一元二次方程根与系数的关系教学设计及反思

1、基本信息课题人教版九年级上册第二十三章第3 节：一元二次方程根与系数的关系作者及工 作单位教材分析一元二次方程根与系数的关系的知识内容主要是以前一单元中的求根公式为基础的。教材通过一元二次方程 ax2+bx+c=0（a 工 0）的根 xi、x?得岀一元二次方程根与系数的关系，以及以数 x?为根的一元二次方程的求方程模型。然后通过4 个例题介绍了利用根与系数的关系简化一些计算的知识。学情分析1学生已学习用求根公式法解一元二次方程，。2本课的教学对象是九年级学生，学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注意的多是事物 外部的、直接的、具体形象的特征，3.在教学初始，岀示一些学生所熟悉和感兴趣的东西

2、，结合一元二次方程求根公式使他们在现代化的教学模式和传统的教学模式相结合的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系。教学目标1、知识目标：要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式，能运用根与系数 的关系由已知一元二次方程的一个根求岀另一个根与未知数，会求一元二次方程两个根的倒数和与平 方数，两根之差。2、能力目标：通过韦达定理的教学过程，使学生经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程， 发展推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点，进一步培养学生的创新意识和创新精神。3、情感目标：通过情境教学过程，激发学生的求知欲望，培养学生积极学习数学的态度。体验 数学活动中充满着探索与创造，体

3、验数学活动中的成功感，建立自信心。教学重点和难点1、重点：一元二次方程根与系数的关系。2、难点：让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，并用语言表述，以及 由一个已知方程求作新方程，使新方程的根与已知的方程的根有某种关系，比较抽象，学生真正掌握 有一定的难度，是教学的难点。教学过程教严才教教师活动预设学生行为设计意图学环节解下列方程：2 22x +5x+3=03x -2x-8=0此得岀一兀一并根据问题 2 和以上的求解填写次方程的根与系数的下表若方程2ax+bx+c=0 ( a 工 0)关系；还可以让学生请观察上表，你能发现两根的两根为用自己的语言表述这之和、两根之积与方程的系

4、数之X1=种关系，来加深理解间有什么关系吗？X2=o和记忆。问题引探问题 4.请根据以上的观察发现进一步猜想：方程 ax +bx+c=0则X 计 X2=+这个关系是一个法国数学家韦达发(0)的根 xi, X2与 a、b、c=现的，所以也称之为之间的关系：。XiX2=韦达定理。问题 5.你能证明上面的猜想吗？请证明，并用文字语言叙 述说明。分小组讨论以上的问题， 并作岀推理证明。问题 6.在方程 ax2+bx+c=0（a 0）中，a、b、c 的作用吗？本设计采用“实（引导学生反思性小结）践一一观察一一发现二次项系数 a 是否为零，猜想一一证明”决定着方程是否为二次方程；的过程，使学生既动当 a

5、0 时，b=0， a、c手又动脑，且又动口，探索发现异号，方程两根互为相反数；当 a 0 时， =b2-4ac学生交流探讨教师引导启发，避免 注入式地讲授一元二可判定根的情况；次方程根与系数的关2当 a 0， b -4ac 0 时，系，体现学生的主体Xl+X2=， XlX2=。学习特性，培养了学当 a 0，c=0 时，方程必生的创新意识和创新有一根为 0。精神。1) 2x2-3x+i=0 xi+x2=xix2=(2)3x2+5x=0根据根与系数的关系写岀下列方程的两根之和与两根之积（方程两根为 Xi， X2、k 是常数）xi+x2=尝试发展xix2=此试一试、巩固(3)xi+x2=5x2+x-

6、2=0知识xix2=(4)5x2+kx-6=0 xi+x2=xix2=拓展创新利用根与系数的关系，求一 元二次方程 2x2-3x-1=0 的两个根 的（1）平方和，（2）倒数和。讨论： 解上面问题的思路是 什么？2 2 /、2Xi+ X2=( X1+X2)-2 X1X2；将平方和、倒数 和转化为两根和与积 的代数式师生共同归纳小结本课主要研究了什么？1、 方程的根是由系数决 定的。2、a 0 时，方程2ax +bx+c=0 是一兀一次方程。23、当 a 0， b -4ac 0 时，X1+X2=，X1X2=。4、 b2-4ac 的值可判定根的情 况。 5、方程根与系数关系的 有关应用。回顾总结板

7、书设计一元二次方程根与系数的关系如果ax2+bx+c=0（a 工 0）的两根是xi,X2,那么Xi+X2=,xiX2= 。问题 6.在方程 ax2+bx+c=0 （a 0）中，a、b、c 的作用吗？1二次项系数 a 是否为零，决定着方程是否为二次方程；2当 a 0 时，b=0, a、c 异号，方程两根互为相反数；3当 a 0 时， =b2-4ac 可判定根的情况；24当 a 0， b -4ac 0 时，x 计 X2=， xiX2=。5当 a 0， c=0 时，方程必有一根为 0。学生学习活动评价设计本节课充分让学生分析、观察、提高了学生的归纳能力及推理论证的能力教学反思1、一元二次方程根与系数

