华北电力大学 核反应堆物理分析 第3章-中子扩散理论

1、1中子扩散理论中子扩散理论主讲：马续波主讲：马续波2 堆内链式裂变反应过程实质：中子在介质内不断的产生、堆内链式裂变反应过程实质：中子在介质内不断的产生、运动和消亡的过程运动和消亡的过程 反应堆物理的反应堆物理的核心问题核心问题之一：确定堆内中子通量密度按空之一：确定堆内中子通量密度按空间和能量的分布间和能量的分布 第二章通过求解中子慢化方程，解决了中子通量密度按能第二章通过求解中子慢化方程，解决了中子通量密度按能量的分布，量的分布， (E(E) ) E E，即中子能谱，即中子能谱 本章，将研究中子通量密度按空间的分布，即本章，将研究中子通量密度按空间的分布，即(r(r) ) r r3Cont

2、ents引言引言（输运过程、输运理论及扩散现象）（输运过程、输运理论及扩散现象）单能中子扩散方程单能中子扩散方程非增殖介质内中子扩散方程的解非增殖介质内中子扩散方程的解扩散长度、慢化长度和徙动长度扩散长度、慢化长度和徙动长度4输运过程及输运理论输运过程及输运理论中子状态的描述中子状态的描述反应堆物理与屏蔽计算的基本方法反应堆物理与屏蔽计算的基本方法51、输运过程（输运过程（TransportTransport）以及输运理论）以及输运理论u由于中子与原子核的无规则碰撞，中子在介质内的运动是一种由于中子与原子核的无规则碰撞，中子在介质内的运动是一种杂乱无章的具有统计性质的运动，即初始在堆内某一位置

3、具有某杂乱无章的具有统计性质的运动，即初始在堆内某一位置具有某种能量及某一运动方向的中子，在稍晚些时候，将运动到堆内另种能量及某一运动方向的中子，在稍晚些时候，将运动到堆内另一位置以另一能量和另一运动方向出现。这一现象称为中子在介一位置以另一能量和另一运动方向出现。这一现象称为中子在介质内的质内的输运过程（输运过程（Transport）。描述这一过程的精确方程为。描述这一过程的精确方程为玻玻尔兹曼输运方程（尔兹曼输运方程（Boltzmann equation）。u输运理论：微观粒子输运理论：微观粒子(中子、光子、电子、离子和分子等中子、光子、电子、离子和分子等)在介在介质中的迁移统计规律的数学

4、理论；不是研究个别粒子的运动，而质中的迁移统计规律的数学理论；不是研究个别粒子的运动，而是研究大量粒子运动所表现的非平衡统计运动规律。是研究大量粒子运动所表现的非平衡统计运动规律。6u发展简史：发展简史： Clausius(1857)、Maxwell(1860)、Boltzmann(1868)的工作奠的工作奠定了最早的粒子输运理论定了最早的粒子输运理论分子运动论的基础；分子运动论的基础； 1910年年Hilber论述了论述了Boltzmann方程解的存在性与唯一性，奠定方程解的存在性与唯一性，奠定了输运理论的数学基础；了输运理论的数学基础； 天体物理、等离子物理、激光物理和固体物理等的发展提出

5、并进天体物理、等离子物理、激光物理和固体物理等的发展提出并进一步推动了辐射输运理论的研究；一步推动了辐射输运理论的研究； 1939年发现中子后，随着核反应堆和核武的出现，中子输运理论年发现中子后，随着核反应堆和核武的出现，中子输运理论得到极快发展；得到极快发展； 1943年年 Wick、Marshak、Mark等人提出并发展了球谐函数法；等人提出并发展了球谐函数法； 1946年年 Von Neumann 和和 Ulam等开发了第一个用概率论方法等开发了第一个用概率论方法（Monte Carlo方法）计算中子链式反应的程序；方法）计算中子链式反应的程序； 1955年年 Carlson等人提出了离

6、散纵标法等人提出了离散纵标法(即早期即早期SN方法方法) 在上述方法的基础上，产生了大批应用程序软件在上述方法的基础上，产生了大批应用程序软件7l中子状态中子状态: 位置矢量位置矢量 r (x,y,z)、能量、能量E(或运或运动速度动速度v)、运动方向、运动方向 、时间时间 （7个个）l ：单位矢量，模等：单位矢量，模等于于1，方向表示中子的，方向表示中子的运动方向，通过极角运动方向，通过极角 和方位角和方位角 来表示来表示2、中子状态的描述、中子状态的描述844),(),(),(),(dErErdErnErn)(),(),(EvErnErl中子角密度中子角密度：在：在r处单位体积内和能量为处

