大学物理简明教程第8章 机械振动

1、1第第8章机械振动章机械振动8.1 简谐振动的动力学特征简谐振动的动力学特征8.2 简谐振动的运动学简谐振动的运动学8.3 简谐振动的能量简谐振动的能量8.4 简谐振动的合成简谐振动的合成2tx振动振动：任一物理量：任一物理量( (如电流、电压等如电流、电压等) )在某一在某一 数值附近随时间作周期性变化。数值附近随时间作周期性变化。机械振动机械振动：物体在一定位置附近作来回的往复运动。：物体在一定位置附近作来回的往复运动。最简单最基本的振动最简单最基本的振动简谐振动简谐振动3简谐振动简谐振动：一个作往复运动的物体，如果其偏离：一个作往复运动的物体，如果其偏离平衡位置的位移平衡位置的位移x（或

2、角位移（或角位移 ）随时间）随时间t按余弦按余弦（或正弦）规律变化。（或正弦）规律变化。)tcos(Ax0 10105502)(st()xcm振动曲线振动曲线8.1简谐振动的动力学特征简谐振动的动力学特征 4一、弹簧振子模型一、弹簧振子模型 弹簧振子：弹簧弹簧振子：弹簧刚体（质点）系统刚体（质点）系统 平衡位置：平衡位置：弹簧处于自然伸长的位置弹簧处于自然伸长的位置轻弹簧轻弹簧质量忽略不计，形变满足胡克定律质量忽略不计，形变满足胡克定律 kl0 xmoAA00Fx设弹簧原长为坐标原点设弹簧原长为坐标原点5)cos()(tAtxkmoxXkxdtxdm220222xdtxdkxF令令mk2加速度

3、加速度首首 页页 上上 页页 下下 页页退退 出出6特征特征1：物体所受回复力与位移成正比且反向：物体所受回复力与位移成正比且反向kxF特征特征2：物理量对时间的二阶导数与本身成正比且反向：物理量对时间的二阶导数与本身成正比且反向xdtxd222特征特征3：物理量是时间的余弦（正弦）函数：物理量是时间的余弦（正弦）函数)cos(tAx动力学方程动力学方程运动学方程运动学方程简谐振动的特征简谐振动的特征7 铅直位置为角铅直位置为角平衡位置平衡位置，o为角为角坐标原点坐标原点。 受受力分析：力分析：sinmgF/o0lgmT/o0mgFmgdtdml220222 dtd结论结论：单摆的小角度摆动振

4、动是简谐振动。单摆的小角度摆动振动是简谐振动。l/g 2 00cost二、微振动的简谐近似二、微振动的简谐近似8例：一质量为例：一质量为m的物体悬挂于轻弹簧下端，的物体悬挂于轻弹簧下端，不计空气阻力，试证其在平衡位置附近的振动不计空气阻力，试证其在平衡位置附近的振动是简谐振动是简谐振动.证以平衡位置A为原点，向下为x轴正向22()d xmk x lmgdt22d xmkxdt 式中 .2km2220dxxdt为98.2简谐振动的运动学简谐振动的运动学一、简谐振动的运动学方程0222 xdtxd 微分方程微分方程运动学方程运动学方程)cos(0 tAxA、 0 由初始条件所决定由初始条件所决定1

5、.速度速度)sin(0 tAdtdx2.加速度加速度)cos(02 tAdtdaxa2 10二. 描述谐振动的三个特征量 1.振幅振幅A 由初始条件决定由初始条件决定t=0 0000sincos AAx22020 xA2. 周期周期T 完成一次完全振动所需的时间完成一次完全振动所需的时间)cos(0 tAx 0)(cos TtA)2cos(0 tA11周期周期T： 2 T频率频率 ： 21 T圆频率圆频率: 2 固有圆频率固有圆频率：仅由振动系统的力学性质所决定频率：仅由振动系统的力学性质所决定频率弹簧振子弹簧振子固有圆频率固有圆频率mk 固有振动周期固有振动周期kmT 2 单摆单摆lg gl

6、T 2 123. 位相和初位相位相和初位相(1) 能唯一确定系统运动状态，而又能反映其周期性能唯一确定系统运动状态，而又能反映其周期性特征的的物理量特征的的物理量 = t+ 0 叫做位相叫做位相, 是描述系统的机械运动状态的物理量是描述系统的机械运动状态的物理量(2)初位相初位相: t=0时的位相时的位相 0 0000sincos AAx )(0010 xtg (3)位相差位相差两振动位相之差两振动位相之差12 13当当 = (2k+1) , k=0,1,2. 两振动步调相反两振动步调相反, ,称称反相反相 0 2 超前于超前于 1 或或 1滞后于滞后于 2 )cos()cos( 002tat

7、Aam)cos(0 tAx)cos()sin(200 ttAm谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系当当=2k ,k=0,1,2,两振动步调相同两振动步调相同,称称同相同相14例、一质点沿例、一质点沿x轴作简谐振动，其角频率轴作简谐振动，其角频率w = 10 rad/s其初始位移其初始位移x0 = 7.5 cm，初始速度，初始速度v0 = 75.0 cm/s；试写出；试写出振动方程：振动方程： )Acos(wt x -Asincm/s75 v Acoscm7.5 x00/4 - cm 10.6 A /4)(-cos10t1010.6x -215例：已知

