导数及其运用

1、导数及其应用一、相关概念1导数的概念函数 y=f(x), 如果自变量 x 在 x 0 处有增量x ，那么函数y 相应地有增量y =f （ x 0 + x ） f （ x 0 ）， 比 值y 叫 做 函 数 y=f （ x ） 在 x 0 到 x0 + x 之 间 的 平 均 变 化 率 ， 即xy =f ( x0x)f ( x0 ) 。如果当x0 时，y 有极限， 我们就说函数y=f(x)在点 x 0xxx处可导，并把这个极限叫做f （x）在点 x 0 处的导数，记作f （ x 0 ）或 y|x x0。即 f （ x 0 ） = limy= limf ( x0x)f ( x0 )xx。x0x0

2、求函数的增量y =f （ x 0 +x ） f （ x0 ）；求平均变化率y =f ( x0x)f ( x0 ) ；xx取极限，得导数f (x0 )=limy。x 0x2导数的几何意义函数 y=f （ x）在点 x 0 处的导数的几何意义是曲线y=f （ x）在点 p（ x 0 ，f （ x 0 ）处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （ x）在点 p（ x 0 ， f （ x 0 ）处的切线的斜率是f （ x 0 ）。相应地，切线方程为y y 0 =f / （ x 0 ）（ xx 0 ）。3.导数的物理意义如果物体运动的规律是s=s（ t），那么该物体在时刻t 的瞬间速度 v= s （ t）

3、。如果物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v（ t），则该物体在时刻 t 的加速度 a=v（ t ）。二 求导数的方法1 几个常用函数的导数1若 f (x)c，则 f ( x)_；2若 f ( x)x ，则 f ( x)_；3若 f (x)x2 ，则 f (x)_； 4 若 f ( x)1 ，则 f ( x) _。x2 基本初等函数的导数1若 f (x)c，则 f (x)_；2若 f (x)xn ( nQ* ) ，则 f (x)_；3若 f ( x)sin x ，则 f ( x)_；4若 f (x)cos x ，则 f ( x)_;5若 f ( x)ax ，则 f ( x)_ ( a0) ；

4、 6若 f ( x) ex ，则f ( x) _7若 f (x)ogl ax ，则 f ( x)_ (a0 且 a1 ) ；8若 f x() nl x，则 f (x) _3. 导数的四则运算( uv) Cf ( x) ( uv) ， ( uv ) ( v0)4. 复合函数的导数设 u(x) 在点x 处可导，yf (u)在点u( x)处可导，则复合函数f (x) 在点x 处可导，且f ( x) ，即yxyuux三， 导数的应用1.函数的单调性求函数f ( x) 的单调区间 的一般 步骤 ：求出 f (x) 的导数f (x) ；求出方程 f( x) 0 的根； f （ x） >0的解集与定义

5、域的交集的对应区间为增区间；f （x） <0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间 .特别提醒：首先注意定义域 , 其次区间不能用“或”(U) 连接.已知函数的单调性，求参数取值范围求使函数（解析式中含有参数） 为增函数（或减函数） 的参数的取值范围： 先求使f ( x)0（或 f ( x)0 ）成立的参数的取值范围；把参数取值范围的端点值代回函数解析式检验；综合，得参数的取值范围.f ( x) 0f ( x) 增 函 数f (x)0恒成立；f ( x) 0f ( x) 减函数f ( x)0恒成立 .边界代入检验 !2.函数的极值求函数 yf (x) 极值的步骤 ： (最好通过列表法 )

6、求导数 f ( x) ；解方程 f ( x) 0的根 x0 ；检查 f ( x) 在方程 f (x) 0的根 x0 左、右两侧的符号，判断极值 .“左正右负”f ( x) 在 x0处取极大值；“左负右正”f ( x) 在 x0处取极小值 .特别提醒： 若 x0 点是 y=f(x) 的极值点， 则 f (x0)=0, 反之不一定成立； 如函数 f(x)=|x|在 x=0时没有导数，但是，在x=0 处，函数 f(x)=|x| 有极小值 .3.函数最值 定义： 函数 f (x) 在一闭区间上的最大值是此函数在此区间上的极大值与其端点值中的“最大值” ；函数 f (x) 在一闭区间上的最小值是此函数在

