矩阵的定义及其运算规则-矩阵的定义

1、矩阵的定义及其运算规则1、矩阵的定义一般而言，所谓矩阵就是由一组数的全体，在括号（）内排列成 m行n列（横的称行, 纵的称列）的一个数表，并称它为mxn阵。矩阵通常是用大写字母 A、B来表示。例如一个 m行n列的矩阵可以简记为：区二闻,或£二风）叫即：噎a黄，（2-3）我们称（2-3）式中的"U为矩阵A的元素，a的第一个注脚字母 r$ = U" ,«） ,表 示矩阵的行数，第二个注脚字母j （j=1, 2,，n）表示矩阵的列数。当m=n时，则称'=（4/）为n阶方阵，并用就表示。当矩阵（aj）的元素仅有一 行或一列时，则称它为行矩阵或列矩阵。设两

2、个矩阵，有相同的行数和相同的列数，而且它们的对应元素一一相等，即 与,二%,则称该两矩阵相等，记为A=B。2、三角形矩阵由i = j的元素组成的对角线为主对角线，构成这个主对角线的元素称为主对角线元素。如果在方阵中主对角线一侧的元素全为零，而另外一侧的元素不为零或不全为零，则该矩阵叫做三角形矩阵。例如，以下矩阵都是三角形矩阵：Ri aU “13、"00、-5 +1 +2、0 1口口0 41 +342 0、10° 的 a& %1。0+3廿 3 +1/3、单位矩阵与零矩阵在方阵帅中,如果只有J的元素不等于零，而其他元素全为零，如:则称为对角矩阵，可记为“二曲防，物）。如

3、果在对角矩阵中所有的肉彼此都相等且均为1,如：1° 0 ,则称为单位矩阵。单位矩阵常用E来表示，即:10 o -当矩阵中所有的元素都等于零时，叫做零矩阵，并用符号“。来表示。4、矩阵的加法矩阵A= (aj) mt< n和B= (bij) mt< n相加时，必须要有相同的行数和列数。如以C= ( Cj )m珀表示矩阵A及B的和，则有：A+B=C=式中：Ca二4+%。即矩阵C的元素等于矩阵A和B的对应元素之和。由上述定义可知，矩阵的加法具有下列性质(设 A、B、C都是mxn矩阵)：(1)交换律：A+B=B+A(2)结合律：(A + B) +C=A+ (B+C)5、数与矩阵的乘

4、法我们定义用k右乘矩阵A或左乘矩阵A,其积均等于矩阵附中的所有元素都乘上k之后所得的矩阵。如：kA= Ak由上述定义可知，数与矩阵相乘具有下列性质：设 A、B都是mxn矩阵，k、h为任意 常数，则：(1) k (A+B) = kA + kB(2) ( k+h) A = kA + hA(3) k (hA) = khA6、矩阵的乘法若矩阵/乘矩阵£,则只有在前者的列数等于后者的行数时才有意义。矩阵 £的元素C#的计算方法定义为第一个矩阵第i行的元素与第二个矩阵第 j列元素对应乘积的和。若：A B=CJSct收出 微见则矩阵敝工的元素由定义知其计算公式为：% =沏氏+包也j+即=

5、z(而%)(2-4)_ (an窗口 如一仅U%&3 1【例2-1】设有两矩阵为：M ®的J,和 电1%1人试求该两矩阵的积。【解】由于A矩阵的列数等于 B矩阵的行数，故可乘，其结果设为C:G1其中：。11 = % 也1 +(1离 1。乳二flaAi +电也1Cj2 = 112 +。"篇 弓3二町1% +的也口。13 =的曲,+。1AsL案二如九+町也31 1 0、【例2-2已知：A = V 2 1) b： 【解】计算结果如下：/ A 0 3 、 fi i oNA B = C=1 0 -1m 13 2 11" q2 2 1；(1)通常矩阵的乘积是不可交换的。

6、(2)矩阵的乘法是可结合的。，0 3 1 11 0 -11-2 2 1 1 ,求A、B两个矩阵的积。3 0、11 2,矩阵的乘法具有下列性质：(3)设A是mX n矩阵， B、C是两个nX矩阵，则有： A (B + C) =AB+AC。k 有：k (AB ) = ( kA) B=A(4)设A是mKn矩阵，B是nX矩阵。则对任意常数(kB)。【例2-3】用矩阵表示的某一组方程为：/ = a x+ z向耿1加1淑1(2-5)式中:试将矩阵公式展开，列出方程组。将上式右边计算整理得:(2-7)+占工2 H+ 0+'与 G + %心 + - - + £二毛 +/口(2-8)1a 了1 + 4芍 + + 4 / + "可得方程组:及=口向 +4 勺 + +，i/+1,姆=盯彳1 +%心 +"- + / +，？匕二勺凝+4啊+0+4可见，上述方程组可以写成（2-5）式的矩阵形式。上述方程组就是测量平差中的误差 方程组，故知（2-5）式即为误差方程组的矩阵表达式。式中I称为改正数阵，9称为误差念1称为误差方程组的常数项阵。r个条件式如下，试用矩阵表示。、1 - 方程组的系数阵， 纪称为未知数阵，【例2-4】设由n个观测值列出/匕+叼匕4卜乐吸+- = 0幽+%+4%+%