复变函数积分与级数习题课

1、复变函数积分与级数复变函数积分与级数习题课习题课 一、复积分重点与难点一、复积分重点与难点重点：重点：难点：难点：1. 复积分的基本定理；复积分的基本定理；2. 柯西积分公式与高阶导数公式柯西积分公式与高阶导数公式 复合闭路定理与复积分的计算复合闭路定理与复积分的计算（1 1）. .积分的定义积分的定义1、复积分基本定理、复积分基本定理oxyAB1 nzkz1 kz2z1zk C1 2 .)(limd)(1knkknCzfzzf （2 2）. .积分存在的条件及线积分的计算积分存在的条件及线积分的计算（a a）化成线积分）化成线积分且且存在存在则积分则积分连续连续沿逐段光滑的曲线沿逐段光滑的曲

2、线设设,d)(,),(),()( CzzfCyxivyxuzf CCCyyxuxyxviyyxvxyxuzzf.d),(d),(d),(d),(d)(（b b）用参数方程将积分化成定积分）用参数方程将积分化成定积分的参数方程是的参数方程是设简单光滑曲线设简单光滑曲线 C)()()()(btatiytxtzz .d)()(d)(ttztzfzzfCba 则则(3).(3).积分的性质积分的性质;d)(d)()1( CCzzfzzf )(;d)(d)()2(为常数为常数kzzfkzzkfCC ;d)(d)(d)()()3( CCCzzgzzfzzgzf.)(),(连续连续沿曲线沿曲线设设Czgzf

3、 CCCzzfzzfzzfCCC12;d)(d)(d)(,)4(21则则连结而成连结而成由由设设 CCMLszfzzfMzfCzfLC.d)(d)( ,)( )( , )5(那末那末上满足上满足在在函数函数的长度为的长度为设曲线设曲线(4) (4) 柯西定理柯西定理 . d)( , )( 无关无关线线与连结起点及终点的路与连结起点及终点的路那末积分那末积分析析内处处解内处处解在单连通域在单连通域如果函数如果函数定理1定理1CzzfBzfC . 0d)( : )( , )( czzfCBzfBzf的积分为零的积分为零内的任何一条封闭曲线内的任何一条封闭曲线沿沿那末函数那末函数内处处解析内处处解析

4、在单连通域在单连通域如果函数如果函数).()( , d)()( , )( 0zfzFBfzFBzfzz 并且并且解析函数解析函数内的一个内的一个必为必为那末函数那末函数析析内处处解内处处解在单连通域在单连通域如果函数如果函数 定理2定理2由定理得由定理得 21d)(d)(CCzzfzzf 10d)(zzzzfBB 0z1z 0z1z 1C2C1C2C(5).(5).原函数的定义原函数的定义. )( )( , )()( , )( )( 的原函数的原函数内内在区域在区域为为那末称那末称即即内的导数为内的导数为在区域在区域如果函数如果函数BzfzzfzzfBz .)( d)()( 0的一个原函数的一

5、个原函数是是因此因此zffzFzz . )(一个常数一个常数的任何两个原函数相差的任何两个原函数相差zf. , )()(d)( , )( )( , )( 100110内内的的两两点点为为域域这这里里那那末末的的一一个个原原函函数数为为内内处处处处解解析析在在单单连连通通域域如如果果函函数数定定理理BzzzGzGzzfzfzGBzfzz ( (牛顿牛顿- -莱布尼兹公式莱布尼兹公式) )(6).(6).闭路变形原理闭路变形原理 , , , , , , , , , , , 2121DCCCCCCCCDCnn为边界的区域全含于为边界的区域全含于并且以并且以互不包含也互不相交互不包含也互不相交它们它们

6、内部的简单闭曲线内部的简单闭曲线是在是在内的一条简单闭曲线内的一条简单闭曲线多连通域多连通域为为设设 , )( 内解析内解析在在如果如果DzfDC1C2C3C (7). (7).复合闭路定理复合闭路定理 一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值线在区域内作连续变形而改变它的值.那末那末). , , , , :( , , , , 2121顺时针进行顺时针进行按按按逆时针进行按逆时针进行其方向是其方向是组成的复合闭路组成的复合闭路为由为由这里这里nnCCCCCCCC . 0d)()2( zzf ; 均取正方向均取正方向及及其中其中kC

