i+ 1 , Sn=2an+ 1,两式相减得 Sn+ 1 Sn= 2an + 1 - 2an,即 an+1=2an,又 S = 2ai+1 = a1,因此a1 = 1,所以数列an是以a1 = -1为首项、2为公比的等比数列，所以an=-2n1.(2)已知数列 an的前n项和Sn=3n+ 1 ,则数列的通项公式 an=.

8、答案4, n=1,2 n1, n>2解析 当 n=1 时，ai = Si = 3+1 = 4,当 n>2 时，an=Sn-Sn-i=3n+1-3nM- 1 = 2 - T1显然当n=1时，不满足上式.4, n=1,2 -n 1, n>2.题型三 由数列的递推关系求通项公式典例 根据下列条件，确定数列 an的通项公式.1 (1)ai=2, an+i=an+ln 1+不；(2)ai= 1, an+i=2nan;(3)ai= 1, an+i=3an+2. 1斛 an+i = an + ln 1 + n ,L n ,. anan 1=ln 1+n_1 =ln nz(n>2),a

9、n= (an an 1) + (an 1 an-2)+ + (a2 ai) + ain n-13n n- 13=ln +ln 三 + -+ln 2+In 2 + 2 = 2+In二口 2-2=2+ln n(n>2).又a1= 2适合上式,故 an = 2+ In n(n C N*).(2)an+ 1 = 2nan0 =2-2)，an an1 an=:an 1 an2n(n 1)里 ai = 272- - 2=。+2+3+ +()=2=" ai又a1= 1适合上式,n(n 1)故an=2 2 (nCN*).(3)an+1= 3an+2 an+i + 1 = 3(an+ 1),又

10、ai=1, . ai + 1 = 2,故数列an+1是首项为2,公比为3的等比数列,an+ 1 = 2故 an=2 笔一1一1(nC N*).一，一、，一，n.n - 1* 、 一引申探允在本例(2)中，右an = -n an 1 (n > 2,且nCN ),其他条件不变， 则an =答案n解析n 1an = an 1 (n>2),1,a2=2ai.n 2an 1=Tan 2,n-1'以上(n1)个式子相乘得1 2 n 1 _ ai_1 an=ai23-=7=n.当n=1时也满足此等式，an=1.n思维升华已知数列的递推关系求通项公式的典型方法(1)当出现an=ani+m时

11、，构造等差数列.(2)当出现an=XanT + y时,构造等比数列.(3)当出现an= an-i+f(n)时,用累加法求解.(4)当出现anan 1f(n)时，用累乘法求解.跟踪训练 已知数列an满足ai=1, 32 = 4, an+2+2an=3an+i(nCN*),则数列an的通项 公式an=.答案 3X2n1 2解析 由 an+2 + 2an3an+i = 0,得 an+2 an+ 1 = 2(an + 1 - an),:数列an+1an是以a2a1=3为首项，2为公比的等比数列，an+1an= 3X 2 11 1则 a2=a1 + 1 2, a3=a2+23,.当 n' 2 时

12、，an an-1 = 3x 2n 2,，a3 a2=3X2, a2 a1=3, 将以上各式累加，得ana1=3X2n 2+ +3X 2+3=3(2n 1 1),，an=3X2n1 2(当 n= 1 时，也满足). 1(2)在数列an中，a1 = 3, an+1=an+n ,+1 ,则通项公式 an=1答案41 n解析 原递推公式可化为 an+1=an + 1-,a4= a3+3-314,1an 1 = an - 2 +-n 21n 11,an = an T +-n- 1-,逐项相加得an=a1+1一 nnn n+ 1命题点1数列的单调性典例 已知an=g，那么数列 3是()A.递减数列 B.递

13、增数列 C.常数列 D.摆动数列答案 B解析 an= 1-，将an看作关于n的函数，nC N*,易知an是递增数列. n 1命题点2数列的周期性1一典例 数列an满足 an+1 = 13a，a8= 2,则 a1 =一一1斛析.an+1=E?11an+1 =-1 - an11 1 an 11 an-11 an-11=11 一 an-1 - 1 an- 1an 1/11 一=1 -1= 1 一 (1 一 an 2)= an 2, n > 3,1 an 2周期 T=(n+1) (n 2)=3.a8= a3x2+ 2= a2= 2.而 a2=7J,a1 = 1.1 a12命题点3数列的最值典例

