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文档简介
1、函数与导数1. 已知函数f ( x)4x33tx26txt1, xR ,其中tR ()当t1 时,求曲线yf ( x) 在点 (0, f (0) 处的切线方程;()当 t0时,求 f (x) 的单调区间;()证明:对任意的t(0,), f ( x) 在区间 (0,1) 内均存在零点【解析】( 19)本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数的零点、解不等式等基础知识,考查运算能力及分类讨论的思想方法,满分14 分。()解:当 t 1 时, f (x)4x33x26x, f (0) 0, f ( x)12x26x6f (0)6. 所以曲线 yf (x) 在点 (
2、0,f (0) 处的切线方程为y6x.()解:f ( x)12x26tx6t 2 ,令 f ( x)0 ,解得 xt 或 xt .2因为 t 0,以下分两种情况讨论:( )若 t0, 则 tt ,当 x 变化时,f ( x), f ( x)的变化情况如下表:12xttt , t22f ( x)+-+f ( x)所以, f ( x) 的单调递增区间是, t, t ,; f ( x) 的单调递减区间是t , t 。2220, 则tt,当x变化时,f (x),f ( x) 的变化情况如下表:( )若 tx2,tttt,2,2f ( x)+-+f ( x)所以, f ( x) 的单调递增区间是,t,
3、t ,; f ( x) 的单调递减区间是t, t .22()证明:由()可知,当tt内的单调递减,在t ,内单调0 时, f ( x) 在 0,22递增,以下分两种情况讨论:1t1,即 t 2 时,f (x)01( )当在( , )内单调递减,2f (0)t1 0, f (1) 6t 24t364423 0.所以对任意 t2,), f ( x) 在区间( 0, 1)内均存在零点。t1,即 0t2时, f ( x) 在 0, tt ,1(2)当 0内单调递减,在内单调递增,若222t (0,1, f17 t3t17 t 30.244f (1)6t 24t36t4t32t30.所以 f ( x)在
4、t ,1 内存在零点。2若 t(1,2), ft7 t 3t17 t 310.244f (0)t 10所以 f ( x)在 0, t内存在零点。2所以,对任意 t(0, 2),f ( x) 在区间( 0, 1)内均存在零点。综上,对任意 t(0,),f ( x) 在区间( 0, 1)内均存在零点。2. 已知函数 f ( x)2 x1 , h( x)x 32()设函数F(x) 18f(x) x2 h(x)2 ,求 F(x)的单调区间与极值;()设 a3(x1)32lg h(ax)2lg h(4x) ;R ,解关于 x 的方程 lg f241()设 nN *,证明: f (n)h(n) h(1)h
5、(2)h( n)6本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识,考查数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力解:() F (x)18 f ( x) x2 h(x)2x312x 9(x 0) ,F (x) 3x212 令F ( x)0 ,得 x2( x2舍去)当 x(0,2)时 F (x)0 ;当 x(2,)时,F( x)0 ,故当 x0,2)时, F (x) 为增函数;当x2,)时, F (x) 为减函数x2 为 F (x) 的极大值点,且F (2)824925()方法一:原方程可化为log 431)3log 2 h(ax)log 2
6、h(4x) , f (x24即为 log 4 ( x1)log 2axlog 24xlog 2ax ,且xa,1x 4,4x当 1 a 4 时, 1x a ,则 x1a x ,即 x26x a4 0 ,4x364( a4) 204a0 ,此时 x6204a5a , 1x a ,23此时方程仅有一解x35a 当 a 4 时, 1 x4 ,由 x1ax ,得 x26 x a 40 ,364( a 4) 20 4a ,4x若4a5,则0,方程有两解 x35a ;若 a5时,则0 ,方程有一解x3 ;若 a1 或 a5 ,原方程无解方法二:原方程可化为log 4 ( x1)log 2 h(4x)log
7、 2 h(ax) ,x10,1x 4即 14x0,log 2 ( x1)log 24xlog 2ax ,xa,ax0,2a( x3)25.(x1)(4x)ax.当1a4时,原方程有一解x35a ;当4a5时,原方程有二解x35a ;当 a5时,原方程有一解x3 ;当 a1或 a5 时,原方程无解()由已知得 h(1)h(2)h( n)12n ,f (n)h(n)14n3n1666设数列 an 的前 n 项和为 Sn ,且 Snf (n)h( n)1 ( nN *)64k34k1从而有 a1S11,当 2k100 时, akSkSk 1k1 66k又 akk1 (4 k3)k(4k1)k11(4
8、 k3)2 k(4 k1)2 ( k1)6(4k3) k(4k1) k161106(4 k3)k(4 k1) k1即对任意 k2 时,有 akk ,又因为 a111 ,所以 a1a2an12n 则Sn(1)(2)()hhh n ,故原不等式成立3. 设函数f ( x)a 2 ln xx2ax , a0()求f (x) 的单调区间;()求所有实数a ,使 e1f ( x)e2 对 x1,e 恒成立注: e 为自然对数的底数【解析】( 21)本题主要考查函数的单调性、导数运算法则、导数应用等基础知识,同时考查抽象概括、推理论证能力。满分 15 分。()解:因为f ( x)a2 ln xx2ax.其
