大学物理第六章-机械振动

1、第六章第六章 机械振动机械振动 任一物理量在某一定值附近往复变化均称为任一物理量在某一定值附近往复变化均称为振动振动. . 机械振动机械振动 物体在某一中心位置附近来回往复的运物体在某一中心位置附近来回往复的运动动. . 简谐运动简谐运动 最简单、最基本的振动最简单、最基本的振动. .简谐运动简谐运动复杂振动复杂振动合成合成分解分解 简谐振动：简谐振动：物体运动时，离开平衡位置的位移物体运动时，离开平衡位置的位移( (或或角位移角位移) )按余弦按余弦( (或正弦或正弦) )规律随时间变化。规律随时间变化。6-1 简谐振动简谐振动1.弹簧振子弹簧振子弹簧振子：弹簧振子： 连接在一起的一个忽略了

2、质量的弹簧和一连接在一起的一个忽略了质量的弹簧和一个不发生形变的物体系统。个不发生形变的物体系统。简谐振动的特征及其表达式简谐振动的特征及其表达式XOFFXOXO回复力：回复力：作简谐运作简谐运动的质点所受的沿动的质点所受的沿位移方向的合外力位移方向的合外力, , 该力与位移成正比该力与位移成正比且反向。且反向。kxF 简谐振动的动力学特征简谐振动的动力学特征: : 据牛顿第二定律，得据牛顿第二定律，得令令运动学特征运动学特征kxF , xmkmFa mk 2xdtxda222 0222 xdtxd或或位移位移 之解可写为：之解可写为：x或或)i(0etAx 0 tAxcos 简谐振动的运动学

3、特征简谐振动的运动学特征: :物体的加速度与位移成正物体的加速度与位移成正 比而方向相反，比而方向相反，物体的位移按余弦规律变化。物体的位移按余弦规律变化。速度速度加速度加速度简谐振动的特征及其表达式简谐振动的特征及其表达式 0 tAdtdxvsin 0222 tAdtxdacos 0 tAxcost 简谐振动中质点位移、速度、加速度与时间的关系简谐振动中质点位移、速度、加速度与时间的关系: :42简谐振动的特征及其表达式简谐振动的特征及其表达式xtvta 0 tAxcos2cossin00tAtAv0202coscostAtAa 0 tAxcos 常量常量 和和 的确定的确定A0根据初始条件

4、：根据初始条件： 时，时， , , ，得得0 xx 0vv 0t00cosAx 00sinAv 22020vxA 000 xvarctan在在 到到 之间，通常之间，通常 存在两个值，可根据存在两个值，可根据 进行取舍。进行取舍。000sinAv 0sintAvcos0A2 0sin0Av2 0sin取取0, 0, 0vxt已知已知 求求讨论讨论xvo)2 cos(tAxAAxT2Tto00cosAx 00sinAv6.2 简谐振动的振幅、周期和相位简谐振动的振幅、周期和相位(1)(1)振幅振幅: : 物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。由初始条件确定由初始

5、条件确定)cos(0tAx(2)(2)周期和频率周期和频率 周期：周期：物体作一次完全运动所经历的时间。物体作一次完全运动所经历的时间。频率：频率：单位时间内物体所作完全运动的次数。单位时间内物体所作完全运动的次数。21T22020vxA 2 T)(cos0tTA22T角频率角频率: : 物体在物体在 秒内所作的完全运动的次数。秒内所作的完全运动的次数。2对于弹簧振子，因有对于弹簧振子，因有 ，得，得: :mk,2kmTmk21利用上述关系式，得谐振动表达式：利用上述关系式，得谐振动表达式：02cosTtAx02costAx)cos(0tAx2 T21T(3)(3)相位和初相相位和初相 简谐振

