自动控制原理第八章

1、 前面几章讨论的系统都是线性系统前面几章讨论的系统都是线性系统，即满足叠加即满足叠加性和齐次性性和齐次性。实际上，。实际上，由于控制元件或多或少地由于控制元件或多或少地带有非线性特性带有非线性特性， 所以严格地说实际的自动控制所以严格地说实际的自动控制系统都是非线性系统系统都是非线性系统。 如果一个控制系统包含一如果一个控制系统包含一个或一个以上具有非线性特性的元件或环节个或一个以上具有非线性特性的元件或环节，则则此系统即为此系统即为非线性系统非线性系统。非线性对象指其运动规律要用非线性代数方程或非线性对象指其运动规律要用非线性代数方程或微分方程描述微分方程描述，而不能由线性方程描述而不能由线

2、性方程描述。控制系。控制系统中若含有非线性部件或环节统中若含有非线性部件或环节，就成为就成为非线性控非线性控制系统制系统。一些一些非线性系统作为线性系统来分析非线性系统作为线性系统来分析，这是由于这是由于：系统的非线性不明显，可近似为线性系统系统的非线性不明显，可近似为线性系统；某些系统的非线性特性虽然较明显，但在某些条某些系统的非线性特性虽然较明显，但在某些条件下，可进行线性化处理件下，可进行线性化处理，作为线性系统来分析作为线性系统来分析。这类系统统称为这类系统统称为非本质非线性非本质非线性系统系统。但是但是当系统的非线性特征明显当系统的非线性特征明显而且而且不能进行线性不能进行线性化处理

3、化处理，或者它的或者它的时域响应不能用线性微分方程时域响应不能用线性微分方程（一般只能用非线性微分方程来描述（一般只能用非线性微分方程来描述，具有非线具有非线性数学模型）来描述性数学模型）来描述，则称为则称为非线性系统非线性系统，或称，或称为为本质非线性本质非线性系统系统。非线性系统的特性非线性系统的特性一、稳定性一、稳定性线性系统的稳定性只取决于系统结构和线性系统的稳定性只取决于系统结构和参数参数，与输入信与输入信号及初始条件无关号及初始条件无关。但非线性系统的稳定性不仅与系统但非线性系统的稳定性不仅与系统的结构和参数有关的结构和参数有关，还与输入信号及初始条件有关，还与输入信号及初始条件有

4、关。即，即，可能在某个初始条件下稳定可能在某个初始条件下稳定，而在另一个初始条件下系而在另一个初始条件下系统可能不稳定统可能不稳定。例如，例如，某系统某系统的数学模型为非线性方程的数学模型为非线性方程 描述的非线性系统，显然有两个平衡点，即描述的非线性系统，显然有两个平衡点，即x1=0和和x2=1。将上式改写为将上式改写为 。设。设t=0时，系统的初始状态时，系统的初始状态为为x0，积分上式得，积分上式得(1)0 xx x（1）当初始条件）当初始条件x01时时，1x00，上式具有负的特上式具有负的特征根征根，其暂态过程按指数规律衰减其暂态过程按指数规律衰减，该系统稳定该系统稳定。（2）当）当x

5、0=1时时，1x0=0，上式的特征根为零上式的特征根为零，其暂其暂态过程为一常量态过程为一常量。（3）当）当x01时时，1x00，上式的特征根为正值上式的特征根为正值，系系统暂态过程统暂态过程按指数规律发散，按指数规律发散， 系统不稳定系统不稳定。系统系统的暂态过程如图所示的暂态过程如图所示。由于非线性系统的这种性质由于非线性系统的这种性质， 在分析它的运动时不能应用在分析它的运动时不能应用 线性叠加原理线性叠加原理，这是与线性，这是与线性 系统的本质区别。系统的本质区别。二二、响应过程响应过程线性系统响应过程与输入信号的大小及初始条件无线性系统响应过程与输入信号的大小及初始条件无关。如果某系

