多元函数极值与最值PPT学习教案

1、会计学1多元函数极值与最值多元函数极值与最值第1页/共31页zxy22zxy oxyzoxyz第2页/共31页第3页/共31页第4页/共31页第5页/共31页第6页/共31页 定理说明定理说明( (几何意义几何意义) )曲面曲面z=f(x,y)z=f(x,y)在极在极值点处的切平面值点处的切平面xoyxoy面，切面，切平面平面z=zz=z0 0。 定理可以推广到三元函数等定理可以推广到三元函数等情形。情形。第7页/共31页(2)00( , ) ( ,)f x yCx y0000(,)(,)0 xyf x yfx y000000(,),(,),(,)xxxyyyfxyA fxyB fxyC200

2、0(,)BACxy当时，在无极值；20BAC当时，不定，须另作讨论。注意20BAC第8页/共31页( ,)0( ,)0 xyfx yfx y( ,)iix y(,),(,),(,)xxiixyiiyyiifxyA fxyB fxyC(1 , 2 ,)i 第9页/共31页222()(2)02()(2)0 xyfaxbyyfbyaxx ( , )(0,0)(0,2 )(2 ,0)(2 ,2 )a bbaab22(2)xxfbyy 4()()xyfax by 22(2)yyfaxx 22(2)(2)0zaxxbyyab、且第10页/共31页2( , )20 xxAfa bb( , )0 xyBfa

3、b2( , )20yyCfa ba22240BAa bC22maxx ay bzza b第11页/共31页22204160ACBabBACa b第12页/共31页( ,)1, 2,;iixyin11max ( ,), ( ,), (,)nnMMMf x yf x yf xy11min ( ,), (,), (,)nnmmmf x yf x yf xy第13页/共31页( ,)0( ,)0 xyfx yfx y第14页/共31页0064440(,)(40,24)48320 xyLxyx yLxy max(40,24)1650LL( (x x0 0,y,y0 0)=(40,24)=(40,24)为

4、极大值点，就为极大值点，就 是最大值点。是最大值点。(40,24)440 xxxxALL (40,244)4xyxyBLL 8(40,24)8yyyyCLL 20016BACA第15页/共31页221zxy第16页/共31页第17页/共31页( , , )( , )( , )F x yf x yx y( ,)( ,)0( ,)( ,)0( ,)0 xxxyyyFfx yx yFfx yx yFx y 第18页/共31页第19页/共31页2200()()dx xy y第20页/共31页002()0(1)2()0(2 )0(3)xyFxxaFyybFaxbyc 2200( , , ) ()()()

5、F x yx xy yax by c对x、y、 求偏导数，可得最小值点满足的方程：第21页/共31页02ax x02by y00222()axbycab00022()a axbycxxab00022()b axbycyyab（4）(1 ) (2 ) (1 ) (2 ) 第22页/共31页222002222000022222220022()()()()()()()dxxyyaaxbycbaxbycababaxbycab0022axbycdab第23页/共31页产多少千产多少千件时，总利润最大？最大利润件时，总利润最大？最大利润为多少？为多少？22( , )61642L x yxxyy第24页/共

6、31页120006200022( , , )(61642)(6)F x yxxyyxy6201.616803.82.260 xyFxFyxyFxy 第25页/共31页x xy yz z22()Sxyyzzxa( , , )VV x y zxyz第26页/共31页解得唯一驻点 ，由题意，知矩形的长宽高各为 时，其体积最大。666(,)666aaa66a2 ()0Fxzxzy2 ()0Fxyzyz22()0 xyyzzxaF=2( , , )2()2 ()0F x y zxyzxyyzzxaFyzyzx设令第27页/共31页A A(1,0)B B(0,1)O O(0,0)xyP P(x,y)2222233222dPOPAPBxyxy。第28页/共31页622(31)0623(32)0 xxxyyyyd令d得驻得驻点点11()33，22( , )33222d x yxyxy 此外，可能最值点，在直角边x轴（y=0）有 点 ；在直角边y 轴（ x =0）有点 ；在直斜边（y=1-x)有点 , 还有三角形顶点还有三角形顶点（ 0，0） 、（ 0，1） 、（ 1 ， 0 ）1(,0)31(0,)311(,)22（即可能最值点）（即可能最值点）p0 A xB第29页/共31页114( ,)333d(0