8、如图示的谐振动曲线，试写出振动方程例：已知如图示的谐振动曲线，试写出振动方程. t(s)x(cm)p420-4-21解：解：设谐振动方程为设谐振动方程为 )cos(0 tAx从图中得：从图中得：A4 cmt0时，时，x0-2 cm，且，且 00，得，得042 cos 000 sinA得得320 16032 )sin( A 3532 得得即即 所以振动方程为所以振动方程为)cos(324 tx再分析，再分析，t1 s时，时，x2 cm， 0，)cos(3242 17简谐振动简谐振动：)tcos(Ax0 W W -角频率：由振动系统决定，且角频率：由振动系统决定，且 ； 2 T 0 0 初位相：由

9、初始条件确定；初位相：由初始条件确定；位相，决定简谐振动物体的振动状态位相，决定简谐振动物体的振动状态0 tA -振幅：由初始条件决定；振幅：由初始条件决定；18)cos(0tAx 以以 为原为原点旋转矢量点旋转矢量 的端点在的端点在 轴轴上的投影点的上的投影点的运动为简谐运运动为简谐运动动. .xAo19三、 简谐振动的旋转矢量表示法 以以 为原点为原点, ,旋转矢量旋转矢量 的端点在的端点在 轴上的轴上的投影点的运投影点的运动为简谐运动动为简谐运动. .oAx 旋转矢量旋转矢量A旋转一周，旋转一周，M点完成一次全振动。点完成一次全振动。 旋转矢量的模旋转矢量的模A：振幅振幅旋转矢量旋转矢量

10、A A的角速度的角速度 ：角频率角频率 旋转矢量旋转矢量A与与 x 轴轴的夹角的夹角( t+ 0 )： 相位相位oAtt 0t)cos(0tAxxM20)cos(0 tAx用旋转矢量定相位用旋转矢量定相位例：例： x0 = A/2 0 0 =?m m x0 x0 答：答：3 a一质点沿一质点沿x 轴作简谐振动。根据初始条件求初相位。轴作简谐振动。根据初始条件求初相位。（1） x0 = -A； （2）过）过 平衡位置平衡位置向正向运动；向正向运动；（3）过）过 x0 = A/2处向负向运动处向负向运动21X oxAX0v0X0v0 xAX0X0v0X=Av=0X=-AV = 0X=0v0X=0v

11、 028s132311ttyx3234s61123322tts65161112ttt29 两个弹簧振子的周期都是两个弹簧振子的周期都是0.4 s0.4 s， 设设开始时第一个振子从平衡位置向负方开始时第一个振子从平衡位置向负方向运动，经过向运动，经过0.5 s 0.5 s 后，第二个振子后，第二个振子才从正方向的端点开始运动，则这两才从正方向的端点开始运动，则这两振动的相位差为振动的相位差为_30一、动能一、动能221mvEk)(2mk二、势能二、势能221kxEP三、机械能三、机械能221kAEEEPk)(sin210222tAm)(sin21022tkA)(cos21022tkA2max2

12、1mv2221Am设某一时刻设某一时刻x(t)=Acos(t+0 ) v(t)=-Asin(t+ 0)以弹簧振子为例以弹簧振子为例:8.3简谐振动的能量简谐振动的能量 31x0tx=Acos(t)Et221kAE 平均动能平均动能 )(sin TKdttkATE0022211 241kAEK 平均势能平均势能 TPdttkATE0022211)(cos 241kAEP 221kAEkp EE 32振幅振幅A ： 决定于系统的初始能量决定于系统的初始能量由起始能量求振幅由起始能量求振幅kEkEA022 221kAE 线性回复力是线性回复力是保守力保守力，作，作简谐简谐运动的系统运动的系统机械能守

13、恒机械能守恒.338.4简谐振动的合成简谐振动的合成一、同方向、同频率谐振动的合成 x1 = A1cos ( t+ 10)x2 = A2 cos ( t+ 20) 求：求： x x1 x2 x 10AA1A20 x1x2 0 20 x)cos( 0 tAx合振幅合振幅 )cos(21020212221 AAAAA初位相初位相 coscossinsin20210120210110 AAAAtg 34计算法计算法)cos()cos(20210121tAtAxxx202202101101sinsincoscos sinsincoscostAtAtAtA)sinsin(sin )coscos(cos2

14、02101202101AAtAAt02021010202101sinsinsin coscoscos AAAAAA 令 )tAcos( sinsincoscos 000tAtAx 上式合振幅合振幅 )cos(21020212221AAAAA初位相初位相 coscossinsin20210120210110AAAAtg35位相差对合振幅的影响位相差对合振幅的影响(1) ( , 1, 0,21020 kk ), 1, 0)12( ( kk (2)01AA2AAmax=A1+A2 , 相互加强相互加强 01AA2AAmin= |A2 A1| , 相互减弱相互减弱 (3) 一般情形一般情形AminA Amax120.4cos(2) ,650.3cos(2) .6xtmxtm练习：一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动。求合振动的振幅