6、动的振幅、周期、频率和相位简谐振动的振幅、周期、频率和相位)sin(0tAv)cos(02tAa)cos(0tAx1 1） 存在一一对应的关系存在一一对应的关系; ;),(vxt202 2）相位在相位在 内变化，质点内变化，质点无相同无相同的运动状态；的运动状态； ) (2nn相差相差 为整数为整数 质点运动状态质点运动状态全同全同. .（周期性）周期性）相位相位 ：决定简谐运动状态的物理量。：决定简谐运动状态的物理量。)(0t初相位初相位 ：t =0 时的相位。时的相位。描述质点初始时刻的运动状态描述质点初始时刻的运动状态. . 0 以以 为为原点旋转矢原点旋转矢量量 的端点的端点在在 轴上

7、的轴上的投影点的运投影点的运动为简谐运动为简谐运动动. .xAoxoAcos0Ax 当当 时时0t0 xxoAtt t)cos(tAx时时6.3 简谐振动的矢量表示法简谐振动的矢量表示法 以以 为为原点旋转矢原点旋转矢量量 的端点的端点在在 轴上的轴上的投影点的运投影点的运动为简谐运动为简谐运动动. .xAoxoAtt t)cos(tAx时时 简谐振动的矢量图示法简谐振动的矢量图示法振动相位振动相位逆时针方向逆时针方向 M 点在点在 x 轴上投影轴上投影( (P点点) )的运动的运动规律规律： 的长度的长度A 旋转的角速度旋转的角速度A旋转的方向旋转的方向A与参考方向与参考方向x 的夹角的夹角

8、AXOM P xA0t振幅振幅A振动圆频率振动圆频率)cos(0 tAx 简谐振动的矢量图示法简谐振动的矢量图示法Amv)2 cos(tAv)cos(2tAa2mAa2 tmvvxy0At)cos(tAxnaa用旋转矢量图画简谐运动的用旋转矢量图画简谐运动的 图图tx讨论讨论 相位差：表示两个相位之差相位差：表示两个相位之差 . .用旋转矢量方便的比较简谐振动状态。用旋转矢量方便的比较简谐振动状态。AAx2AtoabxAA0 1 1）对对同一同一简谐运动，相位差可以给出两运动状简谐运动，相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间。态间变化所需的时间。)()(12tt12tttat3 TTt612

9、3v2Abt二者的二者的相位差相位差为：为： 简谐振动的振幅、周期、频率和相位简谐振动的振幅、周期、频率和相位)cos(111tAx)cos(222tAx 12tt12 2 2）对于两个对于两个同同频率频率的简谐运动，相位差表示它的简谐运动，相位差表示它们间们间步调步调上的上的差异差异. .采用旋转矢量直观表示为：采用旋转矢量直观表示为：XO121A2A 简谐振动的振幅、周期、频率和相位简谐振动的振幅、周期、频率和相位讨论讨论: : (a) (a)当当 时时, ,称两个振动为同相；称两个振动为同相；k2XO1A2Axto0同步同步(b)(b)当当 时时, ,称两个振动为反相；称两个振动为反相；

10、) 12(kXO1A2Atxo反相反相(d)(d)当当 时时, ,称第二个振动落后第一个振动称第二个振动落后第一个振动 。0(c)(c)当当 时时, ,称第二个振动超前第一个振动称第二个振动超前第一个振动 ；0 简谐振动的振幅、周期、频率和相位简谐振动的振幅、周期、频率和相位xto为其它为其它超前超前落后落后XO121A2A 速度的相位比位移的相位超前速度的相位比位移的相位超前 ，加速度的相，加速度的相位比位移的相位超前位比位移的相位超前 。2 简谐振动的振幅、周期、频率和相位简谐振动的振幅、周期、频率和相位 相位可以用来比较不同物理量变化的步调，对相位可以用来比较不同物理量变化的步调，对于简