14、数列an的通项an = n0,则数列an中的最大项是()A-3版B-19昂D答案解析令f(x) = x+ 90(x>0),运用基本不等式得f(x)>2版，当且仅当x= 3痂时等号成立.x因为1 111.an = -,所以 玄w 尸7,由于 nC N ,不难发现当 n=9或n=10时，an = 方取大.90, 90 2 '9019n+n+ 一思维升华(1)解决数列的单调性问题可用以下三种方法用作差比较法，根据 an+1 an的符号判断数列an是递增数列、递减数列还是常数列.一 ,， 、 ，,、 . .一一 an+1用作商比较法，根据-(an>0或an<0)与1的大

15、小关系进行判断. an结合相应函数的图象直观判断.(2)解决数列周期性问题的方法先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值.数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解.C 112an, 0w anW 2)跟踪训练(1)数列an满足an + 1 =C12an 1, 2<an<13 一 .a1 = T，则数列的第 2 018项为51答案5.一,.一31解析由已知可得，a2=2><L = 5, a3=2x；= I，5 52 4 a4=2X5= 5' as= 2X4 1 = 3）55an为周期数列且T=4,3 018= a50=32=1.

16、5 . .an 1 、，一一，（2）（2017安徽名校联考）已知数列an的首项为2,且数列an满足an+1=一二，数列an的 an+1前n项的和为Sn,则S2 016等于（）A. 504 B. 588 C. 588 D. - 504答案 Can 111斛析 a1 = 2, an+1= a + 1, , a2= 3? a3= 2, a4= 3, a5 = 2,，数列an的周期为4,且 a1+a2+a3+a4=6，.2 016 r 504, . S2 016= 504x ，= 588,故选 C.解决数列问题的函数思想 10典例（1）数列an的通项公式是an=（n+1） 而n,则此数列的最大项是第

17、项.（2）若an=n2+kn + 4且对于nC N*,者B有an+1>an成立，则实数k的取值范围是 思想方法指导（1）可以将数列看成定义域为正整数集上的函数；（2）数列的最值可以根据单调性进行分析.1010 _斛析 .（2017湖南长沙一模）已知数列的前4项为2,0,2,0,则依此归纳该数列的通项不可能是（ ; an+lan= (n+2)莉 m+勤诃nx9-n/ / 入61111 '当 n<9 时，an+1 an>0,即 an+1>an；当 n = 9 时，an+1 an= 0,即 an+1 = an；当 n>9 时，an + 1 an<0,即 3

18、n + 1<an,该数列中有最大项，且最大项为第9,10项.(2)由an+ 1 >an知该数列是一个递增数列，又通项公式an=n （2018葫芦岛质检）数列2, -4, 6, 8,的第10项是（35 79+kn+4,(n+ 1)2+ k(n+ 1)+ 4>n2 + kn + 4,即 k> 1 2n,又 n C N , ''' k> 3.答案(1)9 或 10 (2)( 3, +8)A. an=(- 1)n 1+12, n为奇数, B . an =0, n为偶数njtC. an= 2sin 2D . an=cos(n 1) # 1课时作业答案

19、 C解析 对n= 1,2,3,4进行验证，知an=2sin221不合题意，故选 C.1618 C _ 2022A. -17 B- -19- - 21 D. -23答案 c解析 所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一部分进行分解：2n20符号、分母、分子.很容易归纳出数列an的通项公式an=（1）2黑，故aio= 天.3. （2017黄冈质检）已知在正项数列an中,ai=1, a2=2,2a2= a2+i +a2 i（n>2）,则a6等于（）A. 16 B. 4 C. 2播 D. 45答案 B解析 由题意得 a2+1 - a2= a2a21 =a2a2= 3,故a2

20、是以3为公差的等差数列，即 a2=3n 2.所以 a2= 3X 62= 16.又 an>0,所以 a6=4.故选 B.4.若数列an满足 a1 = 2, a2= 3, an=(n>3 且 nC N ),则 a2 018 等于(an 212A. 3 B. 2C； D.Z23答案 A解析 由已知 a3 = a2= 3, a4=a3=1,a1 2a2 2a5=a4a313'a5 a6=-=a423,a7=a8 =a7 门=3a6，数列an具有周期性，且T = 6,a2 018= a336x6+2= 32= 3.5. （2018长春调研）设an= 3n2+15n 18,则数列an中

21、的最大项的值是（A噂 B.13 33C. 4 D. 0答案 D5 c 3 解析.an=3 n2 2+3,由二次函数性质，得当n=2或3时，an最大，最大为0.5 a n 11,nW5）6. （2017江西六校联考）已知数列an满足an= an 4 n>5且an是递增数列，则实数a的取值范围是（）A. （1,5） B. 7, 5 C. 7, 5 D. （2,5）33答案 D5a n 11, nW 5解析.an=a4 n>5且an是递增数列，5 a>0,a>1,解得 2<a<5,故选 D.5 5 a 11<a2,7 .若数列an满足关系 an+ 1= 1