6、统在某初始条件下的响应过程为衰减关。如果某系统在某初始条件下的响应过程为衰减振荡，则其在任何输入信号及初始条件下该系统的振荡，则其在任何输入信号及初始条件下该系统的暂态响应均为衰减振荡形式暂态响应均为衰减振荡形式。 非线性系统可能会出非线性系统可能会出现某一初始条件下的响应现某一初始条件下的响应过程为单调衰减过程为单调衰减，而在另而在另一初始条件下则为衰减振一初始条件下则为衰减振荡荡，如图所示，如图所示。 在静态下，非线性系在静态下，非线性系统的输出量中可能含有输统的输出量中可能含有输入信号中没有的模态入信号中没有的模态。三三、自持振荡自持振荡线性二阶系统只在阻尼比线性二阶系统只在阻尼比=0=

7、0时给予阶跃作用，将时给予阶跃作用，将产生周期性响应过程产生周期性响应过程, ,此时系统此时系统处于临界稳定状态。处于临界稳定状态。实际上实际上, ,一旦该系统参数发生微小变化一旦该系统参数发生微小变化, ,该周期性状该周期性状态就无法维持态就无法维持, ,要么发散至无穷大要么发散至无穷大, ,要么衰减至零。要么衰减至零。而而非线性系统即使在非线性系统即使在没有外作用时没有外作用时, ,也有也有可能产生可能产生频率和振幅一定的稳定周期性响应。该周期响应过频率和振幅一定的稳定周期性响应。该周期响应过程物理程物理上是可实现并上是可实现并 可保持的可保持的, ,通常将其称通常将其称 为为自持振荡自持

8、振荡或自或自振荡振荡, , 如右图如右图所示所示。如果自振荡的幅值在允许范围内，按照李雅普诺夫如果自振荡的幅值在允许范围内，按照李雅普诺夫(Lyapunov)关于关于稳定性的定义（第十一章），系统是稳稳定性的定义（第十一章），系统是稳定的。定的。自振荡是人们特别感兴趣的一个问题，对它的研究有自振荡是人们特别感兴趣的一个问题，对它的研究有很大的实际意义。如火炮系统若发生自振，当瞄准具很大的实际意义。如火炮系统若发生自振，当瞄准具对准一个目标，炮口由于自振而不停摆动，是打不中对准一个目标，炮口由于自振而不停摆动，是打不中目标的，另外对系统本身磨损也很厉害，所以有必要目标的，另外对系统本身磨损也很厉

9、害，所以有必要专门研究非线性系统的稳定性及自振问题。专门研究非线性系统的稳定性及自振问题。 在多数情况下在多数情况下, ,正常工作时不希望有振荡存在，必须设正常工作时不希望有振荡存在，必须设法消除它。但在某些情况下，特意引入自振荡，将使法消除它。但在某些情况下，特意引入自振荡，将使系统有良好的稳态、暂态性能。系统有良好的稳态、暂态性能。四四、正弦输入响应正弦输入响应在正弦信号作用下，线性系统的输出是与输入信号在正弦信号作用下，线性系统的输出是与输入信号同频率的正弦信号。而非线性系统在正弦信号作用同频率的正弦信号。而非线性系统在正弦信号作用下的响应则很复杂，有时输出信号频率为输入频率下的响应则很

10、复杂，有时输出信号频率为输入频率的倍频、分频等现象。的倍频、分频等现象。非线性系统的倍频振荡和分频振荡非线性系统的倍频振荡和分频振荡一些非线性系统的幅频特性会出现跳跃谐振及多值一些非线性系统的幅频特性会出现跳跃谐振及多值响应现象。响应现象。非线性系统响应还有其他与线性系统不同的现象，非线性系统响应还有其他与线性系统不同的现象，无法用线性系统的理论来解释。无法用线性系统的理论来解释。在一些情况下，引入某些非线性环节，可以使系统在一些情况下，引入某些非线性环节，可以使系统获得比线性系统更为优异的性能。获得比线性系统更为优异的性能。实际上大多数智能控制都属于非线性控制范畴。实际上大多数智能控制都属于

