直线参数方程t的几何意义

1、X =x0 +tc osy = y0 +tsi nPo(xo,yo)到点利用直线参数方程t的几何意义1、直线参数方程的标准式（1）过点P0（X0,y0）,倾斜角为a的直线l的参数方程是（t为参数）t的几何意义：t表示有向线段PoP的数量，P（X , y）PoP=tI PoP I =t为直线上任意一点.（2）若Pl、P2是直线上两点，所对应的参数分别为tl、t2,贝1 PlP2=t2tlI P1P2 I = I t 2 t 1 I（3）若Pl、P2、P3是直线上的点，所对应的参数分别为tl、t2、t3则 PlP2 中点 P3 的参数为 t3=U2 J P0P3 I = t1 +t2 22（4）若

2、 Po 为 PlP2 的中点,则 tl + t2=0, tl t2<02、直线参数方程的一般式过点P0（xo,y。），斜率为k=b的直线的参数方程是 a；X=X0+at（t 为参数）j = y0 + bt点击直线参数方程：一、直线的参数方程问题1:（直线由点和方向确定） 求经过点P0（X0,y。），倾斜角为0的直线l的参数方程设点P（x , y ）是直线1上任意一点，（规定向上的方向为直线L的正方向）过点P作y轴的平行线，过P0作X轴的平行线，两条直线相交于 Q点._1）当P0P与直线1同方向或P0和P重合时，P°P= | P0PI则 P°Q= PoPcostQ P=

3、 PoPsina2）当P0P与直线1反方向时，PoP、P0Q、Q P同时改变符号PoP=|PoP| PoQ=PoPcosa Q P= PoPsina 仍成立设PoP=t, t为参数，又PoQ= x-x0 ,x-x0 = tcosaQ P= y - yoy - yo =t sin«即,x = Xo +tcos是所求的直线l的参数方程,y = yo +t sin«PoP=t, t为参数，t的几何意义是：有向直线l上从已知点 P（x ,y）的有向线段的数量，且| PoP| =|t|当t>0时，点P在点Po的上方;当t=0时，点P与点Po重合；当t<0时，点P在点Po的

4、下方;特别地，若直线l的倾斜角口 = 0时，直线l的参数方程为/ = x°+ty = y0当t>0时，点P在点P0的右侧;当t=0时，点P与点P0重合；当t<0时，点P在点P0的左侧;P0P( x , y)问题2:直线l上的点与对应的 参数t是不是 对应关系？我们把直线l看作是实数轴，以直线l向上的方向为正方向，以定点 为原点，以原坐标系的单位长为单位长, 这样参数t便和这条实数轴上的点P建立了对应关系.问题3： Pl、P2为直线l上两点所对应的参数分别为tl、t2 ,则 PlP2=? , I PlP2 I =?PlP2= PlP0+P0P2= tl+t2=t2tl ,

5、I PlP2 I = I t2tl I问题4:若P0为直线l上两点Pi、P2的中点，Pi、P2所对应的参数分别为tl、t2 ,则tl、t2之间有何关系？l /根据直线l参数方程t的几何意义，ty/2PlP= tl, P2P=t2, P0 为直线 lZ上两点 Pi、P2 的中点，. | PlP| =|P2P|/ °PlP= P2P,即 tl= t2, tlt2<0/Pi一般地，若Pi、P2、P3是直线l上的点，0 /所对应的参数分别为ti、t2、t3, P3为Pi、P2的中则t3= kH (= PiP3= P2P3,根据直线l参数方程t的几何意义,PiP3= t3 tl, P2P

6、3= t3 t2,t3tl= (t3 t2,)性质一：A、B两点之间的距离为|AB|=|ti-121，特别地，A、B两点到M。的距离分 别为 ItJItzl.性质二：A、B两点的中点所对应的参数为 '士”，若M0是线段AB的中点，则ti +t2 = 0,反之亦然。在解题时若能运用参数 t的上述性质，则可起到事半功倍的效果。应用一：求距离例i、直线l过点P0 (。,0),倾斜角为 ,且与圆x2 + y2 = 7相交于A、B两点。(i)求弦长AB.(2)求P0A和P0B的长。解：因为直线l过点P0(-4,0),倾斜角为土，所以直线l的参数方程为6'五，v,3xx = -4+tcos

7、x = -4 + t46 ,即2, (t为参数)，代入圆方程，得iI 1y =0 +tsin y = t工622?'3 2122(4 +1)2 +( 1)2 =7,整理得 t2 -4v13t + 9 = 0 22(1)设A、B所对应的参数分别为t1,t2，所以t1 +t2 = 4V3 , 11t2 =9 ,所以 |AB|=|t1 -t2 I = (t1t2)2 -4t1t2 =2 3.(2)解方程 t2 4j3t+9 = 0得，t1 =373,t2 = J3,所以 P°A =|L |=3内，P°B =心 |= J3.应用二：求点的坐标例2、直线l过点P0(2,4),

8、倾斜角为求出直线l上与点P。(2,4)相距为4的点的坐 6标。解：因为直线l过点P0(2,4),倾斜角为所以直线l的参数方程为6 元 ”花x=2+tcosx = 2 + t66 ,即42 , (t为参数)，(1)一一 1y = 4 tsin v = 4 t6y 4 2t设直线l上与已知点Po(2,4)相距为4的点为M点，且M点对应的参数为t,则| PoM | =|t |= 4 ,所以t = ±4 ,将t的值代入(1)式，当t = 4时，M点的坐标为(2 +2/3,6);当t= 4时，M点的坐标为(2 -23,2),综上，所求M点的坐标为(2+2后,6)或(2 -2«3,2)

9、.点评：若使用直线的普通方程，利用两点间的距离公式求 M点的坐标较麻烦，而使用直线的参数方程，充分利用参数t的几何意义求 M点的坐标较容易。应用三：解决有关弦的中点问题3T例3、过点P0(1,0),倾斜角为二的直线l和抛物线y2 =2x相交于A、B两点，求线段4AB的中点M点的坐标。TT解：直线l过点P0(1,0),倾斜角为所以直线l的参数方程为4x=1*,(t为参数)，因为直线l和抛物线相交,将直线的参数方程代入抛物线方程2 一 .一2_2.一 12y =2x 中，得：(t) =2(1+t),整理得一t J2t2 = 0, 222：=(- 2)2,14父5 M(2) = 6 >0,设这个二次方程的两个根为心上, 由韦达