22、+, a8= Iy，则 a5=.an21答案85解析 借助递推关系，由a8递推依次得到a7 = g, a6 = , a5=J.13858 .已知数列an的前 n 项和 Sn=n2 + 2n+1(nC N*),则 an =答案4, n=1, 2n+1, n>2解析 当 n>2时，an= Sn Sn 1= 2n+ 1, 当 n = 1 时，a1 = S1 = 4w2X1 + 1,因止匕an =4, n = 1, 2n+1, n>2.6 一一.9. (2018大庆模拟)已知数列an的通项公式an=(n+2) 7 n,则数列 an的项取最大值时，n答案解析假设第an > an

23、1 , n项为最大项，则an > an + 1 ,6n+2 7n6n> n+ 1 76 n+2 7n> n+3 7n+ 1nW 5,解得即4W nw 5,n> 4,又nCN*,所以n = 4或n=5,65 故数列an中a4与a5均为最大项，且 a4=a5=77.10. (2017 太原模拟)已知数列an满足 a=1, anan+1 = nanan+1(n C N*),则 an =答案2n2- n+ 2解析 由 an an+i = nanan+i,得1工=n,则由累加法得-an+1 anan1n2 n=1 + 2+ (n 1)=-, ai21 n2 nn2 n+ 2又因为

24、ai = 1，所以0rM+1=_，2.所以小=尸官MNI1 o 1*11.已知Sn为正项数列an的前n项和，且满足 Sn=-an+2an(n N ).(1)求 a1，a2, a3, a4 的值；(2)求数列an的通项公式.1 c 1*斛 (1)由 Sn= 2an + 2an (n C N )可得1 2 1a1 = 2a2 + 2a1，解得 a1=1,S2= a1+a2= 2a2+ 2a2,解得 a2= 2,同理，a3= 3, a4= 4.(2)Sn= a2-+ 2a2,an 11c当 n>2 时，Sn1= -2- + 2an1,一得(an an 1 1)(an+ an 1) = 0.由于

25、 an + an-1W0,所以 anan-1=1,又由(1)知a1=1,故数列an为首项为1,公差为1的等差数列, 故 an= n.12.已知数列an的各项均为正数，记数列 an的前n项和为数列a2的前n项和为Tn 且 3Tn = S2+ 2Sn, n C N .求a1的值；(2)求数列an的通项公式.解(1)由 3T1=S1+2S1,得 3a2 = a2+2a1,即 a2a1=0.因为a1>0,所以a1 = 1.(2)因为 3Tn = S2 + 2Sn,所以 3Tn+ 1 = Sn + 1 + 2 Sn+ 1,一，得 3an+1 = S2+1 S2+2an+1.因为 an+1>0

26、,所以 3an+1 = Sn+1 + Sn+2 ,所以 3an+2= Sn+2+Sn+1 + 2,一,得 3an+2 3an+1 = an+ 2+ an+1,即 an+2= 2an+ 1)所以当n>2时，an11 =2.an又由 3T2=S2+2S2,得 3(1 + a2) = (1 + a2)2+ 2(1 + a2),即 a2 2a2 = 0.32因为32>0,所以32 = 2,所以一 =2,a1所以对nC N*,都有智=2成立， an所以数列an的通项公式为an=2n 1, n N*.13. （2017江西师大附中、鹰潭一中联考 ）定义：在数列an中，若满足an+2an+1an

27、+1an= d(nC Nd为常数），称an为“等差比数列”.已知在“等差比数列”an中，a1= a2= 1 ,a3= 3,则如等于（）a2 013A. 4X 2 0152-1 B. 4X 2 0142-1C. 4X 2 0132- 1D. 4X2 0132答案解析由题知史二是首项为1,公差为2的等差数列，则 anan+1刀=2n-1,所以an =an 、 , an 1 xan 1an 2X X丝Xa1a1 = (2n-3)x (2n-5)x - x 1.所以a2"2X 2 015 3 2X 2 0155 X X 1a2 0132X 2 013 3 2X 2 013-5 X X 1 =

28、4 027X 4 025= (4 026 + 1)(4 026-1)=4 0262- 1 = 4X 2 0132- 1.14.若数列n n+4 | n中的最大项是第k项，则k= 3答案 4解析设数列为 an,则an+i an= (n+ 1)( n+ 5) | n 1 n(n+ 4) | n 332 _ 2 cc2n-=3 n 3 n2+6n + 5 -n2-4n (10- n2).所以当nW 3时，an+1>an；当 n>4 时，an+1<an.因此，a1<a2<a3<a4, a4>a5>a6>，故a4最大，所以k= 4.15.在数列an中，