7、单位体积内和能量为E的单位能量间的单位能量间隔内，运动方向为隔内，运动方向为 的单位立体角内的中子数目。的单位立体角内的中子数目。l中子角通量密度中子角通量密度：沿沿 方向在单位时间内穿过垂直于这方向在单位时间内穿过垂直于这个方向的单位面积上的中子数目。个方向的单位面积上的中子数目。 对中子角密度和中子角通量对所有立体角方向积分，可得前对中子角密度和中子角通量对所有立体角方向积分，可得前面所定义的中子密度和中子通量密度面所定义的中子密度和中子通量密度9l中子扩散理论中子扩散理论求出介质内求出介质内中子角通量密度中子角通量密度的分布的分布, 才算对介质内中子的才算对介质内中子的分布有了全面了解分

8、布有了全面了解.要做到这一点，需要研究中子输运理论，求解要做到这一点，需要研究中子输运理论，求解中子输运方中子输运方程程。这是一个非常复杂和困难的任务。这是一个非常复杂和困难的任务. 在本课程中，我们研在本课程中，我们研究输运理论的简化形式究输运理论的简化形式中子扩散理论中子扩散理论。其第一步是研究中。其第一步是研究中子通量的空间分布：子通量的空间分布： (r) r10 确定性方法确定性方法(Deterministic method) 数学模型用数学物理方程表示，然后采用数值方法求解数学模型用数学物理方程表示，然后采用数值方法求解 优点：计算快速，相对精确等优点：计算快速，相对精确等 缺点：模

9、型简化，大型多维问题需大量计算时间及存储空间等缺点：模型简化，大型多维问题需大量计算时间及存储空间等 典型方法：离散纵标法（典型方法：离散纵标法（SN） 非确定性方法非确定性方法(蒙特卡罗方法，蒙特卡罗方法，Monte Carlo method)： 基于统计理论，通过计算机的随机模拟来跟踪中子在介质中的运动基于统计理论，通过计算机的随机模拟来跟踪中子在介质中的运动 优点：计算精确，可以模拟三维复杂几何模型优点：计算精确，可以模拟三维复杂几何模型 缺点：对于深穿透问题（缺点：对于深穿透问题（Deep-penetration），计算非常耗时），计算非常耗时 混合方法混合方法 研究热点研究热点玻尔兹

10、曼玻尔兹曼输运方程输运方程中子扩中子扩散方程散方程单群中子单群中子扩散方程扩散方程假设中子通假设中子通量密度角分量密度角分布各向同性布各向同性假设中子具假设中子具有单一能量有单一能量3、反应堆物理与屏蔽计算基本方法反应堆物理与屏蔽计算基本方法111. 菲克定律菲克定律2. 菲克定律的推导菲克定律的推导3. 菲克定律和扩散方程的使用范围菲克定律和扩散方程的使用范围4. 单能中子扩散方程的建立单能中子扩散方程的建立5. 扩散方程的边界条件扩散方程的边界条件12扩散现象扩散现象 香水分子的扩散（香水分子的扩散（无风状态无风状态） 墨滴在静水中的扩散墨滴在静水中的扩散 杂质原子在硅片中的扩散杂质原子在

11、硅片中的扩散 血液中的养分透过细胞膜向细胞内扩散血液中的养分透过细胞膜向细胞内扩散粒子的扩散是粒子与周围介质粒子的扩散是粒子与周围介质(或其它粒子或其它粒子)的碰撞、散射而造成的，结果是从密度大的碰撞、散射而造成的，结果是从密度大的地方向密度小的地方迁移。的地方向密度小的地方迁移。1、菲克定律、菲克定律(Ficks law)1314中子从通量高的地方流向通量低的地中子从通量高的地方流向通量低的地方，通量差别越大，中子方，通量差别越大，中子 “流量流量” 越越大大中子流与中子通量密度之间的关系：中子流与中子通量密度之间的关系：称为称为菲克定律菲克定律JD 15中子流密度中子流密度l上式中的上式中