7、C,d)(d)()1(1 nkCCkzzfzzf(7).(7).柯西积分公式柯西积分公式 CzzzzfizfCzDDCDzf.d)(21)( , , , , )( 000那末那末内任一点内任一点为为于于它的内部完全含它的内部完全含闭曲线闭曲线内的任何一条正向简单内的任何一条正向简单为为内处处解析内处处解析在区域在区域如果函数如果函数一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值平均值.则有则有是圆周是圆周如果如果,0 ieRzzC .d)(21)(2000 ieRzfzf (8). (8).高阶导数公式高阶导数公式. , )( ), 2 , 1(d)()

8、(2!)( : , )( 0100)(DzDzfCnzzzzfinzfnzfCnn而且它的内部全含于而且它的内部全含于线线任何一条正向简单闭曲任何一条正向简单闭曲的的内围绕内围绕的解析区域的解析区域为在函数为在函数其中其中导数为导数为阶阶它的它的的导数仍为解析函数的导数仍为解析函数解析函数解析函数 二、复积分典型例题二、复积分典型例题例例1 1 计算计算 的值，其中的值，其中C为为1）沿从）沿从 到到 的线段：的线段：2）沿从）沿从 到到 的线段：的线段： 与从与从 到到 的线段的线段 所接成的折线所接成的折线. czzd)0 , 0()1 ,1(; 10 , ttytx)0 , 0()0 ,

9、 1(, 10 , 0,:1 tytxC)0 , 1()1 , 1(10 , 1:2 ttyxC解解 10)(d)(dittittzzc 10d)1)(tiitt 10d2tt)1 , 1()0 , 1(C1C2COxy; 1 zzzzzzcccddd)221 1010d)1 (dtiittt i2121.1i 解解.d42)1cos(21001zzzzzz 例例2 2 计算计算故由柯西定理得. 0d42)1cos(21001 zzzzzz被积函数奇点不在积分区域内，计算以下积分沿指定路径23: izC例例3 3 CCzzzzezzz.d)1()2(;d)1(1)1(22解解由复合闭路定理有由

10、复合闭路定理有则则及及为半径作圆为半径作圆以以为圆心为圆心及及以以分别分别及及内有两个奇点内有两个奇点在在,41,00)1(1)1(212CCizzizzCzz CCCzzzzzzzzz12d)1(1d)1(1d)1(1222 解法一解法一 利用柯西定理及重要公式利用柯西定理及重要公式izizzzz 1211211)1(12由柯西定理有由柯西定理有, 0d1211 zizC, 0d1211 zizC, 0d12 zzC, 0d1212 zizCyxOi i C2C1C 21d)(21d1d)1(12CCCzizzzzzzii 2212. i 解法二解法二 利用柯西积分公式利用柯西积分公式,11

11、)(121内解析内解析在在Czzf ,)(1)(22内解析内解析在在Cizzzf CCCzzzzzzzzz12d)1(1d)1(1d)1(1222 21d)(1d)1(12CCzizizzzzz)(2)0(221iiffi 2122ii. i 由复合闭路定理有由复合闭路定理有则则及及为半径作圆为半径作圆以以为圆心为圆心及及以以分别分别及及内有两个奇点内有两个奇点在在,41,00)1()2(212CCizzizzCzzez CCCzzzzzzezzzezzze12d)1(d)1(d)1(222,1)(121内解析内解析在在Czezfz ,)()(22内解析内解析在在Cizzezfz 因此由柯西积

12、分公式得因此由柯西积分公式得 CCCzzzzzzezzzezzze12d)1(d)1(d)1(222 21d)(d)1(2CzCzzizizzezzze)(2)0(221iiffi 222ieii).1cos2(1sin i)2(iei .10,d)1 (3光滑曲线的闭与是不经过其中计算CzzzeCz例4例4解解分以下四种情况讨论：分以下四种情况讨论：则则也不包含也不包含既不包含既不包含若封闭曲线若封闭曲线, 10)1C,)1()(3内解析内解析在在Czzezfz . 0d)1(3 Czzzze由柯西定理得则则而不包含而不包含包含包含若封闭曲线若封闭曲线, 10)2C由柯西积分公式得由柯西积分