7、此区间上的极小值与其端点值中的“最小值” 。求函数 yf ( x) 在 a, b 上的最值的步骤 ：求函数 yf ( x) 在（ a, b）内的极值；将 yf (x) 的各极值与f ( a) ， f (b) 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。四，考点例 1，变化率已知函数 f ( x) 2x21 的图象上一点（ 1， 1）及邻近一点（1+ x ,1+ y ） ,则y 等于B 4 x C 4 2 x D 4 2 x 2x（）A 4例 2 导数的定义，已知某运动物体的位移y(米 )与其运动时间(1) 求 y=f(t), 利用导数定义求f (t)t（秒）的函数关系为y=t3+t(2)

8、 求物体在 t=2 秒时的瞬时速度。例 3.导数的计数1.（1）yx3log 2x （ 2）yxn exx21f (x) 2x sin( 2x 5)（3） y(4)sin x(5)f (x)x 1x22. 设 f(x)=11, 则 f (1)= （）3x2xx3.(2009宁夏银川 ) 已知函数y=f(x)的图像在点（ 1. f(1)）处的切线方程是想x-2y+1=0,则 f(1)+2f (1) 的值 _4.(2008 山东 )若函数 f(x)=1/3 x3·-f (-1) x2+x+5,· 则 f (1)=_例 4.几何意义1 已知曲线 C : yx2x ，则过点 P(1

9、,1) 的曲线的切线方程 .2. 函数 yf (x) 的图像在点 M(1, f (1) 处的切线方程是 y1x 2 , f (1) f / (1) =.23.(全国卷 )设曲线 yax2 在点（ 1， a ）处的切线与直线2xy60 平行，则 a_4. 已知函数 f xx33ax 23bx 在 x1处的切线为 12 xy 1 0 ，求函数 fx 的解析式5. （ 2009 江西卷理）设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为_例 5 单调性问题1. 设 f(x)=x2(2-x),则 f(x)的单调增区间是（）A.(0,4)B.(4 ,+)C.(- ,0) ( 4 ,+ ）3332

10、.(2008 全国卷文、理)已知函数f ( x)x3ax2x1， aR （）讨论函数f ( x) 的单调区间；（）设函数f ( x) 在区间2 ， 1 内是减函数，求 a 的取值范围333. 已知函数f ( x)x33ax 22bx 在点 x1 处有极小值 -1,试确定 a , b 的值 ,并求出f ( x) 的单调区间例 6.极值点和极值1.(2011 安徽 )设 f(x)=ea/(1+ax2),其中 a 为正实数，当a=4/3 时，求 f(x) 的极值点和极值。2.设函数 f(x)=-x(x-a)2 (x R), 其中（ 1）当 a=1 时，求曲线 y=f(x) 在点（ 2，f(2) 处的

11、切线方程；（ 2）当 a0时，求函数 f(x) 的极大值和极小值 .3. 已知 f (x) x 3 ax 2 bx c 在点 x 1 处有极值且和曲线 g (x) x 2 3x 2 在交点 (0,2) 处有公切线 .(1) 求 a、b、c 的值；(2) 求 yf ( x) 在 R 上的极大值和极小值.例7最值1. 已知函数33f ( x) x 3x .1f ( x) 在3,上的最大值和最小值.（ ）求函数22.函数 f（ x） x 2cosx 在区间 0,上的最大值为 _ ；在区间 0 ， 2 上最大值为2_3.已知函数 f(x)=ax3+x2+bx( 其中常数 abc 为 R) ， g(x)

12、=f(x)+f(x)是奇函数。（1）求 f(x) 的解析式；（2）讨论 g(x) 的单调性，求g(x) 在 1,2 上的最值 .4.函数 y=x4-2x 2 +5 在区间 -2,2 上的最大值与最小值.5.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c, 曲线 y=f(x ）在点 x=1 处的切线为l:3x-y+1=0，若 x= 2 时，3y=f(x ）有极值 .（ 1）求 a,b,c 的值；（ 2）求 y=f(x ）在 -3 ， 1上的最大值和最小值例 8.综合运用.（2009江西17）设函数f(x)=x39/2 ·x2+6x a(1)对于任意实数x， f (x)>=m 恒成立，求

13、（ 2）若方程f(x)=0 有且仅有一个实根，求m 的最大值；a 的取值范围；例 9实际运用1.（ 2007 重庆文） 用长为 18 m 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为 2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？2. ( 湖南文 ) 某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x ( 吨 ) 与每吨产品的价格p ( 元 /吨) 之间的关系式为： p 24200 1 x2,且生产 x 吨的成本为 R50000 200x（元）。问5=收入 成本）该产每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？（利润.练习1.(全国卷文 )函数 f ( x