8、的关系的推导是在求根公式的基础上进行。它深化了两根的和与积冋 系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，必须熟记，为进一步使用 打下基础。2以一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向学生展示认识事物的一般规律，提倡积极思 维，勇于探索的精神，借此锻炼学生分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力3元二次方程的根与系数的关系，在中考中多以填空，选择，解答题的形式岀现，考查的频率 较高，也常与几何、二次函数等问题结合考查，是考试的热点，它是方程理论的重要组成部分。4、使学生体会解题方法的多样性，开阔解题思路，优化解题方法，增强择优能力。力求让学生 在自主探索和合作交流的过程中

9、进行学习，获得数学活动经验，教师应注意引导。在教学过程中，很多教师总认为自己在上课中讲得井井有条，知识条理十分透彻，演算透彻 清晰，但结果是有大多数学生不能举一反三，数学学习困难重重。产生这种现象的原因，多数教 师都归因于学生素质差、家庭教育环境不良等教师以外的因素，很少发现是自己教学能力和素养 导致而成。课堂教学是师生的双边活动。课堂教学的实质是师生双方的信息交流，共同学校的过程。教师得 知学生在数学学习很困难时，是否想到了可能教师自己对教材理解不够，没有准确地把握教材的 重点、难点，对教材内容层次没有理清和教学方法不适呢？ 数学课程标准 指导下， 我们的数 学教学目的是要学生在数学学习中，

10、 由“听”到“懂”，再到“会”，最后到“通”。为此，教 师必须深刻反思自己的教育教学行为，批判性地考察自我主体行为表现及其行为依据。通过观察、回顾、诊断、自我监控等方式，或给予肯定、支持与强化，或给予否定、思索与修正，将“学会 教学”与“学会学习”结合起来，从而努力提升教学实践的合理性，提高课堂教学效能，到达提 高教学质量的目的。现就以下几方面谈谈自己的看法。一、教师要反思教育观念新课标下要求教师要改变学科的教育观，始终体现“学生是教学活动的主体”科学理念，着眼于 学生的终身发展，注重培养学生浓厚的学习兴趣和正确的学习习惯。数学非常重视教学内容与实 际生活的紧密联系。但是在教学活动中还是有不少

11、教师习惯于传统的教学模式，偏重于知识的传 授，强调接受式学习，这样使很多学生在学习数学上失去了兴趣。教学中教师要抓住时机，不断 地引导学生在设疑、质疑、解疑的过程中，创设认知“冲突”，激发学生持续的学习兴趣和求知 欲望，顺利地建立数学概念，把握数学定义、定理和规律。教师在探究教学中要立足与培养学生的独立性和自主性，引导他们质疑、调查和探究，学会在实 践中学，在合作中学，逐步形成适合于自己的学习策略。例如，在学习等腰三角形三线合一的性 质时可以让三个同学合作分别去画出顶角平分线、底边上的高、底边上的中线，这是学生会发现 三条线为什么会是一条线？证明三角形全等的方法有多种，为什么“角边边”不能判定

12、两三角形全等？在学习镶嵌时，可以提这样的问题，为什么正三角形、正方形、长方形正六边形可以，而 正五边形不可以？等等。这样教师不断地设问，不断地质疑，就能引导学生进行积极思考，激发起学生浓厚的学习兴趣和 求知欲望，促使学生在生活中发现和归纳各种各样的数学规律，为下一步学习数学知识打下坚实 的基础。所以我们的教师必须反思自己的教育观念，紧紧抓住主导和主体的关系，解决好学生学 习积极性的问题。二、教师要反思教学设计教学设计是课堂教学的蓝本，是对课堂教学的整体规划和预设，勾勒出了课堂教学活动的效益取 向。设计教学方案时，教师对当前的教学内容及其地位（概念的“解构”、思想方法的“析出”、 相关知识的联系

13、方式等），学生已有知识经验，教学目的，重点与难点，如何依据学生已有认知 水平和知识的逻辑过程设计教学过程，如何突出重点和突破难点，学生在理解概念和思想方法时 可能会出现哪些情况以及如何处理这些情况，设计哪些练习以巩固新知识，如何评价学生的学习 效果等，都应该有一定的思考和预设。教学设计的反思就是对这些思考和预设是否考虑到了。教 学后，要对实际进程和学生的接受程度进行比较和反思，找出成功和不足之处及其原因，从而有 效地改进教学。三、教师要反思教学方法教师教得好，本质上讲是学生学得好。在实际教学过程中我们的教学方法是否合乎学生实际呢？ 上课、评卷、答疑解难时，有的教师自以为讲清楚明白了，学生受到了

14、一定的启发，但反思后发 现，教师的讲解并没有很好地从学生原有的知识基础出发，从根本上解决学生认识上鸿沟问题。 有的教师只是一味的设想按照自己某个固定的程序去解决某一类问题，也许学生当时听明白了， 但往往是是而非，并没有真正理解问题的本质。初中数学教学中，例习题教学是数学教学中重要的组成部分，是概念类教学的延伸和发展。教材 中的例习题都是编者精心编制的，具有典型性和启发性，它们不仅是对基础知识的巩固，同时对 培养学生智力、掌握数学思想和方法，及培养学生应用数学意识和能力，提高学生的数学素养等 都有重要意义。四、教师要反思学生学习方法 数学课程标准指出，有效的数学学习活动不能单纯依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与 合作交流是学生学习数学的重要方式，因此，转变数学学习方式，倡导有意义的学习方式是课程 改革的核心任务。初中学生年龄一般在十二至十六岁之间，正处生长发育期，思想不成熟，行为 不稳定，办事情绪化，喜表露，易冲动 , 既有面见师长的羞涩 , 有初生牛犊不