利用“不动点”法巧解高考题精品资料

1、利用“不动点”法巧解高考题由递推公式求其数列通项历来是高考的重点和热点题型，对那些已知递推关系但又难求通项的数列综合问题，充分运用函数的相关性质是解决这类问题的着手点和关键与递推关系对应的函数的“不动点”决定着递推数列的增减情况，因此我们可以利用对函数“不动点”问题的研究结果，来简化对数列通项问题的探究。笔者在长期的教学实践中，不断总结探究反思，对那些难求通项的数列综合问题，形成利用函数不动点知识探究的规律性总结，以期对同学们解题有所帮助1 不动点的定义一般的，设 f (x) 的定义域为 D , 若存在 x0 D ，使 f ( x0 ) x0成立，则称 x0 为f ( x) 的不动点，或称 (

2、x0 , x0 ) 为 f ( x) 图像的不动点。2 求线性递推数列的通项定理 1 设 f ( x)ax b( a 01)， ，且 x0 为 f ( x) 的不动点， an 满足递推关系anf ( an 1 ) ， n2,3,，证明 anx0 是公比为 a 的等比数列。证： x0是 f ( x) 的不动点，所以 ax0 bx0 ，所 以 bx0ax0 ， 所以anx0 (a·an1 b)x0 a· an 1ax0 a(an 1x0 ) ，数列 anx0 是公比为a 的等比数列。例 1（ 2010 上海文数 21 题）已知数列 an的前 n 项和为 Sn ，且 Sn n5a

3、 n85 ，n N *(1) 证明： an 1是等比数列； (2)求数列 Sn的通项公式，并求出使得Sn 1Sn 成立的最小正整数 n .； 当 n2时 ， 即证：(1)当 n1 时 ， a114n n 15an 5an 1 1an S S6an5an 11(n2 即) an5 an 11 (n 2) ，记 f ( x)5 x1 ，令 f (x)x ，求出6666不动点 x01 ，由定理 1 知： an 15 (an 11)(n 2) ，又 a11 15 0，所以数列6 an 1 是等比数列。 (2) 解略。3 求非线性递推数列的通项定理 2设 f ( x)axb (c 0，ad bc0) ，

4、且 x1 、 x2 是 f ( x) 的不动点，数列cxd an 满足递推关系 anfa1 )， n2,3,，（）若x1x2，则数列 anx1是公( nanx2比为 ax1 c 的等比数列；（） x1x2x0 ，则数列 an1 是公差为2c的等差ax2 cx0ad数列。证：（）由题设知 ax1bx1bdx1x1dx1b(acx1) x1 ；cx1dacx1同理 dx2b(a cx2 )x2.aanbx1an 1x1cand(a cx1 )anb dx1a cx 1a nx1，an 1x2aanb(a cx2 )anb dx2a cx 2a nx 2x2cand所以数列 anx1 是公比为 ac

5、x1 的等比数列。anx2acx 2（）由题设知axb x 的解为 x1x2x0 ， x0ad且bdx0 x0 。cxd2cacx0所以11candcandcandan 1x0aanbx0(a cx0 )anb dx0( a cx0 )(anbdx0 )( a cx0 )(anx0 )candacx0cancx0 dcx0cdcx01cdc ad12c(a cx0 )(anx0 )a cx0a cx0 anx0a cx0aa d anx0c2ccan11x02c，所以数列 1 是公差为2c的等差数列。a cx0x0ana danx0a d例2 （ 2006年全国卷 22题 ） 设 数列 an的

6、前 n 项 和 为 Sn，且方程x 2anxan0 有一根为 Sn1 (n N * ) 。求数列 an的通项公式。解：依题a11 ，且 (Sn1) 2an( Sn1)an0 ，将 anSnSn 1 代入上式，得2Sn1，记 fx1，令 f ( x)x ，求出不动点 x01 ，由定理 2（）知：2Sn 12x12Sn11，所以数列1是公差为1 的等差数列，所以Sn 1 1 Sn 1Sn 1Sn1Snn，因此数列an 的通项公式为 ann1。n11例 3（2010 年全国卷 22 题）已知数列 a中， a11,an 1c1 .nan（）设 c5,bn1，求数列 bn 的通项公式 .（）求使不等式

7、anan132an2成立的 c 的取值范围 .解：（）依题 an 1515an2 ，记 f ( x)5x2 ，令 f (x)x ，求出不动点2an2an2x111an1x1；由定理 2（）知：2，2, x2 2an 12an22anan 12111an2；2an2an两式相除得到an 12 1 an 2，所以an2是以1为公比，a122为首141141an 1anana12222an2n 1324n 1项的等比数列，所以，21, an2, 从而 bn1424n133.（）an2解略。定理 3设 f ( x)ax2b (a0) ，且 x1、 x2是 f ( x) 的不动点，数列 an 满足2ax

8、d递推关系 afan1)， n2,3,，则有 an1x1anx1)2 ；若 a1x10，则n(an 1x2(x 2a1x2anln anx1是公比为2的等比数列。anx2证 ： x1 、x2是 f ( x)的 不 动 点 ， dx1b ax12 ， dx2b ax22 。an 1x1a an2b(2a and) x1a an2b2a an x1ax12ban 1x2a an2b(2a and ) x2a an2b2a an x2ax22ba(an22anx1x12 )anx12，又a1x10，则anx10，a(an22anx2x22 )(x2)a1x2anx2an lnan 1x12lnanx

9、1，故lnanx1是公比为2的等比数列。an 1x2anx2anx2例 4 （2010 东城区二模试题）已知数列 xn 满足 x14 ，xn 1xn232xn求证：xn 3 ；4求证： xn1xn ；求数列 xn 的通项公式证： 、证略；依题 xn1xn23，记 f (x)x23，令 f (x)x ，求出不2xn42x4动 点x11,x23；由定理3知 ：xn 11xn231( xn1)22xn42xn，4xn233( xn3)2xn 1 342xn，2xn4所以 xn 11xn12x11 41xn1xn1 ，又3，所以 log 312log 3xn 13xn3x13 4 3xn 13xn3又 log 3x111，令 aoglxn1 ，则数列 a是首项为 1 ，公比为 2 的等比数列所x13n3xn3n以 ann 1log 3xn1xn13an所以 xn3an 1132n 1 112由 anxn，得xn33an12 n 1331利用函数“不动点”法求解较复杂的递推数列的通项问题，并不局限于以上三种类型，基于高考数列试题的难度，本文不再对更为复杂的递推数列进行论述，以下两个定理供有兴趣的同学探究证明。定理 4 设 f ( x)ax 2bxb22b (a0), 且 x0是 f ( x) 的最小不动点，数列4a an 满足递推关系