12、的 被称为被称为中子流密度中子流密度（简（简称中子流、或流。称中子流、或流。Current） .中子流密度是一个向量中子流密度是一个向量, 其方向是通量场的负梯度方向其方向是通量场的负梯度方向. . 其数值等于其数值等于垂直于梯度方向垂直于梯度方向的单位的单位面积上每秒穿过的净中子数目。面积上每秒穿过的净中子数目。 单位：中子单位：中子/cm/cm2 2. S. S( )J r JD 16l 中子流密度是向量，可以写成三个分量之和中子流密度是向量，可以写成三个分量之和l 其中三个分量分别称为该方向的分中子流密度每个其中三个分量分别称为该方向的分中子流密度每个分量可写成两个分量只差分量可写成两个

13、分量只差kJjJiJJzyxzzzyyyxxxJJJJJJJJJJZ+ 是沿是沿z轴正方向每秒穿过轴正方向每秒穿过x-y平面上单位面积的中子数平面上单位面积的中子数JZ- 是沿是沿z轴负方向每秒穿过轴负方向每秒穿过x-y平面上单位面积的中子数平面上单位面积的中子数17l如果某平面与中子流密度如果某平面与中子流密度 方向不垂直，方向不垂直，那么每秒通过该平面上单位面积的净中子那么每秒通过该平面上单位面积的净中子数是数是 J nn 是该平面的法线方向（单位）向量( )J r 1819中子流密度与中子通量密度的差别中子流密度与中子通量密度的差别: : 中子流密度用于描述中子的定向运动，是矢量中子流密

14、度用于描述中子的定向运动，是矢量 中子通量密度用于计算核反应率，是标量中子通量密度用于计算核反应率，是标量 两者的量纲相同两者的量纲相同 当所有中子运动方向相同时，中子通量与中子当所有中子运动方向相同时，中子通量与中子流数量（大小）相等。流数量（大小）相等。20场论知识场论知识 数量场数量场的的梯度梯度 向量场向量场 的的散度散度 算子算子 J div JJ 2222222ijkxyzxyz grad 21考虑稳态情况，同时假设：考虑稳态情况，同时假设：(1)介质是介质是无限无限的、的、均匀均匀的；的；(2)在实验室坐标系中在实验室坐标系中散射是各向同性散射是各向同性的；的；(3)介质的吸收截

15、面很小，即介质的吸收截面很小，即 a s (弱吸收介质弱吸收介质)；(4) 是随空间位置是随空间位置缓慢变化缓慢变化的函数。的函数。2、菲克定律的推导、菲克定律的推导22以所研究以所研究的点作为的点作为坐标原点坐标原点23 24考虑上半空间发生的散射使多少中子考虑上半空间发生的散射使多少中子从上到下穿过从上到下穿过 dA 首先考虑体积元首先考虑体积元 dV 中的散射中子有多少可以中的散射中子有多少可以飞到飞到dA上上 由于散射中子由于散射中子各向同性各向同性地飞向四面八方地飞向四面八方,飞向飞向 dA的只占一部分的只占一部分. 这一份额等于这一份额等于dA的面积与以的面积与以 r 为半径的球面

16、积之比为半径的球面积之比,再乘以再乘以cos 此外并非所有飞向此外并非所有飞向dA的中子都能够到达的的中子都能够到达的dA, 沿途的碰撞会使得部分中子沿途的碰撞会使得部分中子 ”偏离航向偏离航向”25dA能到达上的中子数是 22cos( ) 4 cos( )4tsrsrsdAr dVerdAr dVer 26 把上半空间所有地方的散射中子的贡献把上半空间所有地方的散射中子的贡献统统考虑进来统统考虑进来,即对上半空间积分即对上半空间积分,就得到就得到从上而下穿过从上而下穿过dA的总中子数目。的总中子数目。这个数目就是这个数目就是沿负沿负z方向方向的的分中子流密度分中子流密度 乘以乘以dAzJ27

17、dAz沿负 方向每秒穿过的中子数是22/2000( )cos4( )cos4sinssrszVrsdAJ dAr erdvdderrdAd00)(614zJsz”表示原点下标“0同理00)(614zJsz由于已经假设中子通量密度是随空间位置缓慢变化的中子通量密度是随空间位置缓慢变化的，将(r) 在原点处按泰勒级数展开，取1阶项，代入积分可得28子数为平面上单位面积的净中方向穿过单位时间沿着yxz0001()31()31()3zzzsxsysJJJzJxJy 同理有33ssxyzJJ iJ jJ kgrad 29 令令 ，便完成了，便完成了菲克定律菲克定律之推导，得到之推导，得到3sDJDD 称

