苏教高中数学1.1正弦定理第1课时教案

1、1.1正弦定理第一课时教学目标掌握正弦定理的证明及简单应用教学重点与难点正弦定理的证明教学过程一、问题情境如图，要在河岸两侧A，B 两点间架一座桥由于环境因素不可直接测量A， B 两点间的距离在与 A 同侧的岸上又取了一点 C，测量出 BAC 75o， ACB 60o，A，C 之间距离为 100m我们能否通过这些数据求出桥的长度呢？将该实际问题进行抽象，即为：如图，在ABC 中，已知 CB 60o， BAC 75o， A， C 之间距离为100求 AB 之间的距离二、学生活动，建构数学生： A 45o，作 BD AC ，利用 BD BC sinC ABsinA，即 BC sin60o AB s

2、in45o可求得 AB 100 6，即所要架的桥为 100 6米师：我们通过作高将一个我们不熟悉的斜三角形的问题转化为熟悉的直角三角形问题来求解请大家回顾刚才的解题过程，你能否找到间的直接关系？ADCABC 边与角之生： ACsinC ABsinB师：这个等式我们是通过作一条高BD 得到的，在Rt ABD 中， AD ABsinB；在 Rt ACD 中， AD ACsinC师：如果我们将角A， B， C 所对的边分别记作a， b，c，上面的关系可以改写为bsinC csinB，那么可以得到sinBb sinCc即 b 与它所对角的正弦的比值等于c 与它所对角的正弦的比值如果将条件中具体的角度和

3、长度去掉，这个关系还成立吗？生：成立因为当角度和长度都去掉以后，bsinC csinB 这个等量关系并为发生改变师： sinBb sinCc对于所有的三角形都成立吗？（几何画板演示，学生讨论，给出证明）师：通过以上的讨论可知对于所有的三角形，sinBbsinCc这个关系都成立这个等式反映的是三角形中任意的一组边和它所对角之间的关系，由任意性你想到了什么？生： sinAa sinBb sinCc师：这个结论我们称之为正弦定理 在上面的证明过程中注意分类的思想， 证明过程关键是构造直角三角形，在我们所熟悉的直角三角形中来寻找三角形边与角之间的关系abc那么究竟等于什么呢？（几何画板演示）生：（观察

4、并提出猜想）三角形外接圆的直径师：为什么？（学生讨论如何证明 ）以下给出证明abc证明： 2R（ R 表示该三角形的外接圆半径）证明：由于定理中的等式对称性，故只需证c 2RsinC因为角 C 可能是锐角、直角或钝角，所以要分三种情况讨论(1)若 C 是锐角，作直径AC，则 C C，在 Rt CAB 中，AB ACsinC 2RsinC，即 c 2RsinC(2)若 C 是直角，由直角三角形ABC 直接可推得： c 2RsinC(3)若 C 为钝角，做直径BC，连 CA，则 C C，在 Rt ACB 中， AB BCsinC 2Rsin( C)2RsinC，即 c 2RsinC由上述 (1)

5、，(2) ，(3)可知， c2RsinC，即 sinCc 2R，同理 sinBb 2R，sinAa 2R，所以 sinAa b c 2R sinB sinC三、数学应用例 1 在 ABC 中，若 a10， A30o， C 45o，求 b， c解 因为 A 30o， C 45o，所以 B 105o因为 sinAa sinBb sinCc，所以 b asinBsinA10sin105o 5( 6 2)， c asinC10 2sin30osinA例 2根据下列条件解三角形：(1)b2， c(2)b 2， c3， B 45o；2， B 45o(3)b 13，a 26， B 30o解(1)由正弦定理b

6、 c，得 sinCcsinB3，所以 C 60o或 C 120osinBsinCb212当 C1 60o 时， A1 75o， a1 bsinA1 6 2sinB2bsinA26 2当 C2 120o 时， A2 15o， a2 sinB 2b c，得 sinC csinB1因为 b c，所以 B C，所以 C 30o(2)由正弦定理 sinBsinCb2bsinA3 1A180o 45o 30o105o， a sinB 利用正弦定理解决 “已知两边及其中一边的对角，求其余两角和一边”的问题是一个难点在证明三角形全等时，不能用“两边及一边的对角对应相等”来证三角形全等同样，已知三角形的两边和其中一边的对角，解三角形时可能会出现无解、唯一解、两解的情况，应注意判别解的情况例如已知a， b 及 A 时，(1) 若A90o，则当a b 时，有一解；而当a b 时，由“三角形中大边对大角”可知此时无解(2) 若 A 90o，又可有下表：a ba ba bsinAabsinAa bsinACCCCbabababaAB ABABAB一解两解一解无解四、课堂练习课本 10 页练习 1，2，3五、小结