数学史与中学平面解析几何教学的融合

1、    数学史与中学平面解析几何教学的融合    梅雨 白玉梅摘 要：现如今在数学教学中数学史的教育价值越来越受到重视，在教学过程中将数学史与数学教育的融合可以说是教育新形势的顺应产物，也是必然的趋势。在普通高中数学课程标准（2017年版）中也强调了教师应该由注重学生能力的发展转变为注重学生核心素养的培养，而学科的历史知识是学科素养的必要组成部分，可见将数学史知识融入数学教学的重要性。本文结合中学解析几何的教学，从引入情境、引起兴趣;帮助学生掌握概念、法则和定理;引经据典、以史为鉴;传递数学思想和方法;培养数学审美五个方面，探讨数学史与中学平面解析几何教

2、学的融合，也从侧面表明了数学史在数学教学中的意义所在。关键词：数学史;解析几何史;hpm;解析几何教学中图分类号：g642  文献标识码：a  文章编号：1673-260x（2021）07-0097-04在如今的大数据时代背景下，数学以其精确、抽象、严格等特点在科学和经济生活中越来越显示出其重要性和无法忽视的地位。数学几乎渗透于其他任何一门学科当中，作为它们的基石更是最为重要的探索工具，就以相对论的产生和发展来说，就是在数学的助力下不断进步。正如高斯曾说：“数学是科学的女王”。同时，在社会的发展进程中，数学也总是能为人们解决一些生产生活中的困难。例如粮食产量的预结算问题，关

3、乎全国人民的肚子能否填饱，也正如m-克莱茵说过的那样，数学能够对因社会需要而提出的各类问题给予最完美的解决。所以，在全世界大数据化这样一个时代背景下的数学教育自然也就至关重要，数学教育也要日新月异，跟上时代发展的步伐来适应大环境的变化。因而数学史作为数学文化的有机组成部分渐渐显现出其重要性，走进许多教育工作者的眼中，进而进入数学课堂中。教育部2003年颁布的普通高中数学课程标准（实验）中，在数学教材选修系列3中加入了数学史选讲，并且排在第一位，足见数学史的教育意义。而且我国在新颁布的普通高中数学课程标准（2017年版）中新增了学科核心素养、学业质量、课程结构三个重要的部分，并且在其中还着重强调

4、教师应该由注重学生能力的发展转变为注重学生核心素养的培养。课程目标由原来的“双基”转变为“四基”，即数学基础知识，基本技能，基本思想，基本活动经验，以及“四能”，即从数学角度发现和提出问题的能力，分析和解决问题的能力。而数学史对学生素质能力的培养，提高学生学科热情，加深对数学的理解都有相当积极的促进作用，更是提升了学生眼中数学的学科魅力，彰显了数学这门学科悠久的文化底蕴，让这门古老的学科散发无限光彩。正如代钦1所言，今天数学教育的所有成果都是古代数学教育的积淀，都是在前人工作的基础上取得的。数学教育虽然取得了举世瞩目的发展，但这是多少代人艰辛耕耘的结果。中国数学教育亦走过了曲折而坎坷的道路，积

5、累丰富经验的同时也经历了深刻的教训。由此我们可以深刻地领会“由古知今”“以史为鉴”的真正含义。美国jesse l.m.wilkins2也认为一个人的数学素养的内容应包括：掌握数学中的实用性知识;具备数学推理能力;认识到数学的社会影响和效用;理解数学的现状和历史;对数学持有积极的态度。将数学史加入数学课程中正是为了让学生从历史的角度来认识数学，理解数学知识和其现实意义。数学史融入教学具有诸多的优点，汪晓勤3已经对教师的价值以及对学生的价值两方面做出了总结：对教师来说，可以进一步了解数学和数学教学并充实自身教学材料增加教学趣味性，同时帮助教师更加了解学生，从而改进教学;对于学生来说，可以增加学习兴