11、谐振动的位移、速度和加速度，存在于简谐振动的位移、速度和加速度，存在: :)cos(0 tAx 200 tvtvvmmcossin 00tataammcoscos例例6-1 6-1 一物体沿一物体沿X轴作简谐振动轴作简谐振动，振幅振幅A=0.12m, ,周期周期T=2s。当当t=0t=0时时, ,物体的位移物体的位移x= =0.06m, ,且向且向X轴正向运动轴正向运动。求求:(1):(1)简谐振动简谐振动表达式表达式；(2) (2) t = =T/4时物体的位置、速度和加速度时物体的位置、速度和加速度；(3)(3)物体从物体从 x =-0.06=-0.06m向向 X 轴负方向运动，轴负方向运

12、动，第一次回到平衡位置所需时间。第一次回到平衡位置所需时间。解解: (1): (1)取平衡位置为坐标原点取平衡位置为坐标原点, ,谐振动方程写为：谐振动方程写为：其中其中A=0.12m, T=2s, )(s21T初始条件：初始条件：t = 0, x0=0.06m,可得可得06. 0cos12. 0030据初始条件据初始条件 得得, 0sin00Av30 简谐振动的矢量图示法简谐振动的矢量图示法)cos( tAx)cos(.3120 tx m在在t =T/4=0.5s时时，从前面所列的表达式可得从前面所列的表达式可得 简谐振动的矢量图示法简谐振动的矢量图示法)sin(.3120 tdtdxv 1

13、 sm)cos(.31202 tdtdva 2 smmmx1040350120.).cos(. 11180350120 smsmv.).sin(.222031350120 smsma.).cos(.(2) t =T/4时物体的位置、速度和加速度；时物体的位置、速度和加速度；)cos(.3120 tx m当当x = -0.06m时时，该时刻设为该时刻设为t1 1, ,得得因该因该时刻速度为负时刻速度为负，应舍去，应舍去 ，设物体在设物体在t2 2时刻第一次回到平衡位置，相位是时刻第一次回到平衡位置，相位是因此从因此从x = -0.06m处第一次回到平衡位置的时间处第一次回到平衡位置的时间：另解另

14、解：从从t1 1时刻到时刻到t2 2时刻所对应的相差为时刻所对应的相差为： 简谐振动的矢量图示法简谐振动的矢量图示法2131 )cos(t343231, t34st11 232332 tst8312. sttt83012. 653223 st830. (3)物体从物体从 x = - 0.06m向向 X 轴负方向运动，第一次回到平衡位置所需时间。轴负方向运动，第一次回到平衡位置所需时间。)cos(.3120 tx m 几种常见的简谐振动几种常见的简谐振动(1) (1) 单摆单摆重物所受合外力矩：重物所受合外力矩：据转动定律，得到据转动定律，得到 很小时很小时( (小于小于 ) )，可取，可取5令

15、令 , ,lg2有有sinmglM !sin5353sin mglM lgmlmglJMdtd 222gmTOl0222dtd转角转角 的表达式可写为：的表达式可写为： 几种常见的简谐振动几种常见的简谐振动)cos(0 tm0222dtdlgT22 lg2(2) (2) 复摆复摆一个可绕固定轴摆动的刚体称为复摆。一个可绕固定轴摆动的刚体称为复摆。OgmC 刚体的质心为刚体的质心为C, , 对过对过O 点的点的转轴的转动惯量为转轴的转动惯量为J, , O、C 两点间两点间距离的距离为距离的距离为l。所受合外力矩：所受合外力矩：sinmglM 令令据转动定律，得据转动定律，得若若 角度较小时角度较

16、小时 几种常见的简谐振动几种常见的简谐振动sindd22mgltJmgltJ22ddJmgl20222 tddmglJT22例例6-2 6-2 一质量为一质量为m 的平底船，其平均水平截面积为的平底船，其平均水平截面积为S，吃水深度，吃水深度为为h，如不计水的阻力，求此船在竖直方向的振动周期。，如不计水的阻力，求此船在竖直方向的振动周期。解解: : 船静止时浮力与重力平衡，船静止时浮力与重力平衡，mghSg OyPPy在任一位置时船在任一位置时船的位移用的位移用y 表示。表示。 几种常见的简谐振动几种常见的简谐振动船的位移为船的位移为y 时船所受合力为：时船所受合力为：SgymgSgyhf)(

