微元控制体分析法推导N-S方程

1、推导一推理依据：牛顿第二定律ma=F分析方法：微元控制体分析法推导思路：(1) 找出微团受到的力，即质量力和表面力,写出运动方程；(2) 根据应力与应变的关系将应力进行转化，得到可压缩粘性流体Navier-Stokes方程和不可压缩流体N-S方程。推导过程：1.受力分析及运动方程x方向上的体积力分量及各面上的应力如图1所示，有六个表面力分量及一个体积力分量。x方向体积力：大小与体积成正比，当微元体很小时可认为整个微元体中体积力密度f相同，即单位体积中的体积力均为f，则x方向体积力为fxdxdydz。各面上x方向的表面应力：切应力分量：pyx， pyx+pyxydy，pzx，pzx+pzxzdz

2、正应力分量：pxx, pxx+pxxxdx应力分量的变化量可由多元函数Taylor级数展开式取一阶小量的方法获得，如下：由fx1+x1,x2+x2,xn+xn=i=01i!x1x1+x2x2+xnxnifx1,x2,xn得px+x,y+y,z+z=px,y,z+(pxdx+pydy+pzdz)则x方向表面力为：pxxxdxdydz+pyxydydxdz+pzxzdzdxdy微团运动加速度为在x方向的分量为：max=dxdydzDuDt根据牛顿运动定律ma=F，在x方向整理，得dxdydzDuDt=fxdxdydz+（pxxx+pyxy+pzxz）dzdxdy即 DuDt=fx+pxxx+pyx

3、y+pzxz (1)同理可得y、z方向上DuDt=fy+pxyx+pyyy+pzyzDuDt=fx+pxzx+pyzy+pzzz写为笛卡尔张量形式，可得直角坐标系中微分形式的运动方程DuiDt=fi+pijxi (i=1,2,3) (2)【注：指标表示法，求和约定】由于px=pxxi+pxyj+pxzk，py=pyxi+pyyj+pyzk，pz=pzxi+pzyj+pzzk，P=xPx+yPy+zPz【注：上式中px表示作用面的法线方向为x方向的应力和。是否可将应力张量表示为P=pxxpxypxzpyxpyypyzpzxpzypzz=pxi+pyj+pzk，则px为x方向上的应力分量和。】因此

4、，(1)式可写为与坐标系无关的矢量表达 DDtV=f+P (3)【疑问：(a)张量表示；(b)变形分析，增量】2.推导粘性流体的N-S方程 (1)粘性流体的本构方程【注：流体力学中本构方程专指应力张量P与应变率张量E之间的关系式。百度：通常把应力和应变率，或应力张量与应变张量之间的函数关系称为本构方程。】当流体作一维平行剪切流动时，存在牛顿粘性定律：=dudy，根据应力张量P=pxxpxypxzpyxpyypyzpzxpzypzz和应变率张量E=xxxyxzyxyyyzzxzyzz分量的表达方式，令=pyx，由yx=12(uy+vx)，一维流vx=0可得pyx=2yx (4)【注：Stokes

5、假设：(i)应力张量与应变率张量成线性关系，即应力与变形速度之间成线性关系；(ii)这种线性关系在流体中是各向同性的（不因方向不同而有所变化）；(iii)当流体静止时，应变率为零，流体中的应力就是各向等值的静压强。】 根据Stokes假设(i)和(ii),牛顿流体的本构关系可写为：P=aE+bI (5)其中 I=100010001为二阶单位张量，a、b为标量，与运动状态和坐标系无关。对照(4)式可得a=2，则(5)式中三个对角线上的分量可写为pxx=2ux+b, pyy=2vy+b, pzz=2wz+b即 pxx+pyy+pzz=2ux+vy+wz+3b=2V+3b (6)【根据应力张量和应变

6、率张量的性质，上式说明b是由应力张量和应变率张量中线性的第一不变量所组成】由(6)式得 b=13pxx+pyy+pzz-23V (7)根据Stokes假设(iii)，当流体静止时，流体中只有正应力，且其值为各向等值的静水压强，因此可将三个正应力之和记为-13pxx+pyy+pzz=p (8)【注：“-”解释静水压强方向恒垂直指向作用面，即与作用面内法线方向一致，正应力以拉应力为正，方向与外法线方向一致。】将(8)式代入(7)式，得 b=-p-23V (9)将(9)式代入(5)式，可得 P=2E-p+23VI=-pI+2E-23VI (10)在直接坐标系中，正应力与应变的关系为pxx=-p+2u

