大学物理质点角动量

1、教材阅读指导教材阅读指导：P79-2326行，行，P87_94:不要求不要求其余要其余要本章重点本章重点：角动量的定义角动量的定义;守恒条件及应用守恒条件及应用本章难点本章难点：矢量运算矢量运算第五章：角第五章：角动量动量守恒守恒一一. 质点对定点的角动量质点对定点的角动量二二. 力矩力矩 角动量定理角动量定理三三. 角动量守恒定律角动量守恒定律五五. 角动量守恒定律应用角动量守恒定律应用四四. 质点系的角动量定理和角动量守恒定律质点系的角动量定理和角动量守恒定律点积的微商点积的微商点积点积abba abba btatbabat dddd)(dd2aaa 0aa 叉积的微商叉积的微商btatb

2、abat dddd)(dd叉积叉积数学准备：矢量运算知识复习：数学准备：矢量运算知识复习：kjiikjjik对定点对定点O：LsinmvrL 方向：矢量叉积方向：矢量叉积大小：大小：单位：单位： 或或smKg/.2sJ.12 TMLL右手四指从第一个矢量沿右手四指从第一个矢量沿 小于小于180度的方向转到第度的方向转到第 二个矢量时，拇指的方向。二个矢量时，拇指的方向。相对于相对于不同点不同点,角动量是角动量是不同不同的的.一一. 质点对定点的角动量质点对定点的角动量OXYZrvLvrmprLvmr O 与与 同方向同方向L mSunrrvv例例2.行星在绕太阳公转时的椭圆行星在绕太阳公转时的

3、椭圆轨道上对轨道上对太阳太阳的角动量：的角动量：方向：方向：例例1.质点圆周运动质点圆周运动,对对圆心圆心O点点的角动量的角动量mrvLOrvmvrLLLvrmprLsinmvrL 例例3.质点直线运动对某定点质点直线运动对某定点的角动量：的角动量：大小：大小：方向：方向： 思考思考: 什么情况下什么情况下L=0？Omrdv等于零吗等于零吗？sinmvrL mvddtBdABdtAdBAdtd )(* 微分公式微分公式)(vmrdtddtLd考虑：考虑：dtpdrvmrdtd)(vFFr 考虑角动量变化的原因考虑角动量变化的原因rFFrM zxyO二二.角动量定理角动量定理1.力矩：力矩：Fr

4、M 力力 对对O点的力矩点的力矩FdtLdM 2.角动量角动量定理定理：注意注意:(1)用于惯性系用于惯性系(2) 相对于相对于同一点同一点ML,rFa ao大小：大小：M对对O点的力矩点的力矩M关于力矩：关于力矩：方向：方向：右手螺旋法则右手螺旋法则a asinrFM 单位单位:N.m22 TMLLFr,取取 所在平面为所在平面为xoy平面平面对比中学的力矩对比中学的力矩力臂力臂=r sina ajgtvFrM xo例例4. x轴沿水平向右轴沿水平向右, y轴竖直向下轴竖直向下,在在t =0时刻将时刻将质量为质量为m的质点由的质点由a处静止释放处静止释放,让它自由下落让它自由下落.求求在任意

5、时刻在任意时刻t ,质点所受的质点所受的对原点对原点O的力矩的力矩和和对原对原点点O的角动量的角动量. 解：解：任意时刻任意时刻tjmgj yi a )(yajmgra avkamg )( vmrLjmgtj yi a )(kamgt 例例5.一质点的角动量为一质点的角动量为求质点在求质点在t = 1 s时所受力矩时所受力矩 . kttjtitL)812() 12(6232 kttji t)1636(2122 dtLdM 解：解： kji20212 t=1s 时时，当当0 M常常矢矢量量 L对于某一定点，如果质点所受的对于某一定点，如果质点所受的合外力矩合外力矩为零，则质点对为零，则质点对同一