9、中 x0a2a(xa)(2 xa)所以 f ( x)2xxx由于 a 0 ,所以 f (x) 的增区间为(0, a) ,减区间为 ( a, )()证明:由题意得,f (1)a1 c1,即ac由()知f ( x)在1,e 内单调递增,要使 e1f ( x)e2 对x1,e 恒成立,只要f (1)a 1e1,f (e)a2e2aee2解得 ae.ex4. 设 f ( x)ax2 ,其中 a 为正实数 .1()当 a4 时,求 f ( x) 的极值点;3()若f ( x) 为 R 上的单调函数,求a 的取值范围 .【解析】( 18)(本小题满分13 分)本题考查导数的运算,极值点的判断,导数符号与函
10、数单调变化之间的关系,求解二次不等式,考查运算能力,综合运用知识分析和解决问题的能力.解:对 f ( x) 求导得 f ( x)ex 1ax22ax2 .(1ax)(I)当 a4 ,若 f ( x)0, 则 4x28x 30, 解得 x3 , x21 .3122综合 ,可知x( ,1)1(1,3)3(3, )222222f (x)+00+f ( x)极大值极小值所以 , x131是极小值点 , x2是极大值点 .22( II )若 f ( x) 为 R 上的单调函数,则f(x) 在 R 上不变号,结合与条件a>0 ,知ax22ax 10在 R 上恒成立,因此4a24a4a(a1) 0,
11、由此并结合 a 0 ,知 0 a1.5. 已知 a, b 为常数,且a 0,函数 f ( x) =-ax+b+axlnx , f (e) =2(e=2 71828 是自然对数的底数)。( I )求实数 b 的值;( II )求函数 f( x)的单调区间;(III )当 a=1 时,是否同时存在实数m 和 M ( m<M ),使得对每一个t m, M ,直线y=t与曲线y=f ( x)( x 1 , e)都有公共点?若存在,求出最小的实数m 和最大的实数eM ;若不存在,说明理由。【解析】 22本小题主要考查函数、导数等基础知识,考查推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力,考查函数与方程
12、思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想,满分14 分。解:( I )由 f (e)2得b2,(II )由( I)可得 f (x)ax 2 ax ln x.从而 f '( x)a ln x.因为 a 0 ,故:(1)当 a0时 ,由f'(x)>0得x>1, 由f'(x)<0得0<x<1;(2)当 a0时,由f '(x)0得0 x 1,由f '(x)0得x 1.综上,当 a0 时,函数 f (x) 的单调递增区间为(1, ),单调递减区间为(0, 1);当 a 0 时,函数f (x) 的单调递增区间为( 0, 1),
13、单调递减区间为 (1, )。(III )当 a=1 时, f (x)x2 x ln x, f '( x)ln x.由( II )可得,当 x 在区间 ( 1, e) 内变化时, f'( x), f ( x) 的变化情况如下表:xee11,1)1e(1,e)ef '(x)f ( x)22e-0+单调递减极小值 1单调递增222, 所以函数 f '( x)1又 2( x ,e) 的值域为 1, 2。ee据经可得,若m1,1M,则对每一个 t m, M ,直线 y=t 与曲线 yf (x)( x ,e) 都有2e公共点。并且对每一个 t(, m) (M ,) ,直线
14、yt 与曲线 y f (x)( x 1 , e) 都没有公共点。e综上,当 a=1 时,存在最小的实数m=1,最大的实数M=2 ,使得对每一个 t m, M ,直线y=t与曲线 y f ( x)( x 1 ,e) 都有公共点。e6. 设函数 f ()xx32ax2bxa , gx( ) x23x2 ,其中 x R ,a、b 为常数,已知曲线yf (x) 与 yg( x) 在点( 2,0)处有相同的切线 l 。(I ) 求 a、 b 的值,并写出切线l 的方程;(II )若方程 f ()xg ()xmx 有三个互不相同的实根0、 x 、 x ,其中 x1x2 ,且对任意的 xx1, x2, fx
15、()g()xm( x 1) 恒成立,求实数 m 的取值范围。【解析】 20本题主要考查函数、导数、不等式等基础知识,同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力,以及函数与方程和特殊与一般的思想,(满分 13 分)解:() f( x)3x24axb, g ( x) 2x3.由于曲线 yf ( x)与yg( x) 在点( 2, 0)处有相同的切线,故有 f (2)g(2)0, f (2)g (2)1.由此得88a2ba0,解得 a2,128a b1,b5.所以 a2, b5 ,切线 l 的方程为 xy2 0()由()得f ( x) x34x25x 2,所以 f ( x)g (x)x33x22x.依题意,方程 x( x23x2m)0 有三个互不相同的实数0, x1, x2 ,故 x1, x2 是方程 x23x2m0的两相异的实根。所以94(2 m)0,即 m1.4又对任意的 x x1 , x2 , f ( x)g ( x)m( x1) 成立,特别地,取 xx1 时, f ( x1 )g( x1
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