18、为扩散系数30u介质是无限的、均匀的；介质是无限的、均匀的； 有限介质内，在距离表面几个自由程之外的内部区域，有限介质内，在距离表面几个自由程之外的内部区域，斐克定律是近似成立的；斐克定律是近似成立的； 在距真空边界两三个自由程以内的区域，不适用。在距真空边界两三个自由程以内的区域，不适用。u介质的吸收截面很小，即介质的吸收截面很小，即 a 0时，(3-52)解为(3-53)由边界条件(1)可得(3-54)因此根据边界条件(2)可以求出1/)1 (2LaeDSLA(3-55)中子通量密度为中子通量密度为LaLxaLxeeeDSLx/ )(/12)(3-56)51(3-57)考虑系统对称性系统对

19、称性，用|x|代替上式中的x，可得对所有x均适用的表达式LaLxaLxeeeDSLx/|)|(/ |12)(对于无限厚度平面源无限厚度平面源，a，有LxeDSLx/ |2)(3-61)52当a/L=3（介质厚度为中子扩散长度3倍时）时，除在边界附近外，中子通量密度的分布与无限介质内的分布相差不多。无限介质没有中子泄露；薄板泄露较大，边界处中子通量密度下降很快；厚板（大于三个扩散长度），大部分中子在到达边界以前被散射回来，泄露很小=反应堆没有必要采用过厚的反射层反应堆没有必要采用过厚的反射层533. 包含两种不同介质的情况包含两种不同介质的情况P7654anaagT29320 ,)1 (31)1

20、 ( 33002sasatraaDL1.1.扩散长度扩散长度(diffusion length)(diffusion length)(3-75)大多数元素的散射截面与能量无关，吸收截面服从大多数元素的散射截面与能量无关，吸收截面服从1/v律，当律，当热中子能谱按麦克斯韦谱分布时，热中子吸收截面等于热中子能谱按麦克斯韦谱分布时，热中子吸收截面等于(3-76)将上式代入将上式代入(3-75)式可得式可得)()293(293202naanTggTLL (3-77)P79：L0 ？55考虑无限介质内有一热中子点源的情况， drrrdVra)(被吸收的中子数为内吸收中子的几率为：处在drr 在 的球壳内

21、，LrLraaeLrdrSdrrDrSeSdVrdrrp/22/1/44/)()(02226)(Ldrrprr2261rL 越大，泄漏越大L56扩散长度的物理意义：扩散长度的物理意义：热中子扩散长度的平方热中子扩散长度的平方, 等于无限大介质中的等于无限大介质中的点源放出的热中子从产生地点到被吸收地点的点源放出的热中子从产生地点到被吸收地点的直线距离的均方值的六分之一直线距离的均方值的六分之一.2261rL 57几种慢化剂在几种慢化剂在293K时热中子扩散参数时热中子扩散参数室温下热中子在石墨中室温下热中子在石墨中( s=0.385cm-1),求解：求解：(1)散射平均自由程（散射平均自由程（

22、2）吸收前的碰撞次数（）吸收前的碰撞次数（3）产生到被吸收的直线）产生到被吸收的直线距离（距离（4）中子吸收前走过的路程（吸收平均自由程）中子吸收前走过的路程（吸收平均自由程）582. 慢化长度慢化长度0),()(1EEthdEErr/ )/ln(0thsEEN thsEE0111ln1以下的中子数速到处每秒每单位体积内减在th1Er)(r 源中子能量为E0，热中子能量为Eth。将E0到Eth的中子称为快群中子快群中子。将Eth以下的中子称为热群中子热群中子，同时定义一个移出（减速）截面移出（减速）截面 1使快群转移到热群的中子转移率快群转移到热群的中子转移率源中子慢化到热中子的平均碰撞次数源中子慢化到热中子的平均碰撞次数:因而移出（减速）截面移出（减速）截面 为thsEE01ln(3-82)59EdEEEDEEEs0)()()(01112DH2OD2OCBe轻水堆轻水堆沸水堆高温气冷堆高温气冷堆th/(10-4m2)27.5123352904050300写出无限介质点源情况下快群中子的扩散方程无限介质点源情况下快群中子的扩散方程或021112L(3-