17、船在竖直方向作简谐振动。船在竖直方向作简谐振动。其角频率和周期为其角频率和周期为: :mSggSmT22因因,ShmghT2得得: : 几种常见的简谐振动几种常见的简谐振动Sgyf6.4 6.4 简谐振子的能量简谐振子的能量动能动能势能势能以水平弹簧振子为例讨论简谐振动系统的能量。以水平弹簧振子为例讨论简谐振动系统的能量。系统总的机械能：系统总的机械能：)(sin022222121 tAmmvEK)(cos02222121 tkAkxEPPKEEE )(cos)(sin02202222121 tkAtAmPKEEE 考虑到考虑到 ，系统总能量为，系统总能量为 ，表，表明简谐振动的机械能守恒。明

18、简谐振动的机械能守恒。221kAE mk2 简谐振动的能量简谐振动的能量能量平均值能量平均值上述结果对任一谐振系统均成立。上述结果对任一谐振系统均成立。20022241211kAttAmTETK d)(sin2002241211kAttkATETP d)(cos2EEEPK 谐振子的动能、势能和总能量随时间的变化曲线谐振子的动能、势能和总能量随时间的变化曲线: :tAxcos221kAE PEkEE 简谐振动的能量简谐振动的能量ttOOx恒量 212122Ekxmv0 dtdxkxdtdvmvt求导等式两边对0 22kxvdtxdmv即0 22xmkdtxd6-5 简谐振动的合成简谐振动的合成

19、1.1.同方向同频率的两个简谐振动的合成同方向同频率的两个简谐振动的合成 设一质点同时参与沿同一方向设一质点同时参与沿同一方向(x 轴轴)的两个独立的的两个独立的同频率的简谐振动，两个振动位移为：同频率的简谐振动，两个振动位移为：)cos(111tAx)cos(222tAx合位移：合位移：)cos(21tAxxx)cos(212212221AAAAA合振动仍然是简谐振动，其方向和频率与原来相同。合振动仍然是简谐振动，其方向和频率与原来相同。22112211coscossinsintgAAAA矢量沿矢量沿X 轴之投影表征了合运动的规律。轴之投影表征了合运动的规律。旋转矢量图示法旋转矢量图示法同方

20、向同频率的两个简谐振动的合成同方向同频率的两个简谐振动的合成21AAA X1A2A212x1xxOA同方向同频率的两个简谐振动的合成同方向同频率的两个简谐振动的合成(1)当当 212k (k=0及正负及正负整数整数)，cos(2 -1)=1, 有有同相迭加，合振幅最大同相迭加，合振幅最大。讨论：讨论：同方向同频率的两个简谐振动的合成同方向同频率的两个简谐振动的合成)cos(212212221AAAAAX2A1AOxxtoo212k)cos()(21tAAxA21AAA1A2AT21AAA (2)当当 21(2k+1) (k=0及正及正负整数负整数), cos(2 - 1)=0, 有有反相迭加，

21、合振幅最小反相迭加，合振幅最小。 当当A1=A2 时，时，A=0。同方向同频率的两个简谐振动的合成同方向同频率的两个简谐振动的合成X2A1AO21AAA xxtoo21AAA2T2A21AA)cos(212212221AAAAA同方向同频率的两个简谐振动的合成同方向同频率的两个简谐振动的合成(3)通常情况下，合振幅介于通常情况下，合振幅介于 和和 之间。之间。21AA 21AA 一般情况一般情况2121AAAAA21AAA相位差相位差相位差相位差21AAA212k)10( ， k相互加强相互加强相互削弱相互削弱) 12(12k)10( ， k2.2.同方向不同频率的两个简谐振动的合成同方向不同