6、趣并帮助思考，同时拓宽知识面并深入了解数学。如果被忽视自然不利于学生对数学的学习以及数学教育工作更完善的展开，而位居数学教学一线的各位数学教师也都开始关注课堂上数学史知识的渗透。而如何融入，怎样让数学史的加入使学生的数学学习达到最理想的效果，也是所有教师一直以来不断探索的内容之一，以下就数学史融入高中平面解析几何教学列出几点作用以供参考。平面解析几何是高中重要的内容之一，理科教材是在必修2和选修2-1中，而文科教材在必修2和选修1-1当中，同时平面解析几何史也是高中数学选修3-1第四讲的内容。平面解析几何史料主要可以包括与其相关的所有：人物事件、数学问题、概念术语、公式定理、数学思想、工具符号

7、，这些都可以融入数学课堂教学中，汪晓勤4教授提出了数学史融入教学的五种方式，点缀式、附加式、复制式、顺应式、重构式，以由浅入深的不同方式将数学历史知识应用到教学中，所以根据这四种方式，我们可以将一些数学史内容融入平面解析几何的教学中，从而对学生的学习起到一定的积极作用。1 融入数学史 引入情境、引起兴趣以必修2的第二章，平面解析几何的第一节直线的倾斜角和斜率为例，就可以结合数学史对直线与圆等内容的讨论，帮助学生体会解析几何的基本思想的同时切入主题。老师可以结合多媒体中的图片以及动态模型进行情境导入：“16世纪以来，社会生产力和科学技术以飞速发展，几何学的发展需要与人文、地理的多方面的发展相适应

8、，例如开普勒研究发现了行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运行，伽利略发现将物体投掷出去的运动轨迹是抛物线，可见这些重大发现都与圆锥曲线有关，而解析几何则应运而生。解析几何的鼻祖，笛卡尔透彻地看到代数方法的力量，出于一种对方法论的强烈兴趣，他想到了把一切问题变为数学问题，再把一切数学问题变为代数问题进行解决。因此，他把代数应用到了几何当中，并且引入了“坐标”这一概念，利用“坐标法”，提出方程表示曲线的思想，最终以“坐标”这一媒介实现了几何问题的代数化，建立了解析几何。那么，从这节课开始我们学习第二章，解析几何初步的第一节直线的倾斜角和斜率。”这样的引入非常顺畅，多媒体展示的天体运行图片以及抛物线图片，一

9、方面利用数学史实引起学生的兴趣，另一方面说明数学来源于生活且服务于生活，切合学生的实际，同时对解析几何的简单介绍，引导学生对解析几何产生初步的思考，讓学生也明确了本章的目标，能够总览全章。接下来进入新课直线的倾斜角和斜率，在学习本章节之前，学生们已经了解了直线方程的斜截式、点斜式以及两点式等表达式，并且知道了直线的斜截式方程y=ax+b中x的系数a是“直线与x轴所成角”的正切。于是，用倾斜角的正切来定义斜率，成了人们唯一的选择。据此，我们在教学中主要采用重构式来融入数学史，让学生在认知上有一个过渡：从直线方程入手，引导学生探索斜率的几何意义;在此基础之上，再定义倾斜角与斜率5。2 让学生掌握概

10、念、法则和定理教师以为学生重现知识点的概念、公式、定理的发现和演变过程的方式，帮助学生理解新知，同时也能加深学生对各种数学公式和定理的理解和记忆，而前人的探索过程也会让学生拉近与数学的距离，让学生们感受到数学是真实的、有温度的、有灵魂的。阿波罗尼斯用平面切割圆锥的方法来研究曲线。例如：用垂直于锥轴的平面去截圆锥能够得到圆;而把平面逐渐的倾斜，则可以得到椭圆;接下来平面倾斜到（当且仅当）与圆锥的一条母线平行时，就得到了抛物线;用平行于圆锥的轴的平面截取，就可以得到双曲线的一支。这些都是前人孜孜不倦探索的结果，教师可以利用多媒体将这些曲线的发现过程动态展示出来，或者也可以让学生通过观摩手动截圆锥，

11、亲身来体验圆锥曲线的形成。还有例如苏教版数学教材采用了旦德林双球模型，将其动态演示出来也是同样的道理。这样既增加了课堂的趣味性引起学生兴趣，同时可以加深学生对不同曲线概念的理解。这里采用的是hpm中的附加式和复制式。还比如，点到线的距离公式推导过程有很多种，可以从众多的前人采用的方法中选取一个学生比较容易接受的方法为主线交点法，采用开放式教学，抛出“交点法”作为橄榄枝后，不再进行提示，让学生自由探索，主导课堂6。这里采用的是hpm中的重构式。3 引经据典 以史为鉴数学史融入高中数学解题教学中的各个环节中，让学生看到所有的数学家在探寻数学真理时所经历的数不清的困难、挫折，再到他们经过不懈的努力最