13、公式得内解析内解析在在,)1()(3Czezfz xyOC 1zzzezzzeCCzzd)1(d)1(33 03)1(2 zzzei.2 i 则则而不包含而不包含包含包含若封闭曲线若封闭曲线, 01)3C,)(内解析内解析在在Czezfz 由高阶导数公式得由高阶导数公式得zzzezzzeCCzzd)1(d)1(33 zzzeCzd)1(3 )1(! 22fi 132)22( zzzezzi. ie , 01)4又包含又包含既包含既包含若封闭曲线若封闭曲线C,0,1 , 0212121互不包含互不包含互不相交互不相交与与且且内内也在也在和和使使为半径作圆为半径作圆以以为圆心为圆心则分别以则分别以

14、CCCCCCC 据复合闭路定理有据复合闭路定理有 Czzzzed)1(3 21d)1(d)1(33CzCzzzzezzzexyOC 11C2C Cziezzze.)2(d)1(3所以所以,)3d)1(23iezzzeCz 的结果的结果即为即为而积分而积分,2)2d)1(13izzzeCz 的结果的结果即为即为而积分而积分解解0)1(1)1()!1(2d)1( znznnizz; 0 0)1(1)()!1(2d)2( znzznzenizze0)!1(2 zzeni.)!1(2 ni.d)2(,d)1(11zzezzznzzn 为大于为大于1的自然数的自然数.n 例例5 5 计算下列积分计算下列

15、积分所以所以的奇点的奇点和和是是因为因为,10nznzezz 高阶导数公式应用高阶导数公式应用三、复变函数级数重点与难点三、复变函数级数重点与难点重点：重点：难点：难点：1、幂级数收敛半径、幂级数收敛半径2、函数展开成泰勒级数与洛朗级数、函数展开成泰勒级数与洛朗级数函数展开成洛朗级数函数展开成洛朗级数)()()()(21zfzfzfzsnn 称为这级数的部分和称为这级数的部分和. . 级数最前面级数最前面项的和项的和n1.复变函数项级数复变函数项级数 , ), 2 , 1()( 为为一一复复变变函函数数序序列列设设 nzfn )()()()(211zfzfzfzfnnn其中各项在区域其中各项在

16、区域 D内有定义内有定义. .表达式表达式称为复变函数项级数称为复变函数项级数, 记作记作 . )(1 nnzf四、内容提要四、内容提要2. 幂级数幂级数 1) 在复变函数项级数中在复变函数项级数中, 形如形如.zczczcczcnnnnn 22101的级数称为幂级数的级数称为幂级数.,0时时当当 a 22100)()()(azcazccazcnnn nnazc)(-阿贝尔阿贝尔Abel定理定理如果级数如果级数 0nnnzc)0(0 zz0zz 0zz 0zz , z在在收敛收敛, z那末对那末对的的级数必绝对收敛级数必绝对收敛, 如果如果在在级数发散级数发散, 那末对满足那末对满足的的级数必

17、发散级数必发散.满足满足3.收敛定理收敛定理方法方法1 1: 比值法比值法方法方法2: 根值法根值法4. 收敛半径的求法收敛半径的求法, 0lim 1 nnncc如果如果那末收敛半径那末收敛半径.1 R ., 0; 0,;0,1 R即即, 0lim nnnc如果如果那末收敛半径那末收敛半径.1 R5.5.复变幂级数在收敛圆内的解析性复变幂级数在收敛圆内的解析性 00)(nnnzzc设幂级数设幂级数的收敛半径的收敛半径为为,R那末那末是收敛圆是收敛圆Raz 内的解析函数内的解析函数 .它的和函数它的和函数 00)()(nnnzzczf, )(zf即即(1)(2)(zf在收敛圆在收敛圆Raz 内的

18、导数可将其幂内的导数可将其幂级数逐项求导得到级数逐项求导得到, 即即.)()(110 nnnzznczf(3)(zf在收敛圆内可以逐项积分在收敛圆内可以逐项积分, 即即 0.,d)(d )(ncnncRazczazczzf或或 01.)(1d)(nnnzaazncf 6. 泰勒级数泰勒级数, 2, 1 , 0),(!10)( nzfncnn其中其中泰勒级数泰勒级数 1)定理定理设设)(zf在区域在区域D内解析内解析,0z为为D 内的一内的一d为为0z到到D的边界上各点的最短距离的边界上各点的最短距离, 那末那末点点,dzz 0时时, 00)()(nnnzzczf成立成立,当当,! 21)1(0

19、2 nnnznznzzze,111)2(02 nnnzzzzz,)!12()1(! 5! 3sin)4(1253 nzzzzznn2)常见函数的泰勒展开式常见函数的泰勒展开式)1( z)1( z)( z)( z,) 1() 1(111)3(02 nnnnnzzzzz,)!2()1(! 4! 21cos)5(242 nzzzznn7. 洛朗级数洛朗级数定理定理内内可可展展开开成成洛洛朗朗级级数数在在那那末末析析内内处处处处解解在在圆圆环环域域设设DzfRzzRzf )( , )( 201 ,)()(0nnnzzczf Cnnzfic d)()(21 10其中其中),1,0( nC为圆环域内绕为圆

20、环域内绕 的任一正向简单闭曲线的任一正向简单闭曲线.0z为洛朗系数为洛朗系数.1)根据正、负幂项组成的的级数的唯一性根据正、负幂项组成的的级数的唯一性, 可可用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开 .(2) 间接展开法间接展开法2)将函数展为洛朗级数的方法将函数展为洛朗级数的方法(1) 直接展开法直接展开法,d)()(2110 Cnnzfic 根据洛朗定理求出系数根据洛朗定理求出系数.)()(0nnnzzczf 然后写出然后写出例例1 1 求下列幂级数的收敛半径求下列幂级数的收敛半径0002!)3(!)2()1(nnnnnnznnznz解解nnncc1

21、lim )1( 由由22)1(lim nnn, 1 . 1 R得得nnncc1lim )2( 由由)!1(!lim nnn, 0 . R得得nnncc1lim )3( 由由!)!1(limnnn , . 0 R得得三、典型例题三、典型例题例例2 2 展开函数展开函数 成成 的幂级数到的幂级数到 项项.zeezf )(z3z解解,)(zezeezf ,)()(2zzezezeeeezf zzzezezezeeeeeezf32)()(3)( 由此得由此得,)0(ef ,)0(ef ,2)0(ef .5)0(ef 所以所以.6532 ezezezeeze解析函数展为幂级数的方法解析函数展为幂级数的方

22、法利用定义来求利用定义来求.分析：采用间接法即利用已知的展开式来求分析：采用间接法即利用已知的展开式来求.解解)(21cos izizzzeeeze 因为因为21)1()1(ziziee 00!)1 (!)1 (21nnnnnnnzinzinnnnziin)1 ()1(!1210 )( z例例3 3 求求 在在 的泰勒展式的泰勒展式.zezfzcos)( 0 z例例4 4. 1 )1(1 3内的泰勒展开式内的泰勒展开式在在求函数求函数 zz分析：利用逐项求导、逐项积分法分析：利用逐项求导、逐项积分法.解解 )1(21)1(1 13zz因为因为)1( z所以所以 0321)1(1nnzz22)1

23、(21 nnznn.)1)(2(210mmzmm )1( z例例5 5. 11的幂级数的幂级数展开成展开成把把zez 解解 利用微分方程法利用微分方程法 ,)( 11zezf 因为因为211)1(1)(zezfz ,)1(1)(2zzf , 0)()()1( 2 zfzfz所以所以对上式求导得对上式求导得0)()32()()1(2 zfzzfz0)(2)()54()()1(2 zfzfzzfz由此可得由此可得,)0()0(eff ,3)0(ef ,13)0(ef 故故.! 313! 2313211 zzzeez)1( z例例6 6. 0 )1)(3(785)( 2234的泰勒展开式的泰勒展开式在点在点求求 zzzzzzzzf分析分析:利用部分分式与几何级数结合法利用部分分式与几何级数结合法. 即把函数即把函数分成部分分式后分成部分分式后, 应用等比级数求和公式应用等比级数求和公式.解解2)1(1322)( zzzzf1313131 zznnnz 0131)3( z)(1111zz nnnz 0) 1()1( z 1112)1()1(1 nnnnzz即即nnnzn)1()1