22、频率的两个简谐振动的合成两个简谐振动合成得：两个简谐振动合成得： 当两个同方向简谐振动的频率不同时，在旋转矢当两个同方向简谐振动的频率不同时，在旋转矢量图示法中两个旋转矢量的转动角速度不相同，二者量图示法中两个旋转矢量的转动角速度不相同，二者的相位差与时间有关，合矢量的长度和角速度都将随的相位差与时间有关，合矢量的长度和角速度都将随时间变化。时间变化。两个简谐振动的频率两个简谐振动的频率 和和 很接近，且很接近，且1212)2cos()2cos(201212ttAxx = x1+ x2)cos(),cos(022011tAxtAx同方向不同频率的两个简谐振动的合成同方向不同频率的两个简谐振动的

23、合成 拍拍21122因因,21112或或,2有有 在两个简谐振动的位移合成表达式中，第一项随在两个简谐振动的位移合成表达式中，第一项随时间作缓慢变化时间作缓慢变化, , 第二项是角频率近于第二项是角频率近于 的简谐的简谐函数。合振动可视为是角频率为函数。合振动可视为是角频率为 、振幅为、振幅为 的简谐振动。的简谐振动。1或或22)(212)(cos212tA 合振动的振幅随时间作缓慢的周期性的变化，振合振动的振幅随时间作缓慢的周期性的变化，振动出现时强时弱的动出现时强时弱的拍现象拍现象。拍频拍频: :单位时间内强弱变化的次数。单位时间内强弱变化的次数。)2cos()2cos(201212ttA

24、x同方向不同频率的两个简谐振动的合成同方向不同频率的两个简谐振动的合成 拍拍12122)2cos()2cos(201212ttAx拍频拍频: :单位时间内强弱变化的次数。单位时间内强弱变化的次数。振幅部分振幅部分)2cos(212tA振幅拍频拍频t1xt2xtx同方向不同频率的两个简谐振动的合成同方向不同频率的两个简谐振动的合成 拍拍相互垂直的简谐振动的合成相互垂直的简谐振动的合成两个同频率的相互垂直的分运动位移表达式两个同频率的相互垂直的分运动位移表达式消时间参数，得消时间参数，得)cos(11tAx)(sin)cos(21221221222212AyAxAyAx)cos(22tAy 合运动

25、一般是在合运动一般是在 ( x 向向)、 ( y 向向)范围内的一范围内的一个椭圆。个椭圆。 12A22A 椭圆的性质椭圆的性质( (方位、长短轴、左右旋方位、长短轴、左右旋 ) )在在 A1 、A2确定之后确定之后, ,主要决定于主要决定于 。12用用旋旋转转矢矢量量描描绘绘振振动动合合成成图图相互垂直的简谐振动的合成相互垂直的简谐振动的合成(1) 2 10, , 两个分振动同相位，得两个分振动同相位，得xAAy12在任一时刻离开坐标原点位移为：在任一时刻离开坐标原点位移为：)cos(2221tAAs(2) 2 1 , 两个分运动反相位，得两个分运动反相位，得xAAy12几种特殊情况：几种特

26、殊情况：(3) 21/2，得，得1222212AyAx(4) 2 1 3/2，仍然得，仍然得1222212AyAx几种特殊情况：几种特殊情况：这是坐标轴为主轴的椭圆，质这是坐标轴为主轴的椭圆，质点的轨迹是顺时针旋转。点的轨迹是顺时针旋转。与与33相同，只是质点的轨迹相同，只是质点的轨迹沿逆时针旋转。沿逆时针旋转。相互垂直的简谐振动的合成相互垂直的简谐振动的合成4相互垂直的简谐振动的合成相互垂直的简谐振动的合成47几种特殊情况：几种特殊情况：120QP .4243452347相互垂直的简谐振动的合成相互垂直的简谐振动的合成方向垂直的不同频率的简谐振动的合成方向垂直的不同频率的简谐振动的合成 两分