12、终迎来胜利的曙光。了解到数学知识的形成过程中种种艰辛是数学史的又一个重要作用以史育人。在教学过程中，教师要积极主动地倡导学生以史为鉴，形成正确的数学观，正确认识数学、积极主动地探索问题解决的方法，享受学习过程中的乐趣，培养学生的学习兴趣，树立自信心，形成健全人格7。以史为鉴，其实也是向前人学习，在前人的经验中吸取经验或者是教训，少走弯路，缩短知识的探索时间。又或者是在前人留下的问题中受到启发，从而将思路引向更深奥的数学海洋，探索、发现更加深刻的学问。笛卡尔认为希腊人留给后人的几何方法过于抽象和特殊，是“笨拙和不必要的”，他清楚地看到代数方法的无限潜力，出于一种对方法论的强烈兴趣，笛卡尔着手把代

13、数应用于几何中。他引入了“坐标”的概念，利用“坐标法”，提出了方程表示曲线这一思想，最终以“坐标”这一媒介，实现了几何问题的代数化8。古希腊数学家在研究圆锥曲线各种性质时，提出了“三线轨迹”和“四线轨迹”问题。亚里斯塔欧和欧几里得都未能完全解决这两个轨迹问题，后来经过阿波罗尼斯坚持不懈的努力才让两种轨迹大白于天下。希腊数学家们又继续问：五线和五线以上的情形又如何呢（帕普斯问题）？9再到后来的笛卡尔、费马，解析几何的历史长河就是在一代又一代人共同的探索中发展、成熟。4 传递数学思想和方法数学史研究数学概念、数学思想与数学方法的起源与发展，可以毫不夸张地说，数学的历史就是数学思想方法的发展史10。

14、回顾数学史的长河，就可以发现这句话的意义。每一次数学史的变革，每一次伟大的数学发现都伴随着新的数学概念、数学思想、数学方法的涌现。我们更重要的工作应该是把这些学术成就中所蕴含的数学思想开发性地展示出来，使学生得到这些数学思想的陶冶，从中得到有益的启迪11。数学思想方法是数学的灵魂，数学思想方法是数学活动实践经验的概括，是一种文化传承和发展12。解析几何包含了许多的数学思想方法。4.1 化归思想化归思想在解析几何课程中可以说是随处可见，比如：在对空间曲面的研究中，像椭球面、抛物面等，利用平行截面法将复杂空间图形的研究化归为比较熟悉的平面曲线的研究;对平面与空间有线相关位置的判定转化为相关的法矢量

15、及方向矢量垂直与否的判定等13。4.2 数形结合思想解析几何中包含的数学思想方法之一就是数形结合思想，解析几何其实就是把几何问题转化为代数形式，就是寻求方法去把空间或平面的几何结构系统进行数量化和代数化，即建立坐标系，使得有序的实数组或实数对与空间或平面的点一一对应8，这里面坐标系是作为数形结合的一个桥梁再在此基础上，建立作为动点轨迹的曲线、曲面的方程，最终实现由数到形的转化。4.3 函数与方程思想列方程和函数式是几何求解问题的主要策略，而这里面蕴含的主要数学思想便是函数与方程思想。这点从求解曲线方程时所应用的待定系数法，以及点、直线、曲线的方程的表达形式就可以看出。同时，直线、椭圆、双曲线等

16、的方程式并不是唯一的，可以根据问题的不同情况选取不同的表达式进行解答，从而大大减少了运算量，也节省了时间。4.4 向量思想向量法是高中数学的重要内容之一，也是一种典型的数学思想方法，向量在将几何问题代数化中起着桥梁的作用。通过向量的坐标可以把解析几何的很多问题数量化，从而将推理转化成运算，可以起到避免讨论、化繁为简、降低难度等效果。向量坐标的代数运算，开辟了几何代数化的新路，成为解决解析几何问题的一把利剑14。4.5 类比思想圆锥曲线的定义具有一定的相似性，例如椭圆与双曲线之间，从表达式、交点、渐近线、离心率等这些内容都有一定的相似性，所以它们之间可类比的案例比较多，因此，在教学时可以融会贯通