11、非线性控制范畴。非线性弹簧输出的幅频特性非线性弹簧输出的幅频特性实际中常见的非线性例子实际中常见的非线性例子实际实际的非线性例子：晶体管放大器有一个线性工作范围，的非线性例子：晶体管放大器有一个线性工作范围，超出这个范围超出这个范围，放大器就会出现放大器就会出现饱和饱和现象现象；有时，工程上有时，工程上还人为引入饱和特性用以限制过载。还人为引入饱和特性用以限制过载。电动机输出轴上总是存在摩擦力矩和负载力矩，只有在输电动机输出轴上总是存在摩擦力矩和负载力矩，只有在输入超过启动电压后，电动机才会转动，存在不灵敏区入超过启动电压后，电动机才会转动，存在不灵敏区（死死区区）；当输入达到饱和电压时，由于

12、电动机磁性材料的非）；当输入达到饱和电压时，由于电动机磁性材料的非线性，线性，输出转矩会出现输出转矩会出现饱和饱和，限制了电动机的最大转速限制了电动机的最大转速。各种传动机构由于机械加工和装配上的缺陷，在传动过程各种传动机构由于机械加工和装配上的缺陷，在传动过程中总存在着中总存在着间隙间隙。开关或开关或继电继电器会导致信号的跳变器会导致信号的跳变。常见非线性因素对系统运动特性的影响常见非线性因素对系统运动特性的影响一、一、死区死区死区又叫死区又叫不灵敏区不灵敏区，系统中的死区是由测量元件，系统中的死区是由测量元件的死区、放大器的死区以及执行机构的死区所造的死区、放大器的死区以及执行机构的死区所

13、造成的成的。有时人为地引入死区特性有时人为地引入死区特性，可可用于消除高频小幅用于消除高频小幅度振荡，减少系统中器件的磨损度振荡，减少系统中器件的磨损。sse(K%跟踪阶跃信号有稳态误差），能滤去小幅值噪声，提高抗干扰能力。等效振荡性，原来不稳定的系统，此时可能稳定（初始扰动不大时）。二二、饱和饱和饱和特性也是系统中最常见的一种非线性特性饱和特性也是系统中最常见的一种非线性特性，几乎所有的几乎所有的放大器放大器都存在饱和现象都存在饱和现象。饱和饱和特性及其信号的等效放大倍数如下图所示。特性及其信号的等效放大倍数如下图所示。粗略看粗略看，饱和特性的存在相当于饱和特性的存在相当于在较大信号作用在较

14、大信号作用时时，系统系统增益下降增益下降。设随动系统如设随动系统如下图所示下图所示当系统输入端加上一个幅值较大当系统输入端加上一个幅值较大的阶跃信号时，若放大器无饱和的阶跃信号时，若放大器无饱和限制，系统的时间响应曲线如图限制，系统的时间响应曲线如图中的曲线中的曲线1 1；放大器有饱和限制；放大器有饱和限制时的时间响应曲线如曲线时的时间响应曲线如曲线2 2。若随动系统的方块图如若随动系统的方块图如下图所示下图所示若系统中不存在饱和特性若系统中不存在饱和特性的限制，系统是振荡发散的的限制，系统是振荡发散的（曲线（曲线1 1）；若系统中存在）；若系统中存在饱和特性的限制，则系统饱和特性的限制，则系

15、统不再发散，而是出现稳定不再发散，而是出现稳定的等幅振荡，如曲线的等幅振荡，如曲线2 2。，快速性差限制跟踪速度，跟踪误统最多是等幅振荡）（原来不稳，非线性系振荡性统一定稳定）原来系统稳定，此时系(%三三、间隙间隙间隙对系统性能的影响也很复杂，一般来说间隙对系统性能的影响也很复杂，一般来说，间隙的存在间隙的存在对系统总是不利的对系统总是不利的: (1)首先，它使系统的稳态误差扩大；首先，它使系统的稳态误差扩大；(2) 使系统的动态性能变差使系统的动态性能变差，使振荡加剧使振荡加剧，稳定性变差稳定性变差。齿轮传动系统齿轮传动系统中，中，为了保证转动灵活不至于卡死为了保证转动灵活不至于卡死，必须有