27、振动频率相差很小两分振动频率相差很小 可看作两频率相等而可看作两频率相等而 随随t 缓慢变化，合运动缓慢变化，合运动轨迹将按上页图依次缓慢变化轨迹将按上页图依次缓慢变化 轨迹称为李萨如图形轨迹称为李萨如图形-A2yxA1A2O- A1 两振动的频率成两振动的频率成整数比整数比t )(120,42:3:1020yx相互垂直的简谐振动的合成相互垂直的简谐振动的合成1:21:32:3几幅典型的利萨如图形几幅典型的利萨如图形相互垂直的简谐振动的合成相互垂直的简谐振动的合成0221:2:yx相互垂直的简谐振动的合成相互垂直的简谐振动的合成42:3:yx相互垂直的简谐振动的合成相互垂直的简谐振动的合成21

28、:3:yx相互垂直的简谐振动的合成相互垂直的简谐振动的合成6-6 阻尼振动阻尼振动 受迫振动受迫振动 共振共振 振动物体不受任何阻力的影响，只在回复力作用振动物体不受任何阻力的影响，只在回复力作用下所作的振动，称为下所作的振动，称为无阻尼自由振动无阻尼自由振动。在回复力和阻力作用下的振动称为在回复力和阻力作用下的振动称为阻尼振动阻尼振动。阻尼：阻尼：消耗振动系统能量的原因消耗振动系统能量的原因。 阻尼种类：摩擦阻尼阻尼种类：摩擦阻尼 辐射阻尼辐射阻尼摩擦阻尼摩擦阻尼：由于摩擦阻力使系统能量逐渐变为热能；：由于摩擦阻力使系统能量逐渐变为热能；辐射阻尼辐射阻尼：由于振动系统引起临近质点的振动，使振

29、动：由于振动系统引起临近质点的振动，使振动系统的能量逐渐向四周辐射出去，转变为波动的能量；系统的能量逐渐向四周辐射出去，转变为波动的能量； 对在流体对在流体( (液体、气体液体、气体) )中运动的物体，当物体速中运动的物体，当物体速度较小时，阻力大小正比于度较小时，阻力大小正比于速度，且方向相反，表示速度，且方向相反，表示为为 txvFddf ：阻力系数：阻力系数在阻力作用下的弹簧振子在阻力作用下的弹簧振子 阻尼振动阻尼振动受力：受力：运动方程运动方程: :txkxtxmdddd22引入引入 阻尼因子阻尼因子 m2固有频率固有频率mk00dd2dd2022xtxtx在小阻尼条件下在小阻尼条件下

30、 ，微分方程的解为，微分方程的解为: :)(0) cos(e00tAxt220其中其中振幅振幅阻力阻力kx弹性恢复力弹性恢复力txFddf) cos(e00tAxt0A其中其中 和和 为积分常数为积分常数, ,由初始条件决定。上式由初始条件决定。上式中的余弦项表征了在弹性力和阻力作用下的周期中的余弦项表征了在弹性力和阻力作用下的周期运动；运动； 反映了阻尼对振幅的影响。反映了阻尼对振幅的影响。0tetAe0txO减幅振动减幅振动220其中其中振幅振幅 阻尼振动不是周期阻尼振动不是周期性振动，更不是简谐振性振动，更不是简谐振动，因位移不是时间的动，因位移不是时间的周期函数。但阻尼振动周期函数。但阻尼振动有某种重复性。有某种重复性。 位移相继两次达到极大值的时间间隔叫做位移相继两次达到极大值的时间间隔叫做阻尼振阻尼振动的周期动的周期，有，有0220222T由于阻尼，振动变慢了。由于阻尼，振动变慢了。阻尼振动的振幅为：阻尼振动的振幅为：tAAe0 振幅随时间作指数衰