17、，举一反三，通过对椭圆的学习过程的回顾，在学生学习下一部分双曲线的内容时引导学生利用类比等方法进行简单的推理，从而融会贯通，举一反三地学习新知。同时，这樣也有利于促进学生自主思考，培养学生的主动性。5 培养数学审美数学史证明，审美追求是数学发展的动力之一;数学教育的实践也证明，审美追求也对学好数学有重要作用15。对数学的完美不懈的探索，这种美就是单纯不含杂质地对数学之美的追求。纵观解析几何的发展历程，从古希腊数学家提出的三线轨迹和四线轨迹问题，到费马、笛卡尔的解析几何，一直到现在为止，解析几何可以说是代数与几何的完美统一，解析几何知识体系也一直在不断地被数学家们注入新鲜血液。解析几何本身是数学

18、的重要组成部分之一，其本身也处处体现着数学之美，解析几何中的研究对象直线、平面、圆锥曲线、圆锥曲面等等，从它们的代数方程到图像都给世人展示着数学的对称美、和谐美。笛卡尔坐标系的提出达成了代数与几何的统一，同时一条直线或者曲线有不同的表达式，可以根据情况选择用哪种方程来表达，这也使得解析几何变得更加容易被学习者理解和学习，这也体现出解析几何的灵活多变和简洁美。还有逻辑美、严谨美这些数学知识的固有特性也在解析几何中都有体现。最后，以美育人是数学教育又一个内在。数学课程的德育，是指在学习和掌握数学科学知识的过程中，对发展人的道德认知、道德行动、道德态度所具有的教育作用和意义。数学课程不仅传递着数学认

19、知信息，同时也发挥着德育和教化的作用。对数学课程的德育进行数学心理学上的分析，有助于更好地发挥数学课程的德育功能16，其中数学史更是具有德育价值。数学史是一部爱国主义教育的好教材;数学史处处闪耀辩证唯物主义的光环;数学史教育对学生科学人生观、价值观的形成，有着深远的意义17。解析几何发展的漫漫长路中涌现出了许多优秀的数学家，欧几里得和他的几何原本、阿波罗尼斯及其圆锥曲线、笛卡尔和他的几何学、费马与他的解析几何，等等，这些数学大家对数学的炙热，对目标、对梦想的不懈追求，值得每个人尊重和敬佩。当然，解析几何史上也有中国浓墨重彩的一笔，公元前十五世纪，已用甲骨文记录了“规”和“矩”，“规”是用来画圆

20、的“矩”是用来画方的。比欧几里得还早一百多年的墨子给出了圆的定义：“圆，一中同长也”、汉代石刻中有类似直角三角形的图形;大约在公元前二世纪左右，中国已记载了著名的勾股定理;祖冲之和赵友钦的圆周率计算;我国数学家项名达（1789-1850）用割圆连比例求出椭圆周长18，这些也值得每一个学生为中国的解析几何探究史感到骄傲，受到鼓舞，感受到中华文化的博大精深，感受中华民族文化长河的光辉灿烂。当今的数学教育强调创新、因材施教，最终目的也是为了学生更“明白”地学习，数学史与数学教育的融合是教育新形势下的必然结果，而且根据种种反馈可以看出，这种方式确实有利于学生学习数学。解析几何作为数学的重要分支，学生学

21、好解析几何当然也是非常有必要的，与数学史的融合可以帮助学生更容易、更主动接收解析几何知识，也为许多数学教师提供了教学新思路，值得各位数学教师认真思索。参考文献：1代钦.中国数学教育史（第2版）m.北京：北京师范大学出版社，2018.2jesse l. m. wilkins. special issue article： preparing for the 21st century： the status of quantitative literacy in the united statesj. school science and mathematics， 2000， 100（08）.3汪晓勤.hpm：数学史与数学教育m.北京：科学出版社，2017.4蒲淑萍，汪晓勤.数学史怎样融入数學教材：以中、法初中数学教材为例j.课程·教材·教法，2012，32（08）：63-68.5杨懿