16、必须有少量的间隙。由于存在间隙少量的间隙。由于存在间隙，当主动轮的转向开始改变时当主动轮的转向开始改变时，从动轮仍保持原有的位置从动轮仍保持原有的位置，直到主动轮转过了直到主动轮转过了2b间隙间隙，在在相反方向与从动轮相啮合后相反方向与从动轮相啮合后，从动轮才开始转动从动轮才开始转动。四四、摩擦摩擦摩擦非线性对小功率角度随动系统来说，是一个摩擦非线性对小功率角度随动系统来说，是一个很重要的非线性因素。它的影响，从静态上看，很重要的非线性因素。它的影响，从静态上看，相当于在执行机构中引入了死区，从而造成了系相当于在执行机构中引入了死区，从而造成了系统的静差，这一点和死区的影响相类似。统的静差，这

17、一点和死区的影响相类似。直流电动机的方框图直流电动机的方框图摩擦力矩示意图摩擦力矩示意图小功率随动系统方框图低速爬行现象改善慢变化过程平稳性的方法1)2)3)、良好润滑、采用干扰补偿、增加阻尼， 减少脉冲，提高平衡性五五、继电继电为了改善系统的性能，常常在为了改善系统的性能，常常在 系统中引入继电器特性。系统中引入继电器特性。如图是用极化继电器控制伺服如图是用极化继电器控制伺服 电动机的原理图。当继电器线电动机的原理图。当继电器线 圈中的电流圈中的电流i=0时，其触点位于时，其触点位于 中间位置，电动机断电。当中间位置，电动机断电。当0ii1时时,（i1是极化继电是极化继电器的吸合动作电流）触

18、头仍不动作，当器的吸合动作电流）触头仍不动作，当ii1时，触头时，触头动作，电动机电枢电压动作，电动机电枢电压U=Um。当继电器线圈中电流减。当继电器线圈中电流减小时，由于返回电流小时，由于返回电流i2小于动作电流小于动作电流i1，故仅当，故仅当ii2时时触点才断开，电动机断电。当继电器线圈电流反向变触点才断开，电动机断电。当继电器线圈电流反向变化时也会出现类似的情况。化时也会出现类似的情况。继电器的输入输出特性若若i=0，即继电器的动作电流及返回电流均为零值切换，即继电器的动作电流及返回电流均为零值切换，则称这种特性为则称这种特性为理想继电器特性理想继电器特性，如右图所示。，如右图所示。理想

19、继电器特性( , )( , )nmnmd ydyd rdrf tyg trdtdtdtdt x(t) y(t)(1) 死区特性（不死区特性（不灵敏区特性）灵敏区特性）调节器和执行机构的死区调节器和执行机构的死区各类液压阀的正重叠量各类液压阀的正重叠量系统的库伦摩擦系统的库伦摩擦测量变送装置的不灵敏区测量变送装置的不灵敏区弹簧预紧力等弹簧预紧力等死区或不灵敏区死区或不灵敏区( )0( ) ( ) ( )sgn ( )x tay tx tak x tax t x(t) y(t)放大器的饱和输出特性放大器的饱和输出特性磁饱和磁饱和元件的行程限制元件的行程限制功率限制等功率限制等(2)饱和特性饱和特性

20、( )( )( ) ( )sgn ( )x takx ty tx takax t(3)间隙特性间隙特性齿轮传动中的齿隙齿轮传动中的齿隙液压传动中的油隙液压传动中的油隙 ( )( )0( ) ( ) ( )0sgn ( )( )0k x tay ty tk x tay tcx ty t y(t) x(t)c y(t) x(t)(4) 继电器特性继电器特性理想继电器理想继电器 具有死区的单值继电器具有死区的单值继电器具有滞环的继电器具有滞环的继电器具有死区和滞环的继电器具有死区和滞环的继电器包含有死区、饱和、滞环特性包含有死区、饱和、滞环特性 y(t) x(t) y(t) x(t) x(t) y(

