直线与椭圆的综合问题检测题与详解答案

1、直线与椭圆的综合问题检测题与详解答案A保大分专练i. (20i9 长春二检)椭圆4x2+9y2=i44内有一点P(3,2),则以P为中点的弦所在直线的斜率为()2A 3r 9D.4解析：选A设以P为中点的弦所在的直线与椭圆交于点Axi, yi), B(X2, yz),斜率为k,则4x2+9y2=144,4 x2+9y2= 144,两式相减得4(xi+X2)(xi X2)+ 9( yi + y2)(yi y2)=0,又 xi + x2=6, yi+y2=4, -= k, 代入解得 k= ".xi x23222.已知直线y= x+i与椭圆+、=i(a>b>0)相交于A, B两

2、点，若椭圆的离心率为鼻焦距为2,则线段AB的长是()A.B.4,23C.-2D.解析：选B由条件知c= i, e=c_J2,所以a=M2, b=i,椭圆方程为+ y2= i,联立直线方程与椭圆方程可得交点坐标为(0,1)，i -4 2-31所以|AB=-3-3.2斜率为i的直线l与椭圆7 + y24 J1相交于AB两点，则| AB的最大值为()A.B.4,55C.D.8 ,：105解析：选C设A,B两点的坐标分别为(xi, yi),(X2, y2),直线l的方程为y=x+t,x2 + 4y2= 4, ly=x+t消去 V，得 5x2+8tx +4(t2- i) =0,8则 xi+x2= - -

3、t,54t2 ixix2=5. .|AB =、i+k2 |xi-x2|=,i + k2， xi+x2 2 4xix28t 2-4X24 '10当 t = 0 时，| AB max=454. （2019 石家庄质检）倾斜角为X2 y2了的直线经过椭圆a2+b2=1（a>b>0）的右焦点F,与椭圆交于A, B两点，且AF=2 FB,则该椭圆的离心率为（）B.D.解析：选B由题可知，直线的方程为y = x c,与椭圆方程联立2biy=x c,（b2 + a2）y2+2b2cy-b4=0,由于直线过椭圆的右焦点， 故必与椭圆有交点，则A>0.设A（x1,c 2b c/十%=齐

4、帝'y1) , Rx2, y。，贝u4i -by1y2=avp 2又 AF = 2 FB, 1 (c-X1, -y1) = 2(x2- c, y2),一 y2=1- - y1= 2y2,可得2b2ca2+b2，12一 2y 2=-b4a2+b2.14c222=av?3 故选 B.225.已知点P是椭圆1x6+y8=1上的动点，F1, F2分别是椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，若M是/ F1PB的平分线上一点，且 F1M I/IP = 0,则| "OM|的取值范围是（）A.C.0,3)2/，3)B. (0,2 .2)D. (0,4解析：选B 如图，延长F1M交PF2的延长线于点

5、 G F1M MP=0,F1M±MP.又M次/ F1PE的平分线,|PF| =| PG,且 M为 F1G的中点.O为 F1F2 中点，O*F2G.|F2G =| PE| |PG| =| PF| |P同| ,1.C= 2|2 a-21 PEH = |4 一 | PFd|.4-2*<| PF<4 或 4<| PR|<4 + 2木,175M e(0,2 小).6.已知Fi( 1,0) , F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过 F2且垂直于x轴的直线交椭圆 C 于A, B两点，且|AB = 3,则椭圆C的标准方程为 .22解析：由题意知椭圆 C的焦点在x轴上，且c=1

6、,可设椭圆C的方程为02+孑匕=1( a>1),由|AB = 3,知点2祢椭圆上，代入椭圆方程得4a4-17a2 + 4=0,所以a2= 4或122a2=(舍去).故椭圆C的标准方程为7 + y = 1.44322答案：弓+ y=127.已知焦点在x轴上的椭圆C：与+y2=1(a>0),过右焦点作垂直于 x轴的直线交椭 a圆于A, B两点，且|AB = 1,则该椭圆的离心率为 .2解析：因为椭圆 与+ y2= 1(a>0)的焦点在x轴上，所以c=yh,又过右焦点且垂直 a22于x轴的直线为x=c,将其代入椭圆方程中， 得|2+y2= 1,则y= ± ，1 点，又|

7、AB = 1,c2,口 c2 3 ，、一心一» c 3所以2y 1产1,得产4,所以该椭圆的离心率 e = a= 2.答案:-2322，一 x y8.已知R1,1)为椭圆7 +勺=1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此 弦所在的直线方程为.解析：易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k,弦的端点坐标为(x1, y1), (x2, y2),22x2y2+ = 14 222*1 y1则二+4=142一得x1 + x2x1x2+ y + y2yI一y2。x1 + x2 = 2, y1 + y2= 2,Xi X2-2+ yi-y2=0,、一，、1，此弦所在的直线万程为y1 =

