函数单调性、奇偶性、周期性和对称性的综合应用.

1、函数单调性、奇偶性、周期性和对称性的综合应用例 1、设 f(x)是定义在R 上的奇函数，且yf x的图象关于直线x1 对称，则 f (1)+2f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_0_.【考点分析 】本题考查函数的周期性解析： f0f0 得 f00 ，假设 fn0因为点（n ，0）和点（ n1,0 ）关于 x1 对称，所以fn21fnfn0因此，对一切正整数n 都有： fn0从而： f 1f2f3f4f50 。本题答案填写：0例 2、（2006 福建卷） 已知 f (x) 是周期为 2 的奇函数，当 0x1时， f ( x) lg x.设 af ( 6), bf ( 3),

2、cf ( 5), 则522（A ） a b c（ B） b a c（ C） c b a（D） c a b解：已知 f ( x) 是周期为 2 的奇函数，当 0x 1时， f (x)lg x.设 af ( 6 ) f (4)f ( 4 ) ， bf ( 3)f ( 1 )f ( 1) ， cf ( 5)f ( 1) <0，55522222c ab ，选 D.例 、（安徽卷理） 函数 fx 对于任意实数 x 满足条件f x213，若fxf 15,则 f f5_。【考点分析 】本题考查函数的周期性与求函数值，中档题。解析：由 f x 21得 fx41f (x) ，所以 f (5)f (1) 5

3、 ，则fxf x2f f 5f ( 5)f ( 1)f (12)1 。15【窥管之见】函数的周期性在高考考查中除了在三角函数中较为直接考查外，一般都比较灵活。本题应直观理解fx21，则变倒数，加两次则“只要加2fx回原位” 则一通尽通也。例 4、设 fx 是,上的奇函数， f x2f x ，当 0x1 时， f xx ，则 f（7.5）等于（）A.0.5B.0.5C.1.5D. 1.5解析：由 f x2f xf 7.5f 5.5f 3.5f 1.5f0.5 ，又 fx是奇函数，故f0.5f 0.50.5 ，故选择 B。例 5、（福建卷） f ( x) 是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数，

4、且f ( 2)0 ，则方程f (x) =0 在区间（ 0，6）内解的个数的最小值是（B）A5B4C3D2解析：由 f ( x) 的周期性知，f (2)f 5f1f 1f 40即至少有根 1，2，4，5。故选择 B。例 6、（广东卷） 设函数 f ( x) 在 ( ,) 上满足 f (2 x)f (2 x) ， f (7 x)f (7 x) ，且在闭区间 0， 7上，只有 f (1)f (3) 0 （）试判断函数 y f ( x) 的奇偶性；（）试求方程 f ( x) =0 在闭区间 -2005，2005上的根的个数， 并证明你的结论解:由 f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)

5、 得函数 yf ( x) 的对称轴为 x2和 x7 ,从而知函数 yf (x) 不是奇函数 ,f (2x)f (2x)f (x)f (4x)f ( 4 x)f (14x)由x)f (7x)f (x)f (14f (7x)f ( x)f ( x10) ,从而知函数 yf (x) 的周期为 T10又 f (3)f (0)0,而f (7)0 ,故函数 yf ( x) 是非奇非偶函数 ;f (2x)f ( 2x)f ( x)f ( 4x)x)f (14 x)(II)由x)f (7x)f ( x)f (14f ( 4f (7x)f ( x) f ( x10)(II) 又 f (3)f (0)0, f (

6、11) f (13) f (7) f ( 9)0故 f(x) 在 0,10 和 -10,0上均有有两个解 , 从而可知函数yf ( x) 在 0,2005 上有402 个解 ,在 -2005.0 上有 400 个解 ,所以函数 y f (x) 在-2005,2005上有 802 个解.例 7 、 若 f （ x ）是偶函数，g（ x ）是奇函数，它们有相同的定义域，且f (x) g( x)1，求 f （x）， g（ x）的表达式。x1解： f ( x)g( x)1， f ( x) g ( x)1，x1x1f（ x）是偶函数f ( x)f ( x) ，g （ x）是奇函数g( x)g(x) ，

7、f ( x)g( x)1，x 1 +得： f ( x)1x2，1 -得： g ( x)x。x 21例 8、已知函数 f ( x)x3x, xR（ 1）指出 f（x）在定义域 R 的奇偶性与单调性；（只须写出结论，无须证明）（ 2）若 a，b，cR，且 a+b>0， b+c>0，c+a>0，证明： f （a）+f（b）+f （c） >0。（12 分）解：（1）f（ x）是定义域 R 上的奇函数且为增函数。（ 2）由 a+b>0 得 a>-b ，由增函数 f(a)>f(-b) ，且奇函数 f（-b） =-f（ b），得 f（a）+f（ b） >0。同

8、理可得 f（ b） +f（c） >0，f（ c） +f（a）>0。相加得： f（a）+f（ b）+f（c）>0。例 9、设函数 f（x ）的定义域关于原点对称，且对于定义域内任意的x1 x2 ，有f (x1 x2 )1 f ( x1 )f ( x2 ) ，试判断 f（x）的奇偶性，并证明你的结论。 （ 12 分）f ( x2 )f (x1 )解： f ( x11f ( x1 ) f (x2 )x2 )f ( x2 x1 )f ( x2 ) f ( x1 )1 f ( x1 ) f ( x2 )1 f (x1 ) f (x2 )x2 ) ，f (x1 )f ( x2 )f (

9、x2 )f (x1f ( x1 )设 x x1x2 ，则 xx2x1 ，f（-x）=-f （x）；又f（x）的定义域关于原点对称， f（x）为奇函数。例 10、设 （fx）的定义域为（0，+），且在（ 0，+）是递增的， f ( x ) f (x) f ( y) y（ 1）求证： f（1）=0，f（ xy）=f （x ）+f（y）；（ 2）设 f （2）=1，解不等式 f ( x) f ( 1) 2 。（12 分）x3证明：（1） f ( x )f ( x) f ( y) ，令 x=y=1 ，y则有： f（1）=f（1） -f（ 1） =0，f (xy)f ( x )f ( x)f ( 1 )

10、f ( x) f (1)f ( y) f ( x) f ( y) 。1yy（ 2）解： f ( x)f (1)f (x) f (1)f ( x 3)x3f ( x)f ( x 3)f ( x23x)，2=2 ×1=2f （2）=f（ 2） +f（2 ）=f（4），f ( x)f (1)2 等价于： f ( x23x)f ( 4) ，x 3且 x>0 ， x-3>0 由 f（ x）定义域为（ 0，+）可得。x( x3)x 23x0 ，4>0 ，又 f（x）在（ 0， +）上为增函数，x23x41 x 4 。又 x>3 ，原不等式解集为： x|3<x 4。例