21、t) y(t) x(t)y(t)奇函数奇函数（斜对称）（斜对称）输出的一次输出的一次谐波分量谐波分量( )sinx tAt输：入0011( )(cossin)sin()nnnnnny tAAn tBn tAYn t稳态输出：非正弦周期信号，可展开成傅立叶级数。00A ：直流分量201( )cosd()nAy tn tt201( )sind()nBy tn tt22nnnYABarctannnnAB11111( )c( )sin(osin)sy tAtBy tYtt22111YAB111arctanAB22111111( )arctanABYAN AAAB稳态输出中一次谐波分量和输入信号的复数比

22、：描述函数举例说明：举例说明：34121xxy 时时，当当tAtx sin)( y(t)为非正弦周期函数为非正弦周期函数，tBtAty sincos)(111 则则非线性特性为单值奇对称，非线性特性为单值奇对称，为为奇奇函函数数，)(1ty1100A，1212123412340 xy。描述函数的物理意义（续）描述函数的物理意义（续）2310111()sind24Bxxtt则330211(sinsin)sind24AtAttt32430023sindsind24216AAAttttA tBty sin)(11tAA sin)1632(3 tAA sin)16321(2 2116321)(AABA

23、N 则则（只与（只与A有关）。有关）。)()()(1txANty 又又只要只要x(t)的的A一定，一定，)()(1tyAN和和描述函数的物理意义（续）描述函数的物理意义（续）也就完全确定了。也就完全确定了。，如如ttx sin2)( ，即即2 A，则25. 1)( AN；)(25. 1)(1txty 相当于用相当于用斜率为斜率为1.25的直线的直线代替了元件的非线性特征代替了元件的非线性特征 ，ttx sin4)( ，则则5 . 3)( AN。)(5 . 3)(1txty ，即即4 A描述函数的物理意义（续）描述函数的物理意义（续） )()(1tytx与与显然显然时时，2 A之间成为之间成为线

24、性关系，即当线性关系，即当1212123412340 xy。 同理，同理，A4 时，相当于用时，相当于用斜率为斜率为3.5 的直线代替；即的直线代替；即进行了线性化处理。进行了线性化处理。)()(1txty与与则则的线性关系也随之改变。的线性关系也随之改变。 描述函数的物理意义（续）描述函数的物理意义（续）1212123412340 xy。并且说明：当并且说明：当 A 改变时，改变时，N(A) 也随之改变，也随之改变，描述函数的物理意义（续）描述函数的物理意义（续）1. 理想继电器特性理想继电器特性( )sinx tAt(0)( )(2 )Mty tMt傅氏展开傅氏展开01( )(cossin

25、)nnny tAAn tBn t斜对称、奇函数斜对称、奇函数A0=An=011( )siny tBt210001224( )sind()( )sind()sind()MBy ttty tttMtt14( )0YMN AAA2. 一般继电特性的描述函数一般继电特性的描述函数22222( )1 ()1 ( )(1),()MmhhMhN AjmA hAAAA4( )MN AA理想继电特性：理想继电特性：死区继电特性：死区继电特性：纯滞环继电特性：纯滞环继电特性：0 h1 m1 m24( )1MhN AAA2244( )1jMhMhN AAAA ttdtyAcos)(11y(t)为奇函数为奇函数102

26、( )sindBy ttt02( )sind( )sind( )sind aaaay ttty ttty tt tAc当时sin,(0, )( ),( ,)sin,(, )kAttay tkctaakAtta01 A3. 饱和特性饱和特性2102sindaBkAtt2sindsindaaakcttkAttkAaAcacos2 Aca1sin 211)(1sin2AcAcAckAB 112112sin1 ( )BABN AkcccAAjAAAA故有 (条件：条件：Ac) A c时为线性，求时为线性，求N(A) 无意义无意义； 可见可见: N与与无关。无关。1)( )0Aay t时，12)sina