8、2(x1),即 x + 2y3=0.答案：x+2y-3=09. (2019 湖北武汉部分学校调研)设0为坐标原点,动点Ml在椭圆C:aCR)上，过O的直线交椭圆 C于A, B两点，F为椭圆C的左焦点.(1)若 FAB的面积的最大值为1,求a的值； 1 _(2)若直线MA MB的斜率乘积等于求椭圆C的离心率.3,一 .12 解：（1）因为 S>afab= 2| OF | yA yB| < | OF = a 1 = 1,所以 a = #2.(2)由题意可设A(Xo,yo),B(-Xo,-yo),M(x,y),22则 f + y2 = 1, + y2= 1, aa22_x° -

9、I 122y yo y + yo y? y0a 、 a， a11kMA - kMB=- - = x2 =22=22= 02= 3 ,所以 a2= 3,所以 a =3,所以 c = .a2- b2 =，2,所以椭圆C的离心率e=c=*=幸. a 33221。.(2。19 成都一诊)已知椭圆C：，b=1(a>b>o)的右焦点为F(f3, o),长半轴 与短半轴的比值为 2.(1)求椭圆C的方程；(2)设经过点A(1,o)的直线l与椭圆C相交于不同的两点 M N若点B(o,1)在以线段MN 为直径的圆上，求直线 l的方程.解：(1)由题可知 c=q3, ：=2, a2=b2+c2,a=

10、2, b= 1.x22.椭圆C的方程为- + y2=1.4(2)易知当直线l的斜率为o或直线l的斜率不存在时，不合题意.当直线l的斜率存在且不为 0时，设直线l的方程为x = my 1, Mxi, yi), NX2, y2).X = m什 1,联立 x2+4y2=4消去 x,可得(4+nm)y2+2my-3=0.,-2 . 2m 3 = 16m+48>0, yi + y2=-2, yiy2 = -2.y y 4+ m y y 4+ m点B在以MNK1直径的圆上，> >BM BN = 0.BM BN = (my + 1, yi 1) (my + 1, y2-1) = (n2+

11、1) yy+ (m-1)( yi + y2) +2= 0,-32m- + (m- 1) - +2=0,4+m '4+m整理，得 3n22m-5=0,解得 m= - 1 或 m= |.3直线l的方程为 x+y1 = 0或3x5y 3=0.B创高分自选1.已知椭圆C：1( a> b>0)的左、右焦点分别为一 一1-，Fi, F2,离心率为2,点A在椭圆C上，|AR|=2, ZFiAR=60 ,过F2与坐标轴不垂直的直线 l与椭圆C交于P, Q两点, N为线段PQ的中点.(1)求椭圆C的方程;(2)已知点，且MN_ PQ,求线段 MN/f在的直线方程.，1解：(1)由 e=2,得

12、 a=2c,易知 | AF| = 2, | AF =2a-2,由余弦定理，得 | AF|2+| AF|2 2| AF| | AE|cos A= | F1F2I 2,即 4 + (2a-2)2-2X2x(2a-2) X2= a2,解得a=2,则c= 1,b2 = a2 c2 = 3,.椭圆C的方程为x + y=i.43(2)设直线 l 的方程为 y=k(x- 1), P(xi, yi), Q(x2, y2),y=k x-1 J联立彳x2 y2整理得(3 + 4k2)x28k2x + 4k212=0,“3=1，k，8/则 xi+x2=3Z,yi + y2= k( xi + x2) 2k=6k3 +

13、 4k2'13k8+3+4k2贝 U klMN= . , 24k0-34k2224k+3+ 4k32k2.2.4 4k 3k、/1、''N3+4k2, 3 +4k2/又 M0' 8J_11 ,、3MNLPQ,kMg c，得 k =;或不k 2 2 2则 kMN= 一 2或 kMN=,故直线 MN勺方程为 16x+8y1 = 0或 16x+24y3=0.32. (2019 唐山五校联考)在直角坐标系xOy中，长为m+1的线段的两端点 C, D分别在x轴，y轴上滑动，"CP =，2 "PD.记点P的轨迹为曲线 E(1)求曲线E的方程；(2)经过点(0,1)作直线l与曲线E相交于A, B两点，OM= OA+ OB,当点M在曲线E上时，求直线l的方程.解：(1)设 C(m,0) , D(0 , n) , Rx, y).由TP = * TD,得(xm y) =J2( -x, n-y),由i-CD =啦+1,得 m+n2=(5+1)2,所以(*+1)2x2+ 小21y 2=(V2+ 1)2,2整理，得曲线 E的方程为x2+y2= 1.、一_,_ ?_ 2_ 2, (2)设 A(x1,y1),Rx2,n公，由 OM=OA+ OB,知点M的坐标为(x1+x2,ydy?).易知直线l的斜率存在，设直