6、定点同一定点的的角动量矢量角动量矢量保保持不变。持不变。说明：说明：1.适用对象：适用对象：三三. 角动量守恒定律角动量守恒定律单个质点；质点系单个质点；质点系2.条件：条件：0 M0,0 MF0,0 MrF的的延延长长线线力力在在有心力场有心力场dtLdM 对单个质点：对单个质点：例例6.质量为质量为m的小球系在绳的一端的小球系在绳的一端,另一端通过另一端通过圆孔向下圆孔向下,水平面光滑。开始小球作圆周运动水平面光滑。开始小球作圆周运动(r1,v1)。然后向下拉绳然后向下拉绳,使小球做半径为使小球做半径为r2的圆周的圆周运动。求：运动。求：v2=？ v1r1r2FOv2解解:作用在小球的力始

7、终作用在小球的力始终通过通过O点（有心力）点（有心力）对对O点力矩点力矩=0质点质点角动量守恒：角动量守恒：2211rmvrmv)v(vv112)(21rr例例7.证明证明开普勒第二定律开普勒第二定律(Keplers laws )：行星对行星对太阳的太阳的径矢径矢,在在相等相等的时间内扫过的时间内扫过相等相等的面积。的面积。CdtdS 证明什么？证明什么？tSdtdSt 三三角角形形0lima a sinrrS21a asinlim210trrdtdSt a asin21dtrdr mLvrmL2 sin r21vma aLvrra asin21rr 行星对太阳的行星对太阳的径矢径矢扫过的面积

8、：扫过的面积：tSdtdSt 三三角角形形0lim 三三角角形形S讨论：讨论：行星行星受力受力方向方向与与矢径矢径在一条直线上在一条直线上(中心力中心力), 总总是与是与矢径矢径反平行的。反平行的。故对故对力心力心,质点所受的质点所受的力矩力矩为零为零,角动量守恒！角动量守恒！1.行星受力吗行星受力吗?常常量量 LmLvr力心力心F2.行星的行星的动量动量时刻在变吗时刻在变吗? 其其角动量角动量在变吗在变吗?CmLdtdS 20FrM解：解：1v1r2r2v2211rmvrmvf太阳对水星的引力指向日心太阳对水星的引力指向日心0 FrM对日心对日心,卫星的卫星的角动量守恒角动量守恒Fr例例8.

9、水星绕太阳运行轨道的水星绕太阳运行轨道的近日点近日点和和远日点远日点到太到太阳的距离分别为阳的距离分别为kmr711059. 4 kmr721098. 6 求水星越过近日点和远日点时的求水星越过近日点和远日点时的速率速率。太阳水星系统太阳水星系统,只有万有引力作用只有万有引力作用,机械能守恒机械能守恒222121rGMmmv21rGMmvm21问题问题:能由水星在轨道上任意一点到日心的能由水星在轨道上任意一点到日心的 距离求出这点的速率吗距离求出这点的速率吗? iiLL1. 质点系对定点的角动量质点系对定点的角动量 jFi jipiFijfjifOirjr Niiipr12. 质点系的角动量定

10、理质点系的角动量定理 )(外iijijiiFfrdtLd 外)iiijijiiiFrfrdtLdLdtddtLdiiii()(合外力矩合外力矩 M外外合内力矩合内力矩 =0外外MFrdtLdiii 四四. 质点系的质点系的角动量定理角动量定理和和角动量守恒定律角动量守恒定律0 iiifr易易证证：222frM 221121frfrMM 21ff 0)(2212222121 frfrrfrfrMM o2r1rr2f1f111frM 时时，当当外外0 M常常矢矢量量 L对于某一定点，如果质点系所受的对于某一定点，如果质点系所受的外力矩外力矩的矢量和的矢量和为零，则质点系对为零，则质点系对同一定点同

11、一定点的的角角动量矢量动量矢量保持不变。保持不变。注意：注意： 对质点系：对质点系：是是不不同同的的条条件件与与0, 0 MF1F2FMOm3. 角动量守恒定律角动量守恒定律 例例9.半径为半径为r的轻滑轮的中心轴的轻滑轮的中心轴O水平地固定在高处水平地固定在高处,其上穿过一条轻绳其上穿过一条轻绳,质量相同质量相同的两个孩子的两个孩子,在在同一高同一高度从静止开始度从静止开始同时向上爬同时向上爬.任何时刻任何时刻,相对绳子相对绳子,甲甲的的速率是速率是乙乙的的2倍倍.试问谁先到达滑轮处？忽略摩擦试问谁先到达滑轮处？忽略摩擦. 解：以解：以二小孩二小孩为系统：为系统：外力：重力外力：重力内力：二