27、AaA时，21001224( )sind() ( sin)sind()2sin1 () ()2By tttk AtattaaakAAaAAA，122( )sin1 () 2()kaaaN AAAAAa，可见：可见：N与与也无关。也无关。4. 死区特性死区特性5. 死区饱和特性死区饱和特性11222( )sinsin1()1() ()ksassaaN AAsAAAAAA6. 间隙特性间隙特性1224sin (1)2(1)(1)()1)2)(kaaaaka ajAAAAAN AAAa y(t) x(t)c一般而言一般而言, 描述函数描述函数 N(A) 是是 A 的函数的函数, 与频率与频率 无无关

28、；关；非线性环节为单（非单）值函数时非线性环节为单（非单）值函数时, N(A)是实（复）是实（复）数，虚部为（不为）数，虚部为（不为）0 ；如果某一非线性可以看作是两个非线性的叠加、即如果某一非线性可以看作是两个非线性的叠加、即（并联）（并联）12yyy设设 y1、y2、y 分别有分别有N1(A)、N2(A)、N(A）12( )( )( )N ANANA()( ) ()()1( ) ()C jN A G jR jN A G j1( ) ()0N A G jNyquist判据判据：若开环稳定，则闭若开环稳定，则闭环稳定的充要条件环稳定的充要条件是是G(j )的轨迹不的轨迹不包围包围G平面的平面的

29、(-1,j0)。负倒描述函数负倒描述函数（描述函数的负倒数特性（描述函数的负倒数特性) )线性系统线性系统( )1N A 1()0G j()1G j 1()( )G jN A 1( )N A(-1, j0)? G(j ) 与负倒描述函数相交与负倒描述函数相交 闭环系统出现自持振荡闭环系统出现自持振荡(极限环振荡极限环振荡) ？稳定？稳定 ？不稳定？不稳定 ?! 振幅（振幅（A） ?! 频率频率( )假设假设：系统开环的线性部分：系统开环的线性部分G(j )稳定稳定 G(j )不包围负倒描述不包围负倒描述函数函数 闭环系统闭环系统稳定稳定 G(j )包围负倒描述包围负倒描述函数函数 闭环系统闭环

30、系统不稳定不稳定当微小扰动使振幅当微小扰动使振幅A增大到增大到c点时，点时， c点被点被G(j )轨迹包围，轨迹包围，系统不稳定；系统不稳定；振幅振幅A继续增大；继续增大；不返回到不返回到a。当微小扰动使振幅当微小扰动使振幅A减小到减小到d点时，点时， d点未被点未被G(j )轨迹包围，轨迹包围，系统稳定；系统稳定；振幅振幅A继续减小；继续减小；不返回到不返回到a。 a点为不稳定的自振交点点为不稳定的自振交点，无法观察到。，无法观察到。 微小扰动微小扰动稳定极限环和不稳定极限环稳定极限环和不稳定极限环当微小扰动使振幅当微小扰动使振幅A增大到增大到e点时，点时， e点未被点未被G(j )轨迹包围，轨迹包围，系统稳定；系统稳定；振幅振幅A减小；减小；返回到返回到b。当微小扰动使振幅当微小扰动使振幅A减小到减小到f点时，点时， f点被点被G(j )轨迹包围，轨迹包围，系统不稳定；系统不稳定；振幅振幅A增大；增大；返回到返回到b。 b点为稳定的自振交点点为稳定的自振交点，形成可观察到的稳定自持振荡。，形成可观察到的稳定自持振荡。稳定极限环和不稳定极限环稳定极限环和不稳定极限环2212121 2()(1)(1)()(1)KKG jjjTjTTTjTT轨迹和非线性部分的轨迹相交，这可以通过加校正实现。 例例：试判断图中各系统是否稳定；：试判断图中各系统是否稳定；- -1/N(