14、)x3ax 23x 9 ,已知 f (x) 在 x3 时取得极值 ,则 a =( )（A）2（B） 3（ C）4（D）52 (海南、宁夏文)设 f (x)x ln x ，若f '( x0 ) 2，则 x0（）A. e2 B.eC.ln 2D.ln 223（广东） 函数 f ( x)x 33x21是减函数的区间为（）A (2,)B (,2)C (,0) D（0，2）4.（安徽文） 设函数 f ( x)2x1 1(x0), 则 f ( x) （）xA 有最大值B有最小值C是增函数D 是减函数5（福建文、 理 )已知对任意实数x 有 f( x)= f(x) ，g(-x)=g(x) ，且 x&

15、gt;0 时，f (x)>0，g (x)>0，则 x<0 时（）A f (x)>0， g (x)>0B f(x)>0 ， g (x)<0C f (x)<0， g (x)>0D f (x)<0， g (x)<02.（ 2009 宁夏银川）若函数f (x)=x2 4x+3,则函数 f(x+1) 单调递减区间 _A.(0,2)B.(1,3)C.( 4, 2)D.(3,1)7（浙江文）f ( x) x33x22 在区间1,1 上的最大值是（）(A)-2(B)0 (C)2(D)48（湖南文科） 若函数 f(x) =x2+bx+c 的图象的

16、顶点在第四象限，则函数f /(x) 的图象是（）yyyyoxoxoxoxABCD9（全国卷 理科） 函数 y xcosx sinx 在下面哪个区间内是增函数（）（A）(， 3)（B）(，2) （C）( 3， 5)（D）(2， 3 )222210. （浙江理科 ）设 f(x) 是函数 f(x) 的导函数， y= f ( x) 的图象如图所示，则y= f(x) 的图象最有可能的是（）二、填空题： ( 每小题 5 分, 计 20 分)11. （浙江文） 曲线 yx32x24x2 在点 (1，一 3)处的切线方程是 _.12.( 重庆文科 ) 曲线 y x3在点（ 1，1）处的切线与x 轴、直线 x

17、2 所围成的三角形的面积为 .13（江苏） 已知函数 f ( x)x3 12 x 8 在区间 3,3 上的最大值与最小值分别为M , m ，则 M m _;14.（ 2008 北京文） 如图，函数f(x)的图象是折线段ABC,其中 A,B,C的坐标分别为（0， 4），（2， 0），（6， 4），则 f(f(0)=_ ;函数 f(x)在 x=1 处的导数f（ 1）=_16. （2007 宁夏） 曲线 y=ex 在点（ 2，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 _17.(2009 宁夏 ) 曲线 y=xe a+2x+1 在点（ 0， 1）处的切线方程为 _18. (2008 湖北 )若 f(x

18、)=1 x2b ln( x2)在(-1,+) 上是减函数，则b 的取值范围是 _219. （ 2010 全国 T7）若曲线 yx2ax b 在点 (0, b) 处的切线方程是x y 10 , 则a=_ b=_20. （ 07 全国文）已知曲线yx2的一条切线的斜率为1 ，则切点的横坐标为_4221.（全国）曲线 y x32x4 在点 (13)， 处的切线的倾斜角为 _三、解答题：22. 偶函数 f（ x）=ax4+bx3+cx2+dx+e 的图象过点 P（ 0，1），且在 x=1 处的切线方程为y=x-2 ，求 y=f （ x）的解析式 .23. （北京理科、文科）已知函数f(x)= x3 3

19、x2 9x a.（ I ）求 f(x)的单调递减区间；（ II ）若 f(x)在区间 2， 2上的最大值为 20，求它在该区间上的最小值24. （安徽文） 设函数 f xx3bx2cx(x R) ，已知 g( x) f ( x)f ( x) 是奇函数。（）求 b 、 c 的值。（）求 g( x) 的单调区间与极值。25. （福建文科） 已知函数 f ( x)x3bx 2cx d 的图象过点P（ 0， 2），且在点 M（ 1， f（ 1）处的切线方程为6xy 7 0.（）求函数 yf ( x) 的解析式；（）求函数 yf ( x) 的单调区间 .26.（ 2010 湖北）为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的房顶和外墙需要建造隔热层，某幢建筑物要建造可使用20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6 万元，该建筑物每年的能源消耗费用为C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位： cm）满足关系：k（ 0 x 10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8 万元。设 f （ x）为隔C（ x）=53x热层建造费用与20 年的能源消耗费用之和。（）求 k 的值及 f(x) 的表达式；（）隔热层修建多厚时，总费用f（ x）达到最小，并求最小值27 (20