7、x-23Vpyy=-p+2vy-23V (11)pzz=-p+2wz-23V切应力与应变的关系为pxy=pyx=(uy+vx)pxz=pzx=(uz+wx) (12)pyz=pzy=(vz+wy)本构方程(11)可写为以下形式：P=-pI+,显然=2E-23VI, 称为偏应力张量，又称为粘性切应力张量。(2)粘性流体的运动微分方程(A)张量分析法：将(10)式代入(3)式，得 DDtV=f-pI+2E-23VI (13)若流体中的动力粘度为常数或保持空间上均匀，应用矢量运算结果：pI=p；2E=2V+V，式(13)可改为 DDtV=f-p+2V+13V (14)在直角坐标系可写为DuDt=fx

8、-px+2ux2+2uy2+2uz2+13xux+vy+wzDvDt=fy-py+2vx2+2vy2+2vz2+13yux+vy+wzDwDt=fz-pz+2wx2+2wy2+2wz2+13zux+vy+wz式(13)或式(14)称为可压缩流体Navier-Stokes方程，适用于可压缩粘性流体的运动。【区分u，V，2V，V】当流体为不可压缩时，V=0，且通常也可假设为常数，式(14)变为DDtV=f-p+2V (15)在直接坐标系中可写为DuDt=fx-px+(2ux2+2uy2+2uz2)DvDt=fy-py+(2vx2+2vy2+2vz2) (16)DwDt=fz-pz+(2wx2+2w

9、y2+2wz2)式(15)或式(16)称为不可压缩流体的Navier-Stokes方程,简称N-S方程。(B)代入推导法：将式(11)和式(12)中相关项代入式(1)进行计算、整理：pxxx=x-p+2ux-23u=-px+22ux2-23xVpyxy=y(uy+vx)=2uy2+2vxypzxz=z(uz+wx)=2uz2+2wxzDuDt=fx+pxxx+pyxy+pzxz =fx-px+22ux2-23V+2uy2+2vxy+2uz2+2wxz=fx-px+2ux2+2uy2+2uz2+xux+vy+wz-23xV=fx-px+2u+xV-23xV =fx-px+2u+13xV即 DuD

10、t=fx-px+2u+13xV (17)同理可推得DvDt=fy-py+2v+13yVDwDt=fz-pz+2w+13zV写为矢量表达形式则为DVDt=f-p+2V+13zV (18)式(17)或式(18)被称为可压缩流体的Navier-Stokes方程。当流体为不可压缩时，V=0(推导过程见流体连续性微分方程推导)，且通常也可假设为常数，式(18)变为DDtV=f-p+2V (19)在直接坐标系中可写为DuDt=fx-px+(2ux2+2uy2+2uz2)DvDt=fy-py+(2vx2+2vy2+2vz2) (20)DwDt=fz-pz+(2wx2+2wy2+2wz2)式(19)或式(20

11、)称为不可压缩流体的Navier-Stokes方程,简称N-S方程。流体连续性微分方程推导：连续性方程的基本推导原理就是，单元体内流出、流入质量差等于该时间段内单元体内质量的变化。在t时刻的流场中，任选一点A(x,y,z)，以A为角点作微元六面体，各面都与相应的坐标面平行，边长分别为dx,dy,dz，如下图所示。设A点的速度为V=(u,v,w),密度为，由于dx,dy,dz很小，可认为以A点为交点的单个面各面上速度和密度都是均匀相等的；在对应的其他三个面上的速度和密度值则通过Taylor级数展开取一阶小量得到。现考察通过微元体的流体质量。在x方向上，左侧质量流速为u，质量流速是位置的函数，因此

12、在右侧面流出的质量流速为u+puxdx。【注：一般的流速是体积流速，m/s，为了推导质量的变化需要引入质量流速，质量流速的定义就是单位时间内通过单位横截面的流体质量】时间段dt内，从左面流入微元的流体质量为：udydzdt，而同时从右面流出的流体质量为u+puxdxdydzdt，由此可知在x方向上，时间段dt内通过控制体净流出的流体质量为puxdxdydzdt，同样可得y和z方向上，时间段dt内通过控制体净流出的流体质量分别为pvydxdydzdt和pwzdxdydzdt，则时间段dt内控制体表面净流出质量流量为pux+pvy+pwzdxdydzdt该时间段dt内单元体质量的变化体现在密度随时间的变化上，因为控制体的体积不变，控制体内流体质量