12、质点与绳子间的张力内力：二质点与绳子间的张力A. 甲甲 C. 同时到达同时到达B. 乙乙 D. 谁先到达不能确定谁先到达不能确定0外 imgrimgrM质点系对质点系对O角动量守恒角动量守恒例例9.半径为半径为r的轻滑轮的中心轴的轻滑轮的中心轴O水平地固定在高处，水平地固定在高处，其上穿过一条轻绳，其上穿过一条轻绳，质量相同质量相同的两个孩子。在的两个孩子。在同同一高度从静止开始一高度从静止开始同时向上爬，任何时刻，同时向上爬，任何时刻，相对相对绳子绳子，甲的速率是乙的，甲的速率是乙的2倍，试问谁先到达滑轮处？倍，试问谁先到达滑轮处？忽略摩擦。忽略摩擦。 解：以解：以二小孩二小孩为系统：为系统

13、：质点系对质点系对O角动量守恒角动量守恒0 ivrmivrm乙乙对对地地乙乙甲甲对对地地甲甲乙乙对对地地甲甲对对地地vv C. 同时到达同时到达为什么星系是扁状，盘型结构？1.孤立系孤立系五五.角动量守恒的几种可能情况：角动量守恒的几种可能情况：(自阅教材自阅教材88页页 5-2-4)v1r1r2FOv22.有心力场有心力场,对对力心力心角动量守恒角动量守恒.3.用分量式用分量式 虽然虽然 , 但对某轴外力矩为零但对某轴外力矩为零,则总则总角动量不守恒角动量不守恒,但对这轴的角动量是守恒的但对这轴的角动量是守恒的.0 iM xixLM;0常量常量 与刚体一同讨论与刚体一同讨论1v1r2r2vf

14、vrmprL1.质点质点角动量角动量：质点的：质点的位矢位矢与与动量动量的叉积的叉积3.质点质点(系系)角动量定理：角动量定理：FrM 4. 质点质点(系系)角动量守恒定律角动量守恒定律：2.对定点的对定点的力矩力矩：位矢：位矢与与力力的叉积的叉积时，时，当当外外0 M常矢量常矢量 L本章总结本章总结：外外MFrdtLdiii 0 M0,0 MF0,0 MrF的的延延长长线线力力在在单个质点：单个质点：对质点系：对质点系：是是不不同同的的条条件件与与0, 0 MF作业作业: 5.1; 5.6; 5.7; 5.11(用给出量用给出量表示表示); 5.15下次上习题课，请带下次上习题课，请带书。书

15、。习题课一（习题课一（111页）中，下列题不要页）中，下列题不要: P54，5； P710； P98，9；2；P105，P12页开始；页开始；例例10. 两个滑冰运动员的质量各为两个滑冰运动员的质量各为70 kg,以以6.5 m/s的速率沿相反方向滑行的速率沿相反方向滑行,滑行路线间的垂直距离滑行路线间的垂直距离为为10 m当彼此交错时各抓住当彼此交错时各抓住10 m绳索的一端，绳索的一端，然后相对旋转求然后相对旋转求.(1)在抓住绳索在抓住绳索前后前后各自对绳各自对绳中心的角动量是多少？中心的角动量是多少？(2)他们各自收拢绳索他们各自收拢绳索,到到绳长为绳长为5 m时时,各自的速率是多少？

16、绳子的张力是各自的速率是多少？绳子的张力是多少？多少？(3)在收拢绳索过程中各自做的功为多少？在收拢绳索过程中各自做的功为多少？总动能如何变化？总动能如何变化？解解.(1)每人对绳中心的角动量每人对绳中心的角动量 习题5.15图0v0vO0r0rmmO2r2r2v2v00 0Lmrv2170 6 5 52275.kg ms(2)牵手过程中无外力矩作用，质点系对绳牵手过程中无外力矩作用，质点系对绳中心的角动量守恒中心的角动量守恒 习题5.15图0v0vO0r0rmmO2r2r2v2v22112mr v = 2mr v-11212rv =v =13m sr2224732TmNrv22k211A=E =m(v -v )2(3)在收拢绳索过在收拢绳索过